第一篇：2018年考研數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)及應(yīng)用

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【導(dǎo)數(shù)定義和求導(dǎo)要注意的】

第一，理解并牢記導(dǎo)數(shù)定義。導(dǎo)數(shù)定義是考研數(shù)學(xué)的出題點(diǎn)，大部分以選擇題的形式出題，01年數(shù)一考一道選題，考查在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件，這個并不會直接教材上的導(dǎo)數(shù)充要條件，他是變換形式后的，這就需要同學(xué)們真正理解導(dǎo)數(shù)的定義，要記住幾個關(guān)鍵點(diǎn)：

1)在某點(diǎn)的領(lǐng)域范圍內(nèi)。

2)趨近于這一點(diǎn)時極限存在，極限存在就要保證左右極限都存在，這一點(diǎn)至關(guān)重要，也是01年數(shù)一考查的點(diǎn)，我們要從四個選項(xiàng)中找出表示左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等的選項(xiàng)。

3)導(dǎo)數(shù)定義中一定要出現(xiàn)這一點(diǎn)的函數(shù)值，如果已知告訴等于零，那極限表達(dá)式中就可以不出現(xiàn)，否就不能推出在這一點(diǎn)可導(dǎo)，請同學(xué)們記清楚了。

4)掌握導(dǎo)數(shù)定義的不同書寫形式。

第二，導(dǎo)數(shù)定義相關(guān)計(jì)算。這里有幾種題型：1)已知某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，計(jì)算極限，這需要掌握導(dǎo)數(shù)的廣義化形式，還要注意是在這一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在的前提下，否則是不一定成立的。

第三，導(dǎo)數(shù)、可微與連續(xù)的關(guān)系。函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)與可微是等價的，可以推出在這一點(diǎn)處是連續(xù)的，反過來則是不成立的，相信這一點(diǎn)大家都很清楚，而我要提醒大家的是可導(dǎo)推連續(xù)的逆否命題：函數(shù)在一點(diǎn)處不連續(xù)，則在一點(diǎn)處不可導(dǎo)。這也常常應(yīng)用在做題中。

第四，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以說在每一年的考研數(shù)學(xué)中都會涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類型題，首先就需要我們把基本的導(dǎo)數(shù)計(jì)算弄明白：1)基本的求導(dǎo)公式。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些基本的初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)都是需要記住的，這也告訴我們在對函數(shù)變形到什么形式的時候就可以直接代公式，也為后面學(xué)習(xí)不定積分和定積分打基礎(chǔ)。2)求導(dǎo)法則。求導(dǎo)法則這里無非是四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和反函數(shù)求導(dǎo)，要求四則運(yùn)算記住求導(dǎo)公式;復(fù)合函數(shù)要會寫出它的復(fù)合過程，按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一次求導(dǎo)就可以了，也是通過這個復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，我們可求出很多函數(shù)的導(dǎo)數(shù);反函數(shù)求導(dǎo)法則為我們開辟了一條新路，建立函數(shù)與其反函數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，從而也使我們得到反三角函數(shù)求導(dǎo)公式，這些公式都將要列為基本導(dǎo)數(shù)公式，也要很好的理解并掌握反函數(shù)的求導(dǎo)思路，在13年數(shù)二的考試中相應(yīng)的考過，請同學(xué)們注意。3)常見考試類型的求導(dǎo)。通常在考研中出現(xiàn)四種類型：冪指函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程和抽象函數(shù)。這四種類型的求導(dǎo)方法要熟悉，并且可以解決他們之間的綜合題，有時候也會與變現(xiàn)積分求導(dǎo)結(jié)合，94年，96年，08年和10年都查了參數(shù)方程和變現(xiàn)積分綜合的題目。

