第一篇：壓軸題型訓練6-構造向量證明不等式

構造向量證明不等式

教材中有關向量的內(nèi)容，其中兩個向量的數(shù)量積有一個性質(zhì)：a?b?|a||?b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|a?b|?||a||?b|cos?|，又?1?cos??1，則易得到以下推論：

（1）a?b?|a||?b|；（2）|a?b|?|a||?b|；

（3）當a與b同向時，a?b?|a||?b|；當a與b反向時，a?b??|a||?b|；（4）當a與b共線時，|a?b|?|a||?b|。以上推論在證明不等式問題中有重要應用。

一、證明不等式

例

1已知a、b?R，a?b?1，求證：2a?1?2b?1?22。證明：設m=（1，1），n?(2a?1，2b?1)，則

?m?n?2a?1?2b?1，|m|?2，|n|?2a?1?2b?1?2

由性質(zhì)m?n?|m||?n|，得2a?1?2b?1?22

練習1.若a，b?R，a?b?2，求證：2a?1?2b?1?23 例2 已知x?y?z?1，求證：x?y?z?證明：設m=（1，1，1），n=（x，y，z），則

222*1。3m?n?x?y?z?1|m|?3，|n|?2x?y?z22222

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得x?y?z??2221 3a2b2c2a?b?c???例3 已知a，b，c?R，求證：。b?cc?aa?b2證明：設m?(abc，)，n?(b?c，a?c，a?b)，b?cc?aa?ba2b2c2??，|n|?2(a?b?c)b?ca?ca?b則m?n?a?b?c，|m|?222a2b2c2a?b?c???由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得 b?cc?aa?b2 1

a2b2c2練習2.設a，b，c?R，且a?b?c?2，求證：???1

b?cc?aa?b*???abc??，提示：構造m???，n??b?cc?aa?b?4422?b?c,c?a,a?b

332?例4 已知a,b為正數(shù)，求證：(a?b)(a?b)?(a?b)。證明：設m?(a，b)，n?(a，b)，則22244222m?n?a3?b3|m|?a?b，|n|?a?b23322244

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得(a?b)(a?b)?(a?b)例5 設a,b,c,d?R，求證：ad?bc?a2?b2?c2?d2。

證明：設m=（a,b），n=（c,d），則m?n?ad?bc

|m|?a2?b2，|n|?c2?d2

由性質(zhì)a?b?|a||?b|，得ad?bc?

二、比較大小

例6 已知m,n,a,b,c,d?R，且p?p，q的大小關系為（）

A.p?q

B.p?q

C.p

D.p,q大小不能確定

?a2?b2?c2?d2

ab?cd，q?ma?nc?bd?，那么mn解：設h?(ma，nc)，k?(bd，)，則 mnh?k?ab?cd|h|?ma?nc，|k|?bd

?mn由性質(zhì)|h?k|?|h||?k|得ab?cd?即p?q，故選（A）

三、求最值

ma?nc?bd? mn例7 已知m,n,x,y?R，且m?n?a，x?y?b，那么mx+ny的最大值為（）

A.2222ab a?bB.C.2a2?bD.2a2?b2 2 2 解：設p=（m,n），q=（x,y），則 由數(shù)量積的坐標運算，得p?q?mx?ny 而|p|?m2?n2，|q|?x2?y2

從而有mx?ny?m2?n2?x2?y2

ab，故選（A）。

2222當p與q同向時，mx+ny取最大值m?n?x?y?例8

求函數(shù)y?152x?1?5?2x(?x?)的最大值。

22解：設m?(2x?1，5?2x)，n?(1，1)，則

m?n?2x?1?5?2x|m|?2，|n|?2

由性質(zhì)m?n?|m||?n|，得y?當

2x?1?5?2x?22

12x?1?15?2x時，即x?3時，ymax?2 2

四、求參數(shù)的取值范圍

例9 設x,y為正數(shù)，不等式x?y?ax?y恒成立，求a的取值范圍。

解：設m?(x，y)，n?（1，1），則

m?n?x?y，|m|?x?y，|n|?2

y?2?x?y 由性質(zhì)m?n?|m||?n|，得x?又不等式x?y?ax?y恒成立，故有a?2

第二篇：壓軸題型訓練5-構造函數(shù)證明不等式

構造函數(shù)證明不等式

函數(shù)是高中數(shù)學的基礎，是聯(lián)系各個數(shù)學分支的橋梁和紐帶.在不等式的證明中，我們可根據(jù)不等式的結(jié)構特點，建立起適當?shù)暮瘮?shù)模型，利用函數(shù)的單調(diào)性、凸性等性質(zhì)，靈活、巧妙地證明不等式.一、二次函數(shù)型：

