第一篇：計(jì)算方法課程總結(jié) 心得體會(huì)

計(jì)算方法課程總結(jié) 心得體會(huì)

一、課程簡介：本課程是信息與計(jì)算科學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課．我們需在掌握數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和常微分方程的基礎(chǔ)知識(shí)之上，學(xué)習(xí)本課程．在實(shí)際中，數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)一向有著密切關(guān)系并相互影響，科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域的問題通過建立數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)產(chǎn)生密切的聯(lián)系，并以各種形式應(yīng)用于科學(xué)和工程領(lǐng)域．而所建立的這些數(shù)學(xué)模型，在許多情況下，要獲得精確解是十分困難的，甚至是不可能的，這就使得研究各種數(shù)學(xué)問題的近似解變得非常重要了，“數(shù)值計(jì)算方法”就是專門研究各種數(shù)學(xué)問題的近似解的一門課程．通過這門課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握用數(shù)值分析方法解決實(shí)際問題的算法原理及理論分析，提高我們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．

二、本課程主要內(nèi)容包括：誤差分析，插值法與擬合，數(shù)值積分，數(shù)值微分，線性方程組的直接解法和迭代解法，非線性方程求根，矩陣特征值問題計(jì)算、常微分方程初值問題數(shù)值解法．

三、本課程重點(diǎn)難點(diǎn)：1、2、3、4、絕對誤差限、相對誤差限、有效數(shù)字

基函數(shù)、拉格朗日插值多項(xiàng)式、差商、牛頓插值多項(xiàng)式、截?cái)嗾`差 曲線擬合的最小二乘法（最小二乘法則、法方程組）插值型數(shù)值積分（公式、積分系數(shù)）

a)N-C求積公式（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系數(shù)、代數(shù)精度、截?cái)嗾`差）

b)復(fù)合N-C公式（復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式、收斂階、截?cái)嗾`差）c)龍貝格算法的計(jì)算公式

5、非線性方程求根的迭代法收斂性定理

牛頓切線法、下山法、正割法（迭代公式、收斂階）

6、高斯消去法、列主元素高斯消去法、LU分解法解線性方程組

Jacobi迭代法、S-R迭代法（迭代公式、迭代矩陣、收斂的充要條件、充分條件）

矩陣的范數(shù)、譜半徑、條件數(shù)、病態(tài)方程組

7、歐拉方法（歐拉公式、向后歐拉公式、改進(jìn)的歐拉公式）

四、實(shí)際應(yīng)用

我們本學(xué)期的計(jì)算方法這門學(xué)科中，主要介紹了兩種數(shù)值計(jì)算方法即：數(shù)值逼近與數(shù)值代數(shù)。前面幾章講的關(guān)于插值和擬合是屬于數(shù)值逼近，而后面幾章則介紹了非線性方程、解線性方程組、以及最后一章的常微分方程則屬于數(shù)值代數(shù)的部分。不管是哪一種方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用都是很廣泛的，下面就以最小二乘擬合方法為例說明其在實(shí)際的應(yīng)用。

曲線擬合就是擬合測量數(shù)據(jù)曲線。所選擇的曲線有時(shí)通過數(shù)據(jù)點(diǎn)，但在其他點(diǎn)上，曲線接近它們而不必通過它們13,41~在大多數(shù)情況下，選擇曲線使得數(shù)據(jù)點(diǎn)的平方誤差和最小。這種選擇就是最小二乘曲線擬合。下面介紹一下最小二乘法擬合的基本原理。設(shè)已知 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn))(i=0，1，?，一1)，求(m一1)次最小二乘擬合多項(xiàng)式：

其中設(shè)擬合多項(xiàng)式為各正交多項(xiàng)式：的線性組合：

則繼續(xù)往向下推導(dǎo)得：

繼續(xù)推導(dǎo)最后可得最后可得一般形式的m一1次多項(xiàng)式：

即為最小二乘擬合多項(xiàng)式

其擬合精度由下式來評(píng)定：

應(yīng)用實(shí)例：

某建筑物176 d水平位移測量數(shù)據(jù)如下表所示，在程序編制過程中，為了防止運(yùn)算溢出，用來代替，其中。

此時(shí)，擬合多項(xiàng)式的形式為：

運(yùn)用最小二乘多項(xiàng)式擬合時(shí)，擬合多項(xiàng)式的次數(shù)越高，其擬合精度未必越高。以擬合最高次數(shù)l9次為例，擬合系數(shù)如表2，擬合的精度評(píng)定見表3。

根據(jù)水平位移的觀測數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了累計(jì)觀測時(shí)間與水平位移的曲線擬合，在有限的測量數(shù)據(jù)條件下，表述了時(shí)間與該建筑物水平位移之間的函數(shù)關(guān)系。曲線擬合的最小二乘法在解決這類問題的數(shù)據(jù)處理和誤差分析中應(yīng)用非常廣泛，提高了數(shù)據(jù)處理的效率和精確度，最d"-乘曲線擬合實(shí)現(xiàn)方法簡明、適用，可應(yīng)用于類似的測量數(shù)據(jù)處理和實(shí)驗(yàn)研究。五：總結(jié)

其實(shí)一直以來感覺自己都的數(shù)學(xué)方面還是比較感興趣的，但是從大二上學(xué)期上完概率和線性代數(shù)后自己也就很少去碰數(shù)學(xué)方面的書了，直到這個(gè)學(xué)期上的這門計(jì)算方法讓我重新又找回了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的感覺。經(jīng)過這一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，總體感覺還行，基本上都能領(lǐng)悟。個(gè)別的知識(shí)點(diǎn)可能比較抽象，但是好多的算法我們都經(jīng)過了上機(jī)實(shí)踐了，所以掌握起來會(huì)更透徹一點(diǎn)。學(xué)習(xí)了這門課，感覺實(shí)用性比較大。像拉格朗日和牛頓插值法，最小二乘擬合法等等算法。因?yàn)樵谖覀儸F(xiàn)實(shí)生活中我們需要通過已有的數(shù)據(jù)來發(fā)掘事物本身的內(nèi)在規(guī)律，或者模擬出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決。所以這就需要我們用到這學(xué)期學(xué)習(xí)的相關(guān)知識(shí)來完成。這門課程也是連接數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)之間的橋梁，之前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)積分的知識(shí)現(xiàn)在也知道怎么