第五，高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算。高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算在歷年考試出現(xiàn)過，比如03年，07年，10年，都以填空題考查的，00年是一道解答題。需要同學(xué)們記住幾個常見的高階導(dǎo)數(shù)公式，將其他函數(shù)都轉(zhuǎn)化成我們這幾種常見的函數(shù)，代入公式就可以了，也有通過求一階導(dǎo)數(shù)，二階，三階的方法來找出他們之間關(guān)系的。這里還有一種題型就是結(jié)合萊布尼茨公式求高階導(dǎo)數(shù)的，00年出的題目就是考察的這兩個知識點(diǎn)。

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【導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用】

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有以下幾種：(1)切線和法線;(2)單調(diào)性;(3)極值;(4)凹凸性;(5)拐點(diǎn);(6)漸近線;(7)(曲率)(只有數(shù)一和數(shù)二的考);(8)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(只有數(shù)三的考)。我們一一說明每個應(yīng)用在考研中有哪些注意的。

?切線和法線

主要是依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出曲線在一點(diǎn)處的切線方程和法線方程。

?單調(diào)性

在考研中單調(diào)性主要以四種題型考查，第一：求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;第二：證明某函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào);第三：不等式證明;第四：方程根的討論。這些題型都離不開導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，只要按照步驟計(jì)算即可。做題過程中要仔細(xì)分析每種的處理方法，多加練習(xí)。

?極值

需要掌握極值的定義、必要條件和充分條件即可。

?凹凸性和拐點(diǎn)

考查的內(nèi)容也是其定義、必要條件、充分條件和判別法。對于這塊內(nèi)容所涉及到的定義定理比較多，使很多同學(xué)弄糊涂了，所以希望同學(xué)們可以列表對比學(xué)習(xí)記憶。

?漸近線

當(dāng)曲線上一點(diǎn)M沿曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，如果M到一條直線的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。需要注意的是：并不是所有的曲線都有漸近線，漸近線反映了某些曲線在無限延伸時的變化情況。根據(jù)漸近線的位置，可將漸近線分為三類：垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。

考研中會考察給一曲線計(jì)算漸近線條數(shù)，計(jì)算順序?yàn)榇怪睗u近線、水平漸近線、斜漸近線。

?條數(shù)計(jì)算

垂直漸近線就直接算就可以了，有幾條算幾條，而水平漸近線和斜漸近線要分別x趨于正無窮計(jì)算一次，和x趨于負(fù)無窮計(jì)算一次，當(dāng)趨于正無窮和負(fù)無窮的水平漸近線或者斜漸近線相同則計(jì)為一條漸近線，若是不同，則計(jì)為兩條漸近線。另外，在趨于正無窮或者負(fù)無窮時，有水平漸近線就不會有斜漸近線。

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?曲率

這塊屬于導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用，這塊是數(shù)一數(shù)二的同學(xué)考的，需要掌握曲率、曲率半徑、曲率圓。理解并記清楚公式。

?導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用是數(shù)三特考的，這個主要是考察彈性，邊際利潤，邊際收益等。記住公式會計(jì)算即可。

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第二篇：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用復(fù)習(xí)

班級第小組，姓名學(xué)號

高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)題

8、偶函數(shù)f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e的圖像過點(diǎn)P(0,1)，且在x?1處的切線方程為y?x?2，求1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）y?(2x2?3)(x2?4)（2）y?ex?xlnx

（3）y?1?x2

sinx

（4）y?1?234x?x2?x32、已知f(x)?xsinx?x

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲線y?x過點(diǎn)(4,2)的切線方程。

4、設(shè)曲線y?

x?1

x?1

在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax?y?1?0垂直，求a的值。

5、函數(shù)y?x3

?3x的單調(diào)減區(qū)間是

6、已知函數(shù)f(x)?x3

?12x?8在區(qū)間[?3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M?m=。

7、當(dāng)x?[?1,2]時，x3

?12

x2

?2x?m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

高二數(shù)學(xué)下導(dǎo)學(xué)案

函數(shù)y?f(x)的解析式。

9.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)?(x2?1)(x?a)，若f/(?1)?0，求函數(shù)y?f(x)在R上極值。

10、（2007全國I）設(shè)函數(shù)f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2處取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對于任意的x?[0,3]，都有f(x)?c2

