國家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)6試題及答案

形考任務(wù)6

常微分方程學(xué)習(xí)活動6

第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)

本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握．

要求：首先請同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業(yè)頁面中點擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁界面完成任務(wù)，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進(jìn)行評分。

一、填空題

1．若A(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間

不能

與x軸相交．

2．方程組的任何一個解的圖象是n

+

1維空間中的一條積分曲線．

3．向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)線性相關(guān)的必要

條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．

4．線性齊次微分方程組，的一個基本解組的個數(shù)不能多于n

+

個．

5．若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上恒等于零

．

6．函數(shù)組的朗斯基行列式是

．

7．二階方程的等價方程組是．

8．若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們

沒有

共同零點．

9．二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是

線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）

．

10．階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)最多為N個．

11．在方程y″+

p(x)y′+q(x)y

=

0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上可以與x軸橫截相交．

12．二階線性方程的基本解組是．

13．線性方程的基本解組是

．

14．方程的所有解構(gòu)成一個

維線性空間．

15．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個

n

維線性空間．

二、計算題

1．將下列方程式化為一階方程組

（1）

（2）

1．（1）

解，（2）解

2．求解下列方程組：

（1）

（2）

（1）

解

方程組的系數(shù)陣為

特征方程為：

det(A-E)=

=，其特征根為

.當(dāng)時,，其中a,b滿足

(A-E)=

=

0,則有a

+

b

=

0．

取a

=

1,b

=1,則得一特解

同理,當(dāng)時，所以方程組的解為

（2）解

方程組的系數(shù)陣為

.特征方程為:

det(A-E)=

=

特征根為

.當(dāng)時,其中a,b滿足

(A-E)=

=0,故有

即

.取，于是方程組對應(yīng)于

=

故特征根所對應(yīng)的實解為

=,=

所以方程組的解為

=

3．求解下列方程組：

（1）

（2）

（1）解

方程組的系數(shù)陣為

.特征方程為:

det(A-E)=

=

特征根為

當(dāng)時,其中a,b滿足（=

0,即

第一個方程有

令，則

于是由

解得通解

=

.（2）

解

系數(shù)陣為

特征方程為:

det(A-E)==.特征根為

.通解解為

.4．求解下列方程組：

（1）

（2）

4．解

方程組的系數(shù)陣為，其特征方程為：

det(A-E)=

=.特征根為,方程組有如下形式的解:

代入原方程組有

消去得

令,則

令,則

所以方程組的解為

（2）解

首先求出相應(yīng)齊次線性方程組的通解.對應(yīng)齊次方程的系數(shù)陣為

.其特征方程為：

det(A-E)=

=.特征根為

當(dāng)時，其中a,b滿足(A-E)=

=0,則有ab

=

0

取a

=

b

=1,則得一特解

同理,當(dāng)時，所以對應(yīng)齊次線性方程組的通解為

然后運用常數(shù)變易法計算原方程組的一個特解.將代入原方程組，得

解得

.原方程組的特解為

所以原方程組的通解為

5．已知方程的一個解，求其通解．

5．解

由通解公式，6．試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解

（1）

（2）

6．（1）

解

特征方程為:

特征根為:。它們對應(yīng)的解為:

方程通解為:.（2）

解

特征方程為:

特征根為:

它們對應(yīng)的解為:

方程通解為:

.7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：

（1），（2），7．（1）

解

特征方程為:.特征根為:，方程通解為:

由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.（2）解

特征方程為:.特征根為:，方程通解為:

由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.8．求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：

（1）

（2）

8．（1）解

由于，故齊次方程的通解為

.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.將它代入原方程，得,，所求通解為.（2）解

由于，.因為不是特征根，故已知方程有形如的特解．將上式代入原方程，可得，所求通解為

.三、證明題

1．設(shè)矩陣函數(shù)，在（a,b）上連續(xù)，試證明，若方程組

與有相同的基本解組，則o．

2．設(shè)在方程中，在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．

3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數(shù)．

1．證明

設(shè)為基本解矩陣,因為基本解矩陣是可逆的,故有

于是.2．證明

設(shè)w(x)是方程的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式，則且有，.又因為在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零,從而對,或,所以,在上恒正或恒負(fù),即w(x)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).3．證明

設(shè)兩個線性的解組的朗斯基行列式分別為，且，所以有.四、應(yīng)用題

1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點由靜止開始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點的運動規(guī)律。

解

設(shè)液體的反作用與質(zhì)點速度的比例系數(shù)為

則指點的運動滿足方程：

即

則(*)所對應(yīng)的齊次方程的通解為：

又是齊次方程的特征根,故特解形式為：

代入(*)式得：

所以

由得

故