用程序來實(shí)現(xiàn)了。還有就是對線性方程組和非線性方程組的求解方法的掌握。插值的應(yīng)用自己還想說的就是，自己準(zhǔn)備和同學(xué)一起做關(guān)于圖像處理的方面的東西，不過我只是個(gè)新手。但上次在看有關(guān)圖像的放大和縮小技術(shù)的時(shí)候就看到了有關(guān)牛頓插值的應(yīng)用。不過他們學(xué)的算法都是在牛頓插值的基礎(chǔ)上有所變化的。所以當(dāng)時(shí)我就覺得這門課程作用不一般。學(xué)完了這門課也希望自己活學(xué)活用。發(fā)揮這門課應(yīng)有的作用。

第二篇：計(jì)算方法總結(jié)

第一章：基本概念

???x1x2...xm.xm?1xm?2...x?m?n 1.x??x1x2...xm.xm?1xm?2...xm?nxm?n?1x??若x?x1?m?n及其以前的非零數(shù)字稱為準(zhǔn)確數(shù)字。?準(zhǔn)確到n位小數(shù)，x?10?n，稱x2各位數(shù)字都準(zhǔn)確的近似數(shù)稱為有效數(shù)，各位準(zhǔn)確數(shù)字稱為有效數(shù)字。2.f(x)?x???l?0.x1x2...xt

進(jìn)制：?，字長：t，階碼：l，可表示的總數(shù)：2?(U?L?1)?(??1)?t?1?1 3.計(jì)算機(jī)數(shù)字表達(dá)式誤差來源

實(shí)數(shù)到浮點(diǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)換，十進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，結(jié)算結(jié)果溢出，大數(shù)吃小數(shù)。4.數(shù)據(jù)誤差影響的估計(jì)：

???y?y1nn?y?y??(x1,x2,...xn)??(x1,x2,...xn)xi?xi ???xi，小條件數(shù)。

?xiy?xiy1解接近于零的都是病態(tài)問題，避免相近數(shù)相減。避免小除數(shù)大乘數(shù)。

5.算法的穩(wěn)定性

若一個(gè)算法在計(jì)算過程中舍入誤差能得到控制，或者舍入誤差的積累不影響產(chǎn)生可靠的計(jì)算結(jié)果，稱算法數(shù)值穩(wěn)定。

第二章：解線性代數(shù)方程組的直接法

1.高斯消去法

步驟：消元過程與回代過程。

順利進(jìn)行的條件：系數(shù)矩陣A不為零；A是對稱正定矩陣，A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出現(xiàn)，出現(xiàn)小除數(shù)，轉(zhuǎn)化為大系數(shù)，引起較大誤差。解決：在消去過程的第K步，交換主元。還有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特爾分解即LU分解。

用于解方程AX?b?LUX?b???LY?b；

UX?Y?用于求A?LU?LU?U?u11u22...unn。

克羅特分解：A?LU?LDD?1U?(LD)(D?1U)，下三角陣和單位上三角陣的乘積。將杜立特爾分解或克羅特分解應(yīng)用于三對角方程，即為追趕法。

對稱正定矩陣的喬列斯基分解，A?GG，下三角陣及其轉(zhuǎn)置矩陣的乘積；用于求解

TAX?b的平方根法。

改進(jìn)平方根法：利用矩陣的A?LDL分解。4.舍入誤差對解的影響

T向量范數(shù)定義： 常用的向量范數(shù)： 矩陣的范數(shù)： 常用的矩陣范數(shù)：

矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性： 影響：?x?xk1?k?AA(?b?A?1其中cond(A)?k?AA，k值大，病態(tài)問題。?)，bA第三章：插值法

1.定義

給定n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，xi及在xi處的函數(shù)值yi(i=0～n)，構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過n次的多

nx)。項(xiàng)式：Pn(x)?a0?a1x?a1x2?...?a1xn，使?jié)M足Pn(xi)?yi。取f(x)?P(稱Pn(x)為插值多項(xiàng)式，xi為插值節(jié)點(diǎn)，f(x)為被插函數(shù)。插值問題具有唯一性。

2.Lagrange插值多項(xiàng)式 表達(dá)式：

誤差估計(jì)式：

3.Newton插值多項(xiàng)式 差商： 表達(dá)式： 誤差表達(dá)式： 差商的性質(zhì)：

1)差商與節(jié)點(diǎn)的次序無關(guān)； 2)K階差商對應(yīng)K階導(dǎo)數(shù)； 3)4)5)

4.埃爾米特（帶導(dǎo)數(shù)）插值多項(xiàng)式 1)Newton法，給定f及f(k)為數(shù)字；

2)Lagrange法，給定f及f(k)為表達(dá)式。

5.三次樣條插值函數(shù)

分段三次插值多項(xiàng)式的定義：S(x)在子區(qū)間[xi-1,xi]上是三次多項(xiàng)式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上連續(xù)。

三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)出：

第四章：函數(shù)最優(yōu)逼近法

1.最優(yōu)平方逼近

對于廣義多項(xiàng)式：P(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)，其中?i(x)線性無關(guān)。要求：

若f(x)是表格函數(shù)，確定P(x)稱為最小二乘擬合函數(shù)，當(dāng)?i(x)?xi，P(x)為最小二乘多項(xiàng)式；若f(x)是連續(xù)函數(shù)，稱P(x)為最優(yōu)平方逼近函數(shù)。