成立，求c的取值范圍。

11、已知函數(shù)f(x)?

a3

x3

?bx2?4cx是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像在(1,f(1))處的切線斜率為?6，且當(dāng)x?2函數(shù)f(x)有極值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

第三篇：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一復(fù)習(xí)

本節(jié)主要問題：

1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則：

如果在(a,b)內(nèi)，f'(x)?0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，(a,b)為f(x)的單調(diào)增區(qū)間； 如果在(a,b)內(nèi)，f'(x)?0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，(a,b)為f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

2、如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性（求單調(diào)區(qū)間）：

①先求定義域；②求導(dǎo)—分解因式 ；③解不等式；④下結(jié)論（注意單調(diào)區(qū)間的寫法，不能寫集合，也不能用并集）。

3、如何利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)?g(x)？

構(gòu)造函數(shù)?(x)?f(x)?g(x)，利用?(x)的單調(diào)性證明?(x)?0即可。

4、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍

找出函數(shù)y?x3?4x2?x?1的單調(diào)區(qū)間。

例

3、當(dāng)x?1時，證明不等式x?ln(x?1)。

例

4、若函數(shù)f(x)?ax?x?x?5在(??,??)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

第四篇：2015考研數(shù)學(xué)方向?qū)?shù)

2015考研數(shù)學(xué)方向?qū)?shù)

方向?qū)?shù)是數(shù)一的考點(diǎn)，記公式并會做題就可以，本知識點(diǎn)在歷年考研出題不是多，但也是大綱規(guī)定的考點(diǎn)，普明考研數(shù)學(xué)崔老師給學(xué)員梳理下這部分知識點(diǎn)。

定義如果P沿射線l趨向于P0(t?0?)時，極限 f(x?tcos,y?tcos)?f(x,y)0000?t?0t??

存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x,y)在P記為0(x0,y0)點(diǎn)沿射線l方向的方向?qū)?shù)，?f

?l，即

(x0,y0)f(x?tcos,y?tcos)?f(x,y)0000 ??t?0t(x,y)00??

如果函數(shù)f(x,y)在P0(x0,y0)點(diǎn)可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任何方向l的方向?qū)?shù)存在，而且有,其中cos，cos???f(x,y)cos??f(x,y)cos?x00y00(x,y)00

是方向l的方向余弦。

對于三元函數(shù)u?f(xyz，)有類似的定義

(x,y,z)點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)沿方向可以證明：如果f(x,y,z)在P0000

?e?(cos,cos,cos)的方向?qū)?shù)為 l

?f(x,y,z)cos?f(x,y,z)cos?f(x,y,z)cosx000y000z000(x,y,z)000??????

第五篇：教輔：高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1

考點(diǎn)七　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(一)

一、選擇題

1．(2020·山東濱州三模)函數(shù)y＝ln

x的圖象在點(diǎn)x＝e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線方程為()

A．x＋ey－1＋e＝0

B．x－ey＋1－e＝0

C．x＋ey＝0

D．x－ey＝0

答案　D

解析　因?yàn)閥＝ln

x，所以y′＝，所以y′|x＝e＝，又當(dāng)x＝e時，y＝ln

e＝1，所以切線方程為y－1＝(x－e)，整理得x－ey＝0.故選D.2.已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)的個數(shù)為()

A．1

B．2

C．3

D．4

答案　A

解析　如圖，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(c)＝0，且在點(diǎn)x＝c附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有1個極小值點(diǎn)，故選A.3．(2020·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為()

A．y＝－2x－1

B．y＝－2x＋1

C．y＝2x－3

D．y＝2x＋1

答案　B

解析　∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，∴所求切線的方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故選B.4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為()

A．0

B．－5

C．－10

D．－37

答案　D

解析　由題意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，當(dāng)x<0或x>2時，f′(x)>0，當(dāng)0

x＋f′(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.B．

C．(1,2)

D．(2,3)