1.作差構造法.例1.求證:a?b?c?ab?bc?ca.分析:將a視為變量,考察函數(shù)f?a??a??b?c?a?b?bc?c.由于該二次函數(shù)的圖象開口向上,22222

2且???3?b?c??0,故f?a??0.結(jié)論獲證.例2.設a,b,c為?ABC的三條邊,求證:a2?b2?c2＜2?ab?bc?ca?.分析:構造函數(shù)f?x??x?2?b?c?x??b?c?.∵f?x?圖象開口向上,對稱軸x?b?c.∴f?x?222

在???,b?c?上單調(diào)遞減.∵a,b,c為?ABC的三條邊,∴b?c＜a＜b?c(不妨設b?c)∴f?a??f?b?c?.∵f?b?c???b?c??2?b?c??b?c???b?c???4c?b?c??0.∴f?a??0.即結(jié)論成立.2.判別式構造法.2222例3.已知a,b,c,d都是實數(shù),且a?b?1,c?d?1.求證:ac?bd?1.222ac?bd?4a?b?分析：所證結(jié)論即是?????222???c2?d2??0.故可構造函數(shù)

f?x???a2?b2?x2?2?ac?bd?x?c2?d2.由于f?x??ax?2acx?c22?2???bx22?2bdx?d2???ax?c???bx?d??0.22

當且僅當x?cd?時取“=”號.又因為f?x?的圖象開口向上,故必有??0.結(jié)論成立.ab

2練習1.求證:?ac?bd??a?b2?2??c2?d2?.點撥:證法同例3.該題是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:

nnnn?n??n2?222x??bi2證之.??aibi???ai??bi.可構造函數(shù)f?x????ai?x?2?aibi?

i?1i?1?i?1?i?1i?1?i?1?2

練習2.已知a,b是不相等的兩個正數(shù),求證:

?a?b??a3?b3???a2?b2?2.2點撥:構造函數(shù)f?x???a?b?x?2a?b2?2?x?a3?b3?a?x?a??b?x?b?證之.22

練習3.已知a,b都是正數(shù),x,y?R,且a?b?1,求證:

ax2?by??ax?by?.222

點撥:構造函數(shù)f?z???a?b?z?2?ax?by?z?ax?by?a?z?x??b?z?y?證之.242

練習4.求證:31?a?a?1?a?a

???

?

.點撥:構造函數(shù)f?x??3x?21?a?a

二、分式函數(shù)型:

??x?1?a

?a4??x?1???x?a???x?a2?證之.例4.已知a,b,m都是正數(shù),并且a?b,求證:

分析:構造函數(shù)f?x??

a?ma

?.b?mb

b?ax?a

?0.故f?x?在x??0,???.由于當x??0,???時，f??x??

2x?b?x?b?

?0,???上是增函數(shù).∵f?x?在x?0處右連續(xù)，∴f?x?在?0,???上是增函數(shù).∵m?0 ∴

f?m??f?0? 即

a?ma?.b?mb

a?b

?1.1?ab

例5.已知a?1,b?1,求證:

1?a2a?x

?0.分析:構造函數(shù)f?x??x???1,1?.由于當x???1,1?時，f??x??2

1?ax?1?ax?

故f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵f?x?在x??1處右連續(xù)，在x?1處左連續(xù).∴f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵?1?b?1 ∴f??1??f?b??f?1? ,即?1?

a?b

?1, 即1?ab

a?b

?1.1?ab

練習5.已知c?a?b?0,求證:

點撥:構造函數(shù)f?x??

ab?.c?ac?b

x

x??0,c?

c?x

abc

??.a?mb?mc?m

練習6.已知?ABC的三邊長分別是a,b,c.且m為正數(shù).求證:

點撥:構造函數(shù)f?x??

x,x??0,???.易證f?x?為增函數(shù).由于a?b?c, x?ma?bcababa?b

故f?a?b??f?c?.即?.而????.a?b?mc?ma?mb?ma?b?ma?b?ma?b?m

abc故有??.a?mb?mc?m

練習7.求證:

a?b1?a?b

?

a?b1?a?b

.分析:構造函數(shù)f?x??

三、冪函數(shù)型：

x,x??0,???證之.1?x

3223

例6.如果a,b都是正數(shù)，且a?b,求證：a?b?ab?ab.分析：a?b?ab?ab?a?b

n

*

553223

?