2.函數(shù)的內(nèi)積，范數(shù)定義及其性質(zhì) 內(nèi)積的定義：

性質(zhì)：

范數(shù)的定義： 范數(shù)的性質(zhì)：

正規(guī)方程組或法方程組：

3.正交多項(xiàng)式

正交函數(shù)系的定義：

代入正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣，則： 幾個(gè)正交多項(xiàng)式舉例： 1)勒讓德多項(xiàng)式

2)拉蓋爾多項(xiàng)式

3)埃爾米特多項(xiàng)式

4)切比雪夫多項(xiàng)式

四種正交多項(xiàng)式均可用于高斯型求積公式；P多項(xiàng)式用于最優(yōu)平方逼近，T多項(xiàng)式用于最優(yōu)一致逼近。

正交多項(xiàng)式的性質(zhì)：

1)正交多項(xiàng)式?gk(x)?線性無關(guān)，推論：Pk(x)(k?n)與gn(x)正交。2)在區(qū)間[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多項(xiàng)式gn(x)有n個(gè)不同的零點(diǎn)。3)設(shè)?gk(x)?是最高次項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式，則：

4.最優(yōu)一致逼近法

(1)切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì) 性質(zhì)1：?Tk(x)?是[-1,1]上關(guān)于?(x)?11?x2(T0,T0)??,(Tk,Tk)??/2；的正交多項(xiàng)式，性質(zhì)2：Tk?1(x)?2xTk(x)?Tk?1(x)； 性質(zhì)3：Tk(x)是最高次項(xiàng)為2x的奇次項(xiàng)；

k?1xk的k次多項(xiàng)式，T2k(x)只含x的偶次項(xiàng)，T2k?1(x)只含

2i?1?,i?0,1...k?1； 2ki性質(zhì)5：在[-1,1]上，Tk(x)?1，且在k+1個(gè)極值點(diǎn)xi?cos?,i?0,1...k處Tk(x)依次取

k性質(zhì)4：Tk(x)有k個(gè)不同的零點(diǎn)，xi?cos得最大值1和-1；

性質(zhì)6：設(shè)Pn(x)是任意一個(gè)最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，則：

?1?x?1maxPn(x)?max?1?x?111 Tn(x)?n?1n?122(2)最優(yōu)一致逼近法的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，若n次多項(xiàng)式Pn(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)使Pn?f??maxPn(x)?f(x)達(dá)到最小，則稱Pn(x)為f(x)在[a,b]上的最優(yōu)一致逼近a?x?b函數(shù)。

切比雪夫定理：n次多項(xiàng)式P(x)成為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式的充要條件是誤差R(x)?f(x?)P(x)區(qū)間[a,b]上以正負(fù)或負(fù)正交替的符號(hào)依次取得在E?maxR(x)的點(diǎn)（偏差點(diǎn)）的個(gè)數(shù)不少于n+2。

a?x?b采用如下方程組進(jìn)行求解：

(3)近似最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式 思路：

使用T多項(xiàng)式性質(zhì)6 若區(qū)間是[-1,1]，取xi(i=0～n)為Tn+1的零點(diǎn)，則xi?cos(值多項(xiàng)式Pn(x)；

若區(qū)間是[a,b]，通過轉(zhuǎn)換x?方法1：由ti?cos(2i?1?),i?0～n，以此構(gòu)造插

2(n?1)a?bb?a?t,t?[-1,1]； 222x?a?b2i?1代入Pn(t)，可?),i?0～n，構(gòu)造Pn(t)，然后將t?b?a2(n?1)得Pn(x)。方法2：取xi?a?bb?aa?bb?a2i?1?ti??cos?，i=0～n；構(gòu)造Pn(x)。22222(n?1)例：

(4)截?cái)嗲斜妊┓蚣?jí)數(shù)法

n(Tk,f)設(shè)f(x)在[-1,1]上連續(xù)，Sn(x)??CkTk(x)，其中Ck?；記Sn(x)??CkTk(x)；

(Tk,Tk)k?0k?0n?應(yīng)用切比雪夫定理及性質(zhì)5，取f(x)?Sn(x)?(5)縮短冪級(jí)數(shù)法

方法1： 方法2：

?CT(x)。

kkk?0第五章：數(shù)值微積分

第一節(jié) 牛頓柯特斯公式

bI(f)???(x)f(x)dx?a?(x)?1b?f(x)dx?F(b)?F(a)

a一．?dāng)?shù)值算法 1.數(shù)值積分算法

對于復(fù)雜函數(shù)f(x)，考慮用其近似函數(shù)P(x)去逼近，用P(x)的積分值近似代替f(x)積分值。

2.插值型數(shù)值積分方法

對于拉格朗日插值多項(xiàng)式，廣義積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，g(x)在[a,b]上部變號(hào)，則

????a,b?，使?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

aabb3.牛頓柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．復(fù)化求積公式 b1.I(f)??f(x)dx，把[a,b]分成若干等長的小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間用簡單低次數(shù)值積分公a式，在將其得到的結(jié)果相加。2.復(fù)化梯形公式

3.復(fù)化辛普森公式

三．變步長的積分公式

1.先取一步長h進(jìn)行計(jì)算，再取較小步長h*計(jì)算，若兩次結(jié)果相差很大，則在取更小步長進(jìn)行計(jì)算，依次進(jìn)行，直到相鄰兩次計(jì)算結(jié)果相差很大，則取較小步長的結(jié)果為積分近似值。2.變步長復(fù)化梯形公式

3.變步長復(fù)化辛普森公式

四．龍貝格積分法

第二節(jié) 待定系數(shù)法

1.代數(shù)精度定義

對于近似公式I(f)?Q(f)，如果f(x)是任意不超過m次的多項(xiàng)式，I(f)?Q(f)成立，而對于某個(gè)m+1多項(xiàng)式，I(f)?Q(f)，稱代數(shù)精度為m次。2.判定方法

近似式的代數(shù)精度為m次?