答案　B

解析　∵f(x)＝x2－bx＋a，∴二次函數(shù)的對稱軸為x＝，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，0

x＋f′(x)＝aln

x＋2x－b在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又g＝aln

＋1－b<0，g(1)＝aln

1＋2－b>0，∴函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選B.6．(2020·山東泰安二輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax只有一個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A．a(chǎn)≤0或a≥

B．a(chǎn)≤0或a≥

C．a(chǎn)≤0

D．a(chǎn)≥0或a≤－

答案　A

解析　f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax，令f′(x)＝xex－ae2x＋a＝0，故x－aex＋＝0，當(dāng)a＝0時，f′(x)＝xex，函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f′(0)＝0，故函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)a≠0時，即＝ex－e－x，設(shè)g(x)＝ex－e－x，則g′(x)＝ex＋e－x≥2恒成立，且g′(0)＝2，畫出函數(shù)g(x)和y＝的圖象，如圖所示．根據(jù)圖象知，當(dāng)≤2，即a<0或a≥時，滿足條件．綜上所述，a≤0或a≥.故選A.7．(多選)若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：①直線l在點(diǎn)P(x0，y0)處與曲線C相切；②曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過”曲線C.則下列結(jié)論正確的是()

A．直線l：y＝0在點(diǎn)P(0,0)處“切過”曲線C：y＝x3

B．直線l：y＝x－1在點(diǎn)P(1,0)處“切過”曲線C：y＝ln

x

C．直線l：y＝x在點(diǎn)P(0,0)處“切過”曲線C：y＝sinx

D．直線l：y＝x在點(diǎn)P(0,0)處“切過”曲線C：y＝tanx

答案　ACD

解析　A項(xiàng)，因?yàn)閥′＝3x2，當(dāng)x＝0時，y′＝0，所以l：y＝0是曲線C：y＝x3在點(diǎn)P(0,0)處的切線．當(dāng)x<0時，y＝x3<0；當(dāng)x>0時，y＝x3>0，所以曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，結(jié)論正確；B項(xiàng)，y′＝，當(dāng)x＝1時，y′＝1，在P(1,0)處的切線為l：y＝x－1.令h(x)＝x－1－ln

x，則h′(x)＝1－＝(x>0)，當(dāng)x>1時，h′(x)>0；當(dāng)0

x，即當(dāng)x>0時，曲線C全部位于直線l的下側(cè)(除切點(diǎn)外)，結(jié)論錯誤；C項(xiàng)，y′＝cosx，當(dāng)x＝0時，y′＝1，在P(0,0)處的切線為l：y＝x，由正弦函數(shù)圖象可知，曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，結(jié)論正確；D項(xiàng)，y′＝，當(dāng)x＝0時，y′＝1，在P(0,0)處的切線為l：y＝x，由正切函數(shù)圖象可知，曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，結(jié)論正確．故選ACD.8．(多選)(2020·山東威海三模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln

x，且f＝，則()

A．f′＝0

B．f(x)在x＝處取得極大值

C．0

D．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增

答案　ACD

解析　∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln

x，即滿足＝，∵′＝，∴′＝，∴可設(shè)＝ln2

x＋b(b為常數(shù))，∴f(x)＝xln2

x＋bx，∵f＝·ln2

＋＝，解得b＝.∴f(x)＝xln2

x＋x，∴f(1)＝，滿足0

x＋ln

x＋＝(ln

x＋1)2≥0，且僅有f′＝0，∴B錯誤，A，D正確．故選ACD.二、填空題

9．(2020·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝.若f′(1)＝，則a＝________.答案　1

解析　f′(x)＝＝，則f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.10．(2020·山東新高考質(zhì)量測評聯(lián)盟高三5月聯(lián)考)曲線f(x)＝asinx＋2(a∈R)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝－x＋2，則a＝________.答案?。?