??a

?b2?.考察函數(shù)f?x??x,(n?N)在?0,???上的單調(diào)性，顯然f?x?在?0,???上為增函數(shù).3322

若a?b,則a?b, a?b,所以a?b

??

??a??a

?b2??0； ?b2??0。

3322

若a?b,則a?b, a?b,所以a?b

332

所以a?b?ab?ab.利用函數(shù)的單調(diào)性證法可以將上述結(jié)論推廣為: 若a、b是正數(shù)且a?b,求證：a四、一次函數(shù)型：

例7.設a,b,c??0,1?,求證:a?b?c?ab?bc?ca?1.分析:構造函數(shù)f?a???1?b?c?a?b?c?bc?1,a??0,1?.∵f?0??b?c?bc?1??1?c??b?1??0,f?1??1?b?c?b?c?bc?1??bc?0.∴對任意a??0,1?,恒有f?a??0.故原不等式成立.五、三角函數(shù)型：

222

2例8.已知a,b,c,d都是實數(shù),且a?b?1,c?d?1.求證:ac?bd?1.55322

3m?n

?bm?n?ambn?anbm.(m,n?N*)

cos??sin??sin? 分析:設a?cos?,b?sin?, c?cos?,d?sin?.則ac?bd?cos???cos??????1.練習8.設x,y?R,且x?y?1,求證

:?x?2xy?y?點撥:設x?rcos?,y?rsin?.其中r?1.以下略.六、構造函數(shù),利用函數(shù)圖象的凸性： 例9.求證3+7<2

5分析:考察函數(shù)f(x)=x的圖象,特征是上凸函數(shù).對任意x1,x2??0,???,且x1?x2,都有：

?f(x1)?f(x2)?

2f?3??f?7??所以,???f?5?.2?

1即（+7）<.2

兩條結(jié)論:

（1

值之和越大.(2)下凸函數(shù),區(qū)間中點相同時,兩端“距離”區(qū)間中點越近,兩端點函數(shù)值之和越小.練習9.已知:f?x??tanx,x??0,1??????

x,xx?x, 若 且,試判斷0,??1212????f?x1??f?x2???與222????

?x?x?

f?12?的大小.?2?

練習10.已知:f?x??lgx

?x?1?,若0?x1?x2,試比較

?

lgA?lgB

?f?x1??f?x2???與2?

?x?x?

f?12?的大小 ?2?

練習11.求證:lg

A?B2

?AB?0?.以上表明,若能清楚不等式所反映的圖象意義，就會給證明提供思路.七、構造連續(xù)函數(shù)，應對含離散型變量的不等式問題： 例10．已知m,n是正整數(shù)，且1﹤m＜n.證明?1?m?＞?1?n?.n

m

分析：不等式?1?m?＞?1?n?兩邊取對數(shù)，得：ln?1?m?＞ln?1?n?.n

m

n

m

整理，得：

ln?1?m?ln?1?n?＞.mn

構造函數(shù)g?x??

ln?1?x?

x

?x?2?.x

?ln?1?x?

求導，得：g??x??1?x.2x

當x?2時,可得：0＜

x

＜1，ln?1?x??ln3＞1.1?x

故g??x?＜0.所以g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵g?x?在x?2處右連續(xù).∴g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵m＜n，∴ g?m?＞g?n?.即

n

m

ln?1?m?ln?1?n?＞.mn

整理，得：?1?m?＞?1?n?.注：不等式?1?m?＞?1?n?也可化為：?1?m?

n

m

m

＞?1?n?

1n

.這時，可研究函數(shù)

h?x???1?x??e

1x

ln?1?x?x的單調(diào)性證之.n?

1練習12.已知n是正整數(shù)且n≥3.求證：n

點撥：不等式n

n?1

n

＞?n?1?.n

＞?n?1?兩邊取自然對數(shù)，整理得：

lnnln?n?1?＞.n?1n

構造函數(shù)f?x??

lnx

可證之.x

lnf?x?

說明:根據(jù)所構造函數(shù)的結(jié)構特點,我們將函數(shù)轉(zhuǎn)化為lnf?x?型或e

型,方便了對函數(shù)的求導運算.不等式證明的數(shù)學模型，除本文介紹的函數(shù)模型外，還可建立向量模型、解析幾何模型、方程模型等.