對f(x)?1,x,...,xm，近似式精確成立，I(f)?Q(f)，f(x)?xm?1時(shí)不成立，I(f)?Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三節(jié) 高斯型積分公式

一．定義

節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定，具有最高階代數(shù)精度公式的插值型積分公式稱為Guass型求積公式。插值型積分公式定義：

定理：數(shù)值積分公式I(f)?Q(f)至少有n次代數(shù)精度?近似式是插值型積分公式。對于牛頓科特斯公式，若采用等距節(jié)點(diǎn)，n分別為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，代數(shù)精度分別為n和n+1。

二．最高代數(shù)精度

定理：m?2n?1 So，給定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，具有2n+1次代數(shù)精度的插值型數(shù)值積分公式稱為Gauss型求積公式。三．Gauss型積分公式的構(gòu)造方法 方法1：

代數(shù)精度為2n+1，則f(x)?1,x,...,xm時(shí)成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代數(shù)精度m?2n?1?xi是[a,b]上關(guān)于?(x)的正交多項(xiàng)式gn?1(x)的零點(diǎn)(高斯點(diǎn))，b其中Ai???(x)l(x)dx。ia四．高斯型求積公式的誤差

五．常用的高斯型求積公式 1.Gauss-Legendre求積公式 n=0 n=1

??1?f(x)dx??Af(x)?Q(f)，x是Pii1nin?1(x)的n+1個(gè)零點(diǎn)。

i?02.Gauss-Laguerre求積公式

???xx?e0?xf(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n??0f(x)dx??e(ef(x))dx??e?xF(x)dx00??x??(a?t)??ef(x)dx??ea0f(a?t)dx?e??a?te?F(t)dt 03.Gauss-Hermite求積公式

???e?x2f(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n14.Gauss-Chebyshev求積公式

?1?f(x)1?x2dx??n?1i?0?f(cosn2i?1?)2n?2第四節(jié) 數(shù)值微分

f'(x)?limh?0f(x?h)?f(x)，h大，不精確，h小，由于小除數(shù)引入大誤差。

h近似函數(shù)法

取等節(jié)距節(jié)點(diǎn)，xi?x0?ih,i?0,1,...n(1)一階導(dǎo)數(shù)，n=1，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)x0x1

(2)一階導(dǎo)數(shù)，n=2，三個(gè)節(jié)點(diǎn)x0x1x2

(3)二階導(dǎo)數(shù)，n=2，三個(gè)節(jié)點(diǎn)x0x1x2

實(shí)用誤差估計(jì)

例：

第六章 非線性方程的迭代解法

第一節(jié) 方程求根法

根的定義：對于非線性方程組f(x)=0，若存在數(shù)?使f(?)=0，稱?是非線性方程組f(x)=0的根。

零點(diǎn)存在定理：若f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，若f(a)f(b)<0，則必然存在??[a,b]，使f(?)=0。

試探法，二分法。一．簡單迭代法

初值x0，xk?1??(xk)，產(chǎn)生迭代序列?xk?。簡單迭代收斂定理（壓縮映像原理）

[,]，對于迭代函數(shù)?(x)，若滿足(1)若x?[a,b],?(x)?[a,b]；(2)存在正數(shù)0

收斂速度(收斂階)：若存在實(shí)數(shù)P和非零常數(shù)C，使得limkkxk?1??xk??k???C?0，稱迭代序列是P階收斂。P=1，線性收斂；P>1，超線性收斂；P=2，平方收斂。定理：設(shè)?是方程x??(x)的根，如果迭代函數(shù)?(x)滿足?'(?)??''(?)?...??(P?1)(?)?0,?(P)(?)?0

?xk?1??(xk)產(chǎn)生的迭代序列?xk?是P階收斂。

二．牛頓迭代法

xk?1?xk?f(xk)f'(xk)收斂性分析：牛頓迭代法具有局部收斂性，初值x0?x????，產(chǎn)生迭代序列收斂。收斂定理：設(shè)f(x)在[a,b]上二階導(dǎo)數(shù)存在，若

??f(a)f(b)?0，f(x)在[a,b]上單調(diào)，f(x)在[a,b]上凹向不變（即f''(x)在區(qū)間上不變號(hào)），初值x0滿足f(x0)f''(x0)?0，則任意初值x0?[a,b]，有牛頓迭代法產(chǎn)生的?xk?收斂于方程的唯一根。

簡化牛頓法：xk?1?xk?三．弦割法或割線法 用差商代替導(dǎo)數(shù)xk?1?xk?f(xk)f(xk)f(xk)?xk?1?xk??xk?1?xk?f'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)?f(xk?1)xk?xk?1第二節(jié) 線性代數(shù)方程組迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik?1?(1??)xik??xG?Sk?1）?opt?迭代法的收斂性：

將迭代法用矩陣表示：A?D?E?F，xk?1?Bxk?g Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk?1?Bxk?g，對?x產(chǎn)生的迭代序列x21?1??(Bj)2 ??收斂的充要條件是：

klimBk?0或?(B)?1。

k??推論1：若B?1，則收斂；

推論2：SOR方法收斂的必要條件是0???2；

推論3：設(shè)A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則Jacobi，G-S，0???1的SOR方法收斂；

推論4：1)設(shè)A是對稱正定矩陣，則G-S方法收斂；2)設(shè)A是對稱正定矩陣，若2D-A也對稱正定，則Jacobi方法收斂；若2D-A不對稱正定，則Jacobi方法不收斂；3)設(shè)A是對稱正定矩陣，0???2，則SOR方法收斂。

第三節(jié) 非線性方程組的迭代解法

x k?1kkk?x?[f'(x)]?1f(x)

第七章 矩陣特征值和特征向量

矩陣A主特征值——模最大的特征值取為主特征值。對n個(gè)互不相同的特征值

?1??2??3?...??n，對應(yīng)特征向量?1?2?3…?n；

kk任意向量z0?c1?1?c2?2?...cn?n z?AZ0 limzk?c1?1k?1，zk是對應(yīng)A的?1的特征向量，k??(zk?1)i??1(zk)i

規(guī)范乘冪法

yk?Azk?1，yk按模取最大分量max?yk??mk，zk?limzk??10，?10是?1的規(guī)范化向量；limmk??1。

k??k??yk。mk加速法（原點(diǎn)位移法）yk??A?pI?zk?1

第八章 常微分方程數(shù)值解法的導(dǎo)出

?y'(x)?f(x,y(x))?y(a)?y0?一． 數(shù)值微分法

歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi,yi)后退歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi?1,yi?1)終點(diǎn)法：yi?1?yi?1?2hf(xi,yi)

h2局部截?cái)嗾`差：y(xi?1)?yi?y''(?)