解析　f(x)＝asinx＋2(a∈R)，則f′(x)＝acosx，故當(dāng)x＝0時，f′(0)＝a，又函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝－x＋2，所以a＝－1.11．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20

cm，要使體積最大，則高為________

cm.答案

解析　設(shè)高為h

cm，則底面半徑r＝

cm，所以體積V＝r2h＝h(400－h(huán)2)，則V′＝(400－3h2)．令V′＝(400－3h2)＝0，解得h＝.即當(dāng)高為

cm時，圓錐的體積最大．

12．(2020·吉林第四次調(diào)研測試)若函數(shù)f(x)＝mx2－ex＋1(e為自然對數(shù)的底數(shù))在x＝x1和x＝x2兩處取得極值，且x2≥2x1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

答案

解析　因?yàn)閒(x)＝mx2－ex＋1，所以f′(x)＝2mx－ex，又函數(shù)f(x)在x＝x1和x＝x2兩處取得極值，所以x1，x2是方程2mx－ex＝0的兩不等實(shí)根，且x2≥2x1，即m＝(x≠0)有兩不等實(shí)根x1，x2，且x2≥2x1.令h(x)＝(x≠0)，則直線y＝m與曲線h(x)＝有兩交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足x2≥2x1，又h′(x)＝＝，由h′(x)＝0，得x＝1，所以，當(dāng)x>1時，h′(x)>0，即函數(shù)h(x)＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x<0和0

當(dāng)x2＝2x1時，由＝，得x1＝ln

2，此時m＝＝，因此，由x2≥2x1，得m≥.三、解答題

13．(2020·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x.(1)當(dāng)a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥x3＋1，求a的取值范圍．

解(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，則φ′(x)＝ex＋2＞0，故f′(x)單調(diào)遞增，注意到f′(0)＝0，故當(dāng)x∈(－∞，0)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．

(2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，①當(dāng)x＝0時，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意；

②當(dāng)x＞0時，分離參數(shù)a得a≥－，記g(x)＝－，g′(x)＝－，令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，則h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1，則H′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)單調(diào)遞增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，故當(dāng)x∈(0,2)時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(2，＋∞)時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．

因此，g(x)max＝g(2)＝，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14．(2020·山東濟(jì)南6月仿真模擬)已知函數(shù)f(x)＝aln

(x＋b)－.(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；

(2)當(dāng)b>0時，討論f(x)極值點(diǎn)的個數(shù)．

解(1)當(dāng)a＝1，b＝0時，f(x)＝ln

x－，此時，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－＝，由f′(x)>0得04.所以f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4，＋∞)上單調(diào)遞減．

所以f(x)max＝f(4)＝2ln

2－2.(2)當(dāng)b>0時，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，f′(x)＝－＝，①當(dāng)a≤0時，f′(x)<0對任意的x∈(0，＋∞)恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以此時f(x)極值點(diǎn)的個數(shù)為0；

②當(dāng)a>0時，設(shè)h(x)＝－x＋2a－b，(ⅰ)當(dāng)4a2－4b≤0，即0

時，f′(x)≤0對任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以此時f(x)極值點(diǎn)的個數(shù)為0；

(ⅱ)當(dāng)4a2－4b>0，即a>時，令t＝(t≥0)，則h(t)＝－t2＋2at－b，t1＋t2＝2a>0，t1t2＝b>0，所以t1，t2都大于0，即f′(x)在(0，＋∞)上有2個左右異號的零點(diǎn)，所以此時f(x)極值點(diǎn)的個數(shù)為2.綜上所述，當(dāng)a≤時，f(x)極值點(diǎn)的個數(shù)為0；當(dāng)a>時，f(x)極值點(diǎn)的個數(shù)為2.一、選擇題

1．(2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)4月高考預(yù)測)已知函數(shù)f(x)＝3x＋2cosx，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，則a，b，c的大小關(guān)系是()

A．a(chǎn)

B．c

C．b

D．b

答案　D

解析　根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝3x＋2cosx，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝3－2sinx，則有f′(x)＝3－2sinx>0在R上恒成立，則f(x)在R上為增函數(shù)．又由2＝log24

A．有3個極大值點(diǎn)

B．有3個極小值點(diǎn)

