華南理工大學期末考試

高等數(shù)學（下）A

一、單項選擇題（本大題共15分，每小題3分）

1.若在點處可微，則下列結(jié)論錯誤的是

（B）

(A）在點處連續(xù)；

(B)

在點處連續(xù)；

(C)

在點處存在；

(D)

曲面在點處有切平面

.2.二重極限值為（D）

(A）；

(B)；

(C)；

(D)不存在.3..已知曲面，則（B）

(A）；

(B)；

(C)；

(D)

4.已知直線和平面，則（B）

(A）在內(nèi)；

(B)

與平行，但不在內(nèi)；

(C)

與垂直；

(D)

與不垂直，與不平行（斜交）

.5、用待定系數(shù)法求微分方程的一個特解時，應(yīng)設(shè)特解的形式

（B）

(A)

；（B）；（C）；（D）

二、填空題

（本大題共15分，每小題3本分）

１.，則

２.曲線L為從原點到點的直線段，則曲線積分的值等于

３.交換積分次序后，４.函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)為

5.曲面在點處的法線方程是

三、（本題7分）計算二重積分，其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域

解：

四、（本題7分）計算三重積分，其中是由柱面及平面所圍成的閉區(qū)域

解：

五、（本題7分）計算，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面的上側(cè)

解：

六、（本題7分）計算，其中為從點沿橢圓到點的一段曲線

解：

七、（本題6分）設(shè)函數(shù)，證明：1、在點處偏導(dǎo)數(shù)存在，2、在點處不可微

解：,極限不存在故不可微

八、（本題7分）設(shè)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求

解：

九、（本題7分）設(shè)是微分方程的一個解，求此微分方程的通解

解：，求得

從而通解為

十、（本題8分）在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使該切平面與三個坐標平面圍成的四面體的體積最小，求切點的坐標

解：設(shè)切點，切平面方程為，四面體體積為

令

十一、（非化工類做，本題7分）求冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)

解：收斂域上

十二、（非化工類做，本題7分）設(shè)函數(shù)以為周期，它在上的表達式為求的Fourier級數(shù)及其和函數(shù)在處的值

解：的Fourier級數(shù)為

和函數(shù)在處的值為0

十一、（化工類做，本題7分）已知直線和

證明：，并求由和所確定的平面方程

證：，故

由這兩條直線所確定的平面方程為

十二、（化工類做，本題7分）設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中連續(xù)可導(dǎo)，且，計算

解：