2二． 數(shù)值積分法

hyi?1?yi?[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)]

2預(yù)估yi?1?yi?hf(xi,yi)，校正yi?1?yi?

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)] 2線性多步法

第三篇：計(jì)算方法總結(jié)

1.何為有根區(qū)間

給定一個(gè)方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，又f(a).f(b)<0,則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，方程f(x)=0在（a,b）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。這時(shí)我們稱區(qū)間[a,b]為方程f(x)=0有根區(qū)間 2.尋找方程的有根區(qū)間的常用方法是什么 1.作圖法 2.逐步搜索法

3.作圖法尋找有根區(qū)間適用于哪種情況

函數(shù)f(x)比較簡單時(shí)適用

4.對于已知方程，如何利用逐步搜索法在區(qū)間內(nèi)尋找有根區(qū)間

從X0=a出發(fā)，按照事先選擇的步長h=(b-a)/N(N為正整數(shù))，逐點(diǎn)計(jì)算Xk==a+kh處的函數(shù)值f(Xk)與f(Xk+1)的值異號(hào)時(shí)，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一個(gè)有根區(qū)間 5.逐步搜索法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)方便。

6.對于給定的n次代數(shù)方程，如何確定根模的上下界

（1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},則方程的根的絕對值小于a+1；

（2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},則方程的根的絕對值大于1/(1+b).7.步長h的選擇，對于逐步搜索法有何影響

當(dāng)步長h越小時(shí)，找出的有根區(qū)間越小，這時(shí)以區(qū)間內(nèi)的某個(gè)值作為根的近似值就越精確。但h越小，計(jì)算量越大 8.二分法求解方程的根有和優(yōu)點(diǎn)，有何缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)是算法簡單，而且收斂性總能得到保證，缺點(diǎn)是收斂速度慢。

9.艾特金迭代法與二分法相比，計(jì)算收斂速度快，節(jié)省時(shí)間，并且能求出某些發(fā)散的迭代過程的根。10.牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是什么，缺點(diǎn)是什么

優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，節(jié)省計(jì)算量，誤差累積少。

缺點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)它要用到f（x）的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)f（x）比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算其導(dǎo)數(shù)花費(fèi)時(shí)間多。11.弦截法的優(yōu)點(diǎn)是什么，它與牛頓法相比，收斂速度與計(jì)算速度如何

優(yōu)點(diǎn)是不必計(jì)算f'(x),收斂速度也相當(dāng)快,但比牛頓法慢。從計(jì)算速度來看，弦截法比牛頓法快。

12.弦截法的基本思想是什么（結(jié)合圖示說明），如何選取弦截法中的不動(dòng)點(diǎn)

1準(zhǔn)備2迭代3控制4迭代準(zhǔn)備 13.何為階收斂，收斂速度與的大小有何關(guān)系

收斂速度的大小與收斂階數(shù)有關(guān)系，收斂階數(shù)越大，收斂速度越快。14.哪一類問題稱為插值問題

由實(shí)驗(yàn)或測量得到了某一函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,....,xn處的值y0,y1,...yn,需要構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)p(x)作為函數(shù)y=f(x)的近似表達(dá)式

Y=f(x)約等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),這類問題稱為插值問題

15.常用的插值算法有哪幾種，各有什么優(yōu)缺點(diǎn)

一拉格朗日插值 線性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多項(xiàng)式（區(qū)間大時(shí)誤差也較大）

二分段插值1分段線性插值2分段二次插值（優(yōu)點(diǎn)是公式簡單，計(jì)算量小，有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并且可以避免計(jì)算機(jī)上作高次乘冪時(shí)常遇到的上溢和下溢的困難。）

三差商與牛頓插值公式（不需要增加插值接點(diǎn)，不浪費(fèi)）

四差分與等距節(jié)點(diǎn)差值公式（進(jìn)一步簡化插值公式，計(jì)算也方便）五三次樣條差值（既能保證曲線連續(xù)，又能保證光滑性要求）

16.線性插值的幾何意義是什么（結(jié)合圖形進(jìn)行說明）

線性插值的幾何意義是利用通過兩點(diǎn)的直線去近似代替曲線。

17.線性拉格朗日插值的截?cái)嗾`差限與什么量有關(guān), 是什么關(guān)系

與x 在[a,b]時(shí)，f''(x)絕對值的最大值有關(guān)系

|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18.二次拉格朗日插值的截?cái)嗾`差限與什么量有關(guān), 有什么關(guān)系

P93與x在[x0,x2]時(shí)，f'''(x)對值的最大值有關(guān)系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

19.通過n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)且滿足插值條件的插值多項(xiàng)式是唯一的

20.線性插值或二次插值優(yōu)缺點(diǎn)：簡單方便，計(jì)算量小。缺點(diǎn)是精度較低；

21.當(dāng)?shù)痛尾逯档木炔粔驎r(shí)，應(yīng)該適當(dāng)縮小插值區(qū)間的長度來提高精度； 22.高次插值優(yōu)缺點(diǎn)：插值精度高，缺點(diǎn)是數(shù)值不穩(wěn)定；