C．有1個極大值點(diǎn)和2個極小值點(diǎn)

D．有2個極大值點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)

答案　D

解析　結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)x0，函數(shù)y＝g(x)－f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)ag′(x)，此時y′＝g′(x)－f′(x)<0，函數(shù)y＝g(x)－f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)00,函數(shù)y＝g(x)－f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>b時，f′(x)>g′(x)，此時y′＝g′(x)－f′(x)<0，函數(shù)y＝g(x)－f(x)單調(diào)遞減，故函數(shù)在x＝a，x＝b處取得極大值，在x＝0處取得極小值．故選D.3．(2020·株洲市第二中學(xué)4月模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，則()

A．4f(－2)<9f(3)

B．4f(－2)>9f(3)

C．2f(3)>3f(－2)

D．3f(－3)<2f(－2)

答案　A

解析　首先令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，當(dāng)x>0時，g′(x)>0，g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又g(x)是偶函數(shù)，所以4f(－2)＝g(－2)＝g(2)

A．y＝2x＋1

B．y＝2x＋

C．y＝x＋1

D．y＝x＋

答案　D

解析　設(shè)直線l與曲線y＝的切點(diǎn)為(x0，)，x0＞0，函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)為y′＝，則直線l的斜率k＝，直線l的方程為y－＝·(x－x0)，即x－2y＋x0＝0.由于直線l與圓x2＋y2＝相切，則＝，兩邊平方并整理得5x－4x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以直線l的方程為x－2y＋1＝0，即y＝x＋.故選D.5．(2020·山東青島一模)已知函數(shù)f(x)＝(e＝2.718為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(x)的零點(diǎn)為α，極值點(diǎn)為β，則α＋β＝()

A．－1

B．0

C．1

D．2

答案　C

解析　∵f(x)＝∴當(dāng)x≥0時，令f(x)＝0，即3x－9＝0，解得x＝2；當(dāng)x<0時，f(x)＝xex<0恒成立，∴f(x)的零點(diǎn)為α＝2.又當(dāng)x≥0時，f(x)＝3x－9為增函數(shù)，故在[0，＋∞)上無極值點(diǎn)；當(dāng)x<0時，f(x)＝xex，f′(x)＝(1＋x)ex，當(dāng)x<－1時，f′(x)<0，當(dāng)x>－1時，f′(x)>0，∴當(dāng)x＝－1時，f(x)取到極小值，即f(x)的極值點(diǎn)β＝－1，∴α＋β＝2－1＝1.故選C.6．(2020·山西太原高三模擬)點(diǎn)M在曲線G：y＝3ln

x上，過M作x軸的垂線l，設(shè)l與曲線y＝交于點(diǎn)N，＝，且P點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0，則稱M點(diǎn)為曲線G上的“水平黃金點(diǎn)”，則曲線G上的“水平黃金點(diǎn)”的個數(shù)為()

A．0

B．1

C．2

D．3

答案　C

解析　設(shè)M(t,3ln

t)，則N，所以＝＝，依題意可得ln

t＋＝0，設(shè)g(t)＝ln

t＋，則g′(t)＝－＝，當(dāng)0時，g′(t)>0，則g(t)單調(diào)遞增，所以g(t)min＝g＝1－ln

3<0，且g＝－2＋>0，g(1)＝>0，所以g(t)＝ln

t＋＝0有兩個不同的解，所以曲線G上的“水平黃金點(diǎn)”的個數(shù)為2.故選C.7．(多選)(2020·山東濟(jì)寧鄒城市第一中學(xué)高三下五模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋b，其中a，b∈R，則下列選項(xiàng)中的條件使得f(x)僅有一個零點(diǎn)的有()

A．a(chǎn)

B．a(chǎn)＝ln

(b2＋1)