第三篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運算都沒有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據(jù)向量內(nèi)積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

第四篇：構造向量巧解不等式問題

構造向量巧解有關不等式問題

新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個向量的數(shù)量積有一個性質(zhì)：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當a與b同向時，ab??|ab|?||；當a與b反向時，a?b???|a||b|；

（4）當a與b共線時，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問題中的應用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質(zhì)m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質(zhì)|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

第1頁（共4頁）

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a2b2c2a?b?c由性質(zhì)| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數(shù)，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設a，求證：a

證明：設m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質(zhì)ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質(zhì)|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設p=（m,n），q=（x,y），則

由數(shù)量積的坐標運算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當p與q同向時，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數(shù)的最大值。x??)

解：設，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當

四、求參數(shù)的取值范圍 113 時時，y?2max22x??2x

y?y例9設x,y為正數(shù)，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設，則

||x?y||2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學（163000）

第五篇：構造函數(shù)證明不等式

在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數(shù)有關或能通過等價轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。

例1.設：a、b、c∈R，證明：a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立，并指出等號何時成立。

解析：令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc

⊿＝(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)?0，∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。

當⊿＝0時，b?c?0，此時，f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0，∴a??b?c時，不等式取等號。

?4?例2.已知：a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2，求證： a,b,c??0,?。

?3??a?b?c?222解析：?2 消去c得：此方程恒成立，a?(b?2)a?b?2b?1?0，22?a?b?c?2∴⊿＝(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0，即：0?b??4?同理可求得a,c??0,?

?3?4。3② 構造函數(shù)逆用判別式證明不等式

對某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構特征，通過構造二項平方和函數(shù)：f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2

由f(x)?0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。

例3.設a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1，求證：4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。解析：構造函數(shù)：

f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)

2＝8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)由f(x)?0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設a,b,c,d?R?且a?b?c?1，求解析：構造函數(shù)f(x)?(＝(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2bx?b)2?(3cx?c)2

1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc111由f(x)?0（當且僅當a?,b?,c?時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（??）≤0

abc111149

∴當a?,b?,c?時，(??)min?36 632abc

構造函數(shù)證明不等式

1、利用函數(shù)的單調(diào)性

+例

5、巳知a、b、c∈R，且a b?mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想，構造出與所證不等式密切相關的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。

a?x+，其中x∈R，0

b?xb?x證明：令 f（x）= ∵b-a>0 b?a+ 在R上為減函數(shù) b?xb?a+從而f（x）= 在R上為增函數(shù)

b?x∴y= ∵m>0 ∴f（m）> f（0）

∴a?ma> b?mb例

6、求證：a?b1?a?b≤

a?b1?a?b（a、b∈R）

[分析]本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構造函數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性證明，問題將迎刃而解。

[證明]令 f（x）=

x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1?x 而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）

即： a?b1?a?b≤

a?b1?a?b

[說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。

2、利用函數(shù)的值域

例

7、若x為任意實數(shù)，求證：—

x11≤≤ 221?x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。

1?x222x2證明：設 y=，則yx-x+y=0 21?x ∵x為任意實數(shù) ∴上式中Δ≥0，即（-1）-4y≥0 1 411得：—≤y≤

22x11 ∴—≤≤

21?x22 ∴y≤2[說明]應用判別式說明不等式，應特別注意函數(shù)的定義域。

另證：類比萬能公式中的正弦公式構造三角函數(shù)更簡單。

例

8、求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ Lga.lg2x?lg2y

對大于1的任意x與y恒成立。

[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變元的函數(shù)，然后根據(jù)變元函數(shù)的值域來求解a，從而說明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。

22證明：∵lgx?lgy > 0(x>1,y>1)∴原不等式可變形為：Lga≥

lgx?lgylgx?lgy22

2（lgx?lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1?222222lgx?lgylgx?lgylgx?lgylgx?lgy 而 lgx>0,lgy>0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx?lgy ∴ 1

從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥10

2即可。

故必存在常數(shù)a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。

3、運用函數(shù)的奇偶性

xx<(x≠0)1?2x2xx 證明：設f（x）=-(x≠0)x1?22 例

9、證明不等式：

?x?x?x2xx ∵f（-x）=-= x+ ?x1?222?12xxx

[1-(1-2)]+ 1?2x2xx =-x+= f(x)x1?22 = ∴f(x)的圖象關于y軸對稱

x ∵當x>0時，1-2<0，故f(x)<0 當x<0時，根據(jù)圖象的對稱性知f(x)<0 故當 x≠0時,恒有f(x)<0 即：xx<(x≠0)x1?22 [小結(jié)]本題運用了比較法，實質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性來證明的，本題也可以運用分類討論思想。但利用偶函數(shù)的軸對稱性和奇函數(shù)的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復雜的討論。