25.分段插值優(yōu)缺點(diǎn)：公式簡單，計(jì)算量小，且有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并可避免計(jì)算機(jī)上作高次乘冪時(shí)常遇到的上溢和下溢的困難.缺點(diǎn)是不能保證曲線在連接點(diǎn)處的光滑性。

26.應(yīng)用低次插值進(jìn)行分段插值時(shí)，應(yīng)盡可能地在插值點(diǎn)的鄰近選取插值節(jié)點(diǎn)。

27.拉格朗日插值多項(xiàng)式與牛頓插值公式相比而言，拉格朗日插值多項(xiàng)式有何缺點(diǎn)，牛頓插值公式有何優(yōu)點(diǎn)？

用拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算函數(shù)值時(shí)，當(dāng)精度不滿足要求而需要增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，原來的插值多項(xiàng)式就不能使用了，必須重新構(gòu)造一個(gè)，將造成很大浪費(fèi)。而牛插可以增加新的節(jié)點(diǎn)，原來的計(jì)算結(jié)果仍可利用。28.何為差商，給定個(gè)互異測試點(diǎn),如何計(jì)算各階差商

函數(shù)值與自變量的差商就是差商，一階差商(或記作f[x0，x1])；

二階差商29.差商的對稱性

差商與插值節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)

(或記作f[x0，x1，x2])

30.牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式有什么關(guān)系，有什么不同點(diǎn)

“牛前插”適用于計(jì)算x0附近的函數(shù)值，“牛后插”適用于計(jì)算函數(shù)表末端附近的函數(shù)值。31.為何要提出樣條插值，它克服了其它插值方法的何種缺點(diǎn)，它具有什么優(yōu)點(diǎn)

在整個(gè)插值區(qū)間上做高次插值多項(xiàng)式，曲線光滑，但計(jì)算量繁重，誤差積累大，穩(wěn)定性差。分段低次插值可避免這些缺點(diǎn)，但各段連接點(diǎn)處只能保證曲線連續(xù)，而不能保證光滑性要求。樣條插值其插值曲線不僅連續(xù)而且處處光滑。

32.曲線擬合解決了插值中的什么問題。擬合與插值有什么不同點(diǎn)

可以部分抵消原來數(shù)據(jù)組中所包含的測量誤差。P115 33.何為最小二乘曲線擬合法

用?(x)擬合數(shù)據(jù)(xk，yk)(k＝1，2，?，n)，使得誤差的平方和

為最小，求?(x)的方法，稱為最小二乘法。

第四篇：《數(shù)值計(jì)算方法》課程教學(xué)大綱.

《數(shù)值計(jì)算方法》課程教學(xué)大綱

課程名稱：數(shù)值計(jì)算方法/Mathods of Numerical Calculation 課程代碼：0806004066 開課學(xué)期：4 學(xué)時(shí)/學(xué)分：56學(xué)時(shí)/3.5學(xué)分（課內(nèi)教學(xué) 40 學(xué)時(shí)，實(shí)驗(yàn)上機(jī) 16 學(xué)時(shí)，課外 0 學(xué)時(shí)）先修課程：《高等代數(shù)》、《數(shù)學(xué)分析》、《常微分方程》、《C語言程序設(shè)計(jì)》 適用專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)

開課院（系）：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

一、課程的性質(zhì)與任務(wù)

數(shù)值計(jì)算方法是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的核心課程之一。它是對一個(gè)數(shù)學(xué)問題通過計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)值運(yùn)算得到數(shù)值解答的方法及其理論的一門學(xué)科。本課程的任務(wù)是架設(shè)數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)之間的橋梁，建立解決數(shù)學(xué)問題的有效算法，討論其收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性并尋找誤差估計(jì)式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)值計(jì)算的能力。

二、課程的教學(xué)內(nèi)容、基本要求及學(xué)時(shí)分配

（一）誤差分析

2學(xué)時(shí) 了解數(shù)值計(jì)算方法的主要研究內(nèi)容。2 理解誤差的概念和誤差的分析方法。熟悉在數(shù)值計(jì)算中應(yīng)遵循的一些基本原則。重點(diǎn)：數(shù)值計(jì)算中應(yīng)遵循的基本原則。難點(diǎn)：數(shù)值算法的穩(wěn)定性。

（二）非線性方程組的求根

8學(xué)時(shí) 理解方程求根的逐步搜索法的含義和思路 掌握方程求根的二分法、迭代法、牛頓法及簡化牛頓法、非線性方程組求根的牛頓法 3 熟悉各種求根方法的算法步驟，并能編程上機(jī)調(diào)試和運(yùn)行或能利用數(shù)學(xué)軟件求非線性方程的近似根。

重點(diǎn)：迭代方法的收斂性、牛頓迭代方法。難點(diǎn)：迭代方法收斂的階。

（三）線性方程組的解法

10學(xué)時(shí) 熟練掌握高斯消去法 熟練地實(shí)現(xiàn)矩陣的三角分解：Doolittle法、Crout法、Cholesky法、LDR方法。3 掌握線性方程組的直接解法：Doolittle法、Crout法、Cholesky法（平方根法）、改進(jìn)平方根法、追趕法。

4能熟練地求向量和矩陣的1-范數(shù)、2-范數(shù)、?-范數(shù)和條件數(shù)。5 理解迭代法的基本思想，掌握迭代收斂的基本定理。掌握解線性方程組的雅可比（Jacobi）迭代法、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法、逐次超松馳（SOR）迭代法。7能寫出線性方程組的各種直接解法和間接解法的算法，并能編程上機(jī)運(yùn)行或能利用數(shù)學(xué)軟件求解線性方程組。

重點(diǎn)：矩陣的三角分解。

難點(diǎn)：線性方程組迭代解法的收斂問題。

（四）插值法

6學(xué)時(shí)