C．a(chǎn)＝－3，b2－4≥0

D．a(chǎn)＝－1，b＝1

答案　BD

解析　由題知f′(x)＝3x2＋a.對于A，由f(x)是奇函數(shù)，知b＝0，因?yàn)閍<0，所以f(x)存在兩個極值點(diǎn)，由f(0)＝0知，f(x)有三個零點(diǎn)，A錯誤；對于B，因?yàn)閎2＋1≥1，所以a≥0，f′(x)≥0，所以f(x)單調(diào)遞增，則f(x)僅有一個零點(diǎn)，B正確；對于C，若取b＝2，f′(x)＝3x2－3，則f(x)的極大值為f(－1)＝4，極小值為f(1)＝0，此時f(x)有兩個零點(diǎn)，C錯誤；對于D，f(x)＝x3－x＋1，f′(x)＝3x2－1，易得f(x)的極大值為f＝＋1>0，極小值為f＝－＋1>0，可知f(x)僅有一個零點(diǎn)，D正確．故選BD.8．(多選)(2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)4月高考預(yù)測)關(guān)于函數(shù)f(x)＝＋ln

x，下列判斷正確的是()

A．x＝2是f(x)的極大值點(diǎn)

B．函數(shù)y＝f(x)－x有且只有1個零點(diǎn)

C．存在正實(shí)數(shù)k，使得f(x)>kx成立

D．對任意兩個正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2>x1，若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2>4

答案　BD

解析　函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝－＋＝，∴在(0,2)上，f′(x)＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上，f′(x)＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴x＝2是f(x)的極小值點(diǎn)，故A錯誤；y＝f(x)－x＝＋ln

x－x，∴y′＝－＋－1＝<0，函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(1)－1＝2＋ln

1－1＝1>0，f(2)－2＝1＋ln

2－2＝ln

2－1<0，∴函數(shù)y＝f(x)－x有且只有1個零點(diǎn)，故B正確；若f(x)＞kx，可得k<＋，令g(x)＝＋，則g′(x)＝，令h(x)＝－4＋x－xln

x，則h′(x)＝－ln

x，∴在(0,1)上，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，∴h(x)≤h(1)＜0，∴g′(x)＜0，∴g(x)＝＋在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)k，使得f(x)＞kx恒成立，故C錯誤；令t∈(0,2)，則2－t∈(0,2)，2＋t＞2，令g(t)＝f(2＋t)－f(2－t)＝＋ln

(2＋t)－－ln

(2－t)＝＋ln，則g′(t)＝＋·＝＋＝<0，∴g(t)在(0,2)上單調(diào)遞減，則g(t)＜g(0)＝0，令x1＝2－t，由f(x1)＝f(x2)，得x2＞2＋t，則x1＋x2＞2－t＋2＋t＝4，當(dāng)x2≥4時，x1＋x2＞4顯然成立，∴對任意兩個正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＞4，故D正確．故選BD.二、填空題

9．(2020·山東高考實(shí)戰(zhàn)演練仿真四)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且f(x)＝x3＋f′x2－x，則f′(1)＝________.答案　0

解析　因?yàn)閒(x)＝x3＋f′x2－x，所以f′(x)＝3x2＋2f′x－1.所以f′＝3×2＋2f′×－1，則f′＝－1，所以f(x)＝x3－x2－x，則f′(x)＝3x2－2x－1，故f′(1)＝0.10．若f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1對x∈R恒成立，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為________．

答案　10x＋4y－5＝0

解析　∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，①

∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，②

聯(lián)立①②，得f(x)＝－x3－x＋，則f′(x)＝－x2－1，∴f′(1)＝－－1＝－，又f(1)＝－－1＋＝－，∴切線方程為y＋＝－(x－1)，即10x＋4y－5＝0.11．(2020·廣東湛江模擬)若x1，x2是函數(shù)f(x)＝x2－7x＋4ln

x的兩個極值點(diǎn)，則x1x2＝________，f(x1)＋f(x2)＝________.答案　2　4ln

2－

解析　f′(x)＝2x－7＋＝0?2x2－7x＋4＝0?x1＋x2＝，x1x2＝2，f(x1)＋f(x2)＝x－7x1＋4ln

x1＋x－7x2＋4ln

x2＝(x1＋x2)2－2x1x2－7(x1＋x2)＋4ln

(x1x2)＝4ln

2－.12．(2020·山東濟(jì)寧嘉祥縣高三考前訓(xùn)練二)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且對任意的實(shí)數(shù)x都有f′(x)＝－f(x)(e是自然對數(shù)的底數(shù))，且f(0)＝1，若關(guān)于x的不等式f(x)－m<0的解集中恰有兩個整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

答案(－e,0]

解析　∵f′(x)＝－f(x)，∴[f′(x)＋f(x)]ex＝2x＋3，即[f(x)ex]′＝2x＋3.設(shè)f(x)ex＝x2＋3x＋c，∴f(x)＝.∵f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝，∴f′(x)＝＝－.由f′(x)>0，得－2

由f′(x)<0，得x>1或x<－2，∴函數(shù)f(x)在(－2,1)上單調(diào)遞增，在(－∞，－2)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，如圖所示．

當(dāng)x＝－2時，f(x)min＝－e2.又f(－1)＝－e，f(－3)＝e3，且x>0時，f(x)>0，由圖象可知，要使不等式f(x)

三、解答題

13．(2020·江蘇高考)某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示，谷底O在水平線MN上、橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線(O′在AB上)．經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1(米)與D到OO′的距離a(米)之間滿足關(guān)系式h1＝a2；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2(米)與F到OO′的距離b(米)之間滿足關(guān)系式h2＝－b3＋6b.已知點(diǎn)B到OO′的距離為40米．

(1)求橋AB的長度；

(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點(diǎn))．橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價k(萬元)(k>0)．問O′E為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？

解(1)由題意，得|O′A|2＝－×403＋6×40，∴|O′A|＝80.∴|AB|＝|O′A|＋|O′B|＝80＋40＝120.答：橋AB的長度為120米．

(2)設(shè)|O′E|＝x，總造價為f(x)萬元，|O′O|＝×802＝160，f(x)＝k＋k

＝k(0＜x＜40)，∴f′(x)＝k.令f′(x)＝0，得x＝20(x＝0舍去)．

當(dāng)0＜x＜20時，f′(x)＜0；當(dāng)20＜x＜40時，f′(x)＞0，因此當(dāng)x＝20時，f(x)取最小值．

答：當(dāng)O′E＝20米時，橋墩CD與EF的總造價最低.14.(2020·四川成都石室中學(xué)一診)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－sinx，x∈，g(x)＝＋cosx＋2，m∈R.(1)證明：f(x)≤0；

(2)當(dāng)x∈時，不等式g(x)≥恒成立，求m的取值范圍．

解(1)證明：因?yàn)閒′(x)＝－cosx在x∈上單調(diào)遞增，所以f′(x)∈，所以存在唯一x0∈，使得f′(x0)＝0.當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

所以f(x)max＝max＝0，所以f(x)≤0.(2)因?yàn)間′(x)＝－sinx＋m，令h(x)＝－sinx＋m，則h′(x)＝－cosx＋m.當(dāng)m≥0時，m≤0，由(1)中的結(jié)論可知，－sinx≤0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在x∈上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g＝，滿足題意．

當(dāng)－0，所以存在唯一x1∈，使得h′(x1)＝0.當(dāng)x∈(0，x1)時，h′(x)<0，g′(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈時，h′(x)>0，g′(x)單調(diào)遞增．

而g′(0)＝－m>0，g′＝0，所以存在唯一x2∈，使得g′(x2)＝0.當(dāng)x∈(0，x2)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．

要使當(dāng)0≤x≤時，g(x)≥恒成立，即?m≥，所以≤m<0.當(dāng)m≤－，x∈時，h′(x)≤0，所以當(dāng)x∈時，g′(x)單調(diào)遞減，又g′＝0，所以g′(x)≥0，所以g(x)在x∈上單調(diào)遞增，所以g(x)≤g＝，與題意矛盾．

綜上，m的取值范圍為.