1.了解插值的一般概念和多項(xiàng)式插值的存在唯一性。

2.熟練掌握Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段低次插值及三次樣條插值的求解。

3.熟悉曲線擬合的最小二乘法，能熟練地求矛盾方程組的最小二乘解。

4.能對Lagrange插值、Newton插值、Neville插值、Hermite插值、三次樣條插值、線擬合的最小二乘法等編程上機(jī)調(diào)試和運(yùn)行或借助數(shù)學(xué)軟件求插值函數(shù)和曲線擬合。

重點(diǎn)：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值。難點(diǎn)：三次樣條插值的求解。

（五）最佳逼近多項(xiàng)式的一般理論

5學(xué)時(shí) 了解最佳逼近的基本問題。掌握C[a,b]空間中最佳逼近的唯一性問題。3 了解切貝紹夫定理與Vallee-Poussin定理。

（六）數(shù)值微分與數(shù)值積分

5學(xué)時(shí) 了解數(shù)值積分的基本思想，能夠熟練地確定具體求積公式的代數(shù)精度及確定求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)。熟練地用Newton-cotes公式，Romberg公式，兩點(diǎn)、三點(diǎn)Gauss公式等進(jìn)行數(shù)值積分 重點(diǎn)：確定具體求積公式的代數(shù)精度及確定求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)。難點(diǎn)：用待定系數(shù)法確定Gauss型求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)。

（七）常微分方程的數(shù)值解

4學(xué)時(shí) 理解常微分方程的數(shù)值解的含義 掌握常微分方程的歐拉解法、R—K方法、亞當(dāng)姆斯方法，理解其算法思想。重點(diǎn)：基于數(shù)值積分的方法。難點(diǎn)：R—K方法。

三、推薦教材及參考書

推薦教材：

1、張韻華等編著，數(shù)值計(jì)算方法與算法，科學(xué)出版社，2001。

2、馮天祥編著，數(shù)值計(jì)算方法，四川科技出版社，2003。參考書：

1、馮天祥編著，數(shù)值計(jì)算方法理論與實(shí)踐研究，西南交通大學(xué)出版社，２００５。

2、李慶揚(yáng)等著，數(shù)值分析，華中理工大學(xué)出版社，2000。

3、林成森著，數(shù)值計(jì)算方法，科學(xué)出版社出版，1999。

4、李慶揚(yáng)等著，現(xiàn)代數(shù)值分析，高等教育出版社，1998。

5封建湖等，計(jì)算方法典型題分析解集，西北工業(yè)大學(xué)出版社，1999。

四、結(jié)合近幾年的教學(xué)改革與研究，對教學(xué)大綱進(jìn)行的新調(diào)整 增加了最佳逼近多項(xiàng)式的一般理論。

大綱制訂者：馮玉明

大綱審定者：陳小春

制訂日期：2008-11-15

第五篇：計(jì)算方法公式總結(jié)

計(jì)算方法公式總結(jié)

緒論

?e?x?x，x?為準(zhǔn)確值，x為近似值。絕對誤差絕對誤差限

r|e|?|x??x|??，ε為正數(shù)，稱為絕對誤差限

x??xe?表示相對誤差 通常用e?xxrx??xe??相對誤差e?*xxr相對誤差限|er|??r或|e|??r 有效數(shù)字

一元函數(shù)y=f（x）

'e(y)?f(x)e(x)絕對誤差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)???er(x)相對誤差ryyf(x)二元函數(shù)y=f（x1,x2）絕對誤差 ?f(x1,x2)?f(x1,x2)e(y)?dx1?dx2

?x1?x2?f(x1,x2)x1?f(x1,x2)x2e(y)?er(x1)?er(x2)相對誤差r?x1y?x2y

機(jī)器數(shù)系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n為計(jì)算機(jī)字長

3.指數(shù)p稱為階碼（指數(shù)），有固定上下限L、U 4.尾數(shù)部 s??0.a1a2?an，定位部?p

n?11?2(??1)?(U?L?1)5.機(jī)器數(shù)個(gè)數(shù)機(jī)器數(shù)誤差限

1?np舍入絕對 |x?fl(x)|???截?cái)嘟^對|x?2fl(x)|???n?p

|x?fl(x)||x?fl(x)|11?n1?n????舍入相對截?cái)嘞鄬?/p>

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)?(x?x?)mg(x)，g(x)?0，x*為f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)?0?xk?1??(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}?x??(x){xk}為迭代序列，?(x)為迭代函數(shù)，k??k

局部收斂

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應(yīng)用定理3判斷是否局部收斂

牛頓迭代法

f(x)?f(xk)?f(xk)(x?xk)?0

f(xk)xk?1?xk?'(k?0,1,2,?)f(xk)注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。

'

牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內(nèi)也收斂，加如下四個(gè)條件

注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構(gòu)造一個(gè)區(qū)間[ε,M(ε)],其中f(?)M(?)???',在這個(gè)區(qū)間內(nèi)驗(yàn)證這四個(gè)條件。

f(?)

如果知道根的位置，構(gòu)造[ε，M（ε）]時(shí)應(yīng)該包括根，即ε+常數(shù)

線性方程組求解

有兩種方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用線性代數(shù)中初等行變換將增廣矩陣轉(zhuǎn)化為等價(jià)上三角矩陣。

注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續(xù)初等行變換。對角占優(yōu)矩陣

?a11?aA??21????an1na12a22?an2?a1n??a2n???? ??ann?則稱A為按行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 |aii|??|aij|(i?1,2,?,n)j?1j?in|ajj|??|aij|(j?1,2,?,n)i?1i?j則稱A為按列嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣

aij?aji(i?1,j?n)?x?R,x?0,(x,Ax)?0

則稱A是對稱正定的。

當(dāng)A是上面三種情況時(shí)，用高斯消去法消元時(shí)追趕法是高斯消元法的一種特例

nakk?0，不用換行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列絕對值當(dāng)|ask|?maxk?i?n最大的行（s行）調(diào)到第k行，再進(jìn)行高斯消元。(k)(k)

迭代序列構(gòu)造

Ax?b?x?Bx?f?x第三個(gè)等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別

1.充分條件：迭代矩陣范數(shù)小于1，?B??1

結(jié)論：Ax=b有唯一解x*

(k?1)?Bx(k)?f

2.充要條件：迭代矩陣譜半徑小于1,?(B)?1 Jacobi迭代法

A?L?D?U其中L（low）為下三角，U為上三角，D為對角線元素

迭代格式：x(k?1)??????D(L?U)x(k)?D?1b

?1??

迭代矩陣J??D(L?U)

?1??收斂性判據(jù)：

|?I?J|?0?|D|?|L??D?U|?0?|L??D?U|?0

求出?最大值小于1（J的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.?1????Gauss-Seidel迭代法

迭代格式

x(k?1)?D(?Lx?1?(k?1)?Ux(k)?b)

?(k)?x(k?1)??(D?L)Ux??1??1?(D?L)?1b

?迭代矩陣：G??(D?L)U

?常數(shù)矩陣：g?(D?L)?1b

?

收斂性判據(jù)：

?????|?I?G|?0?|(D?L)|?|?(D?L)?U|?0?|?(D?L)?U|?0

求出?最大值小于1（G的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.結(jié)論：當(dāng)A是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的

?1插值法

用插值多項(xiàng)式p（x）代替被插函數(shù)f(x)

nP(x)?a?ax???ax插值多項(xiàng)式：，01nn+1個(gè)點(diǎn)P(xi)?yi(i?0?n)

插值區(qū)間：[a,b]，插值點(diǎn)滿足

a?x0?x1??xn?b

求插值多項(xiàng)式P（x），即求多項(xiàng)式系數(shù)的過程為插值法

帶入可知求系數(shù)的插值點(diǎn)行列式為范德蒙行列式，不為0，有唯一解。即n+1插值條件對應(yīng)的不超過n次的插值函數(shù)P（x）只有一個(gè)。一次線性插值nx?x0x?x1Py0?y1?y0l0(x)?y1l1(x)1(x)?x0?x1x1?x0(x?xi)lk(x)???i?0(x?x)?(xk?xi)i?kki

ni?0i?ki?0i?kn?(x?xi)Lagrange插值多項(xiàng)式

Ln(x)??yklk(x)??k?0k?0 nnx?xi(?)yki?0x?xii?kkn插值余項(xiàng)

非插值節(jié)點(diǎn)上Lagrange插值多項(xiàng)式為被插函數(shù)f(x)的近似值

f(n?1)(?)nRn(x)?f(x)?Ln(x)??(x?xi)(n?1)!i?0??(a,b)

帶導(dǎo)數(shù)插值條件的余項(xiàng)估計(jì)

注：推導(dǎo)過程用羅爾中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)

?(t)?Rn(t)?K(x)Wn?1(t)

第二條性質(zhì)用于可以證明階數(shù)不大于n的f(x)的插值余項(xiàng)為0.差商和Newton插值法

記憶方法：先記分母，最后一個(gè)減去第一個(gè)，對應(yīng)的分子第一項(xiàng)是最后一個(gè)臨近k元素的差商，第二項(xiàng)是第一個(gè)臨近k個(gè)元素的差商。

牛頓插值多項(xiàng)式

通常記作Nn（x）分段樣條插值

分段二次樣條插值

討論n為奇偶情況時(shí)的三個(gè)點(diǎn) 余項(xiàng)估計(jì)式

三次樣條插值函數(shù)

第一類邊界條件（端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)已知）

D0等于第一個(gè)式子，dn等于第二個(gè)式子

自然邊界條件（端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)已知二階導(dǎo)數(shù)和M0，Mn=0）

曲線擬合

最小二乘原理

函數(shù)關(guān)于n個(gè)點(diǎn)線性無關(guān)

23n1,x,x,x,?,x注：線性無關(guān)的函數(shù)為才是最小二乘多項(xiàng)式

注：記住公式即可。

數(shù)值積分和數(shù)值微分

xk為求積節(jié)點(diǎn)，Ak為求積系數(shù)。

插值求積公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截?cái)嗾`差

代數(shù)精度

當(dāng)f(x)為不超過m次多項(xiàng)式時(shí)上式成立，f（x）為m+1多項(xiàng)式時(shí)上式不成立。則稱為求積公式有m次代數(shù)精度。

梯形公式代數(shù)精度為1，Simpson公式代數(shù)精度為3，Cotes公式代數(shù)精度為5

截?cái)嗾`差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求積公式

求積公式代數(shù)精度為2n+1 [-1,1]上的兩點(diǎn)Gauss公式（3次代數(shù)精度）

11??1f(x)dx?f(?3)?f(3)1[-1,1]上的三點(diǎn)Gauss公式（5次代數(shù)精度）

53853??1f(x)dx?9f(?5)?9f(0)?9f(5)1

記住 xktk，AkAk的關(guān)系，tkAk??查表即可

復(fù)化梯形公式2階，復(fù)化Simpson公式4階，復(fù)化Cote公式6階

計(jì)算機(jī)通過不斷把區(qū)間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可

1|I2n(f)?In(f)|??時(shí) 給定精度ε，p2?11|I(f)?I2n(f)|?p|I2n(f)?In(f)|??2?1因而可以取I2n(f)為I(f)的近似值。

梯形

Simpson數(shù)值微分

數(shù)值微分截?cái)嗾`差

中點(diǎn)公式：

f(x0?h)?f(x0?h)D(h)? 2h常微分方程數(shù)值解法

Euler方法

歐拉公式（單步顯式公式）求出的近似解

局部截?cái)嗾`差

Euler公式的局部截?cái)嗾`差（一階精度）

后退Euler公式

梯形公式(二階精度)

改進(jìn)Euler公式（二階精度）

截?cái)嗾`差（推導(dǎo)要求掌握，利用梯形和Euler公式的截?cái)嗾`差）