第一篇：余弦定理新的證明探討

余弦定理新的證明探討

摘 要

余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，是解決數(shù)理學(xué)科和前沿科學(xué)領(lǐng)域中相關(guān)問題的一種有效的重要方法。它是代數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解決三角問題、函數(shù)問題等方面發(fā)揮了重要的作用。國內(nèi)外有關(guān)余弦定理證明的探討和應(yīng)用及其推廣的研究非常多，涉及范圍很廣，說明了其重要性和應(yīng)用的廣泛性。國外對(duì)余弦定理的證明與應(yīng)用的研究主要是由于前沿科學(xué)領(lǐng)域及實(shí)際生活發(fā)展的需要，在教學(xué)中尋求新的證明探討涉及甚少，而國內(nèi)在尋求其新的證明探討與應(yīng)用方面的研究甚為廣泛。但余弦定理新的證明方法及推廣與應(yīng)用仍有值得研究的問題。比如：余弦定理通常用于求解三角函數(shù)問題，而其用途不僅僅限于此，如：余弦定理證明在數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)分析、立體幾何中的應(yīng)用等。但是針對(duì)余弦定理在應(yīng)用中存在的局限性，是否能探究其新的證明方法，并將其做相應(yīng)的推廣來解決相關(guān)問題，擴(kuò)寬其應(yīng)用的范圍，使得在運(yùn)用余弦定理解決代數(shù)問題和幾何問題方面更加實(shí)用方便，這就是文章探討的問題所在，這樣的研究在國內(nèi)外相對(duì)較少?；谝延械挠嘞叶ɡ砣舾梢c(diǎn)的探討和應(yīng)用，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，漫談了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代數(shù)與幾何中的新的證明，分別給出了不同形式的余弦定理新的證明方法，并對(duì)其做出了相應(yīng)的推廣，體現(xiàn)了其不同證明方法的新穎性和優(yōu)越性.關(guān)鍵詞：余弦定理；勾股定理；證明；定理；推論

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目 錄 引言···········································································································································1 2 文獻(xiàn)綜述···································································································································1 2.1國外研究現(xiàn)狀·························································································································1 2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀·························································································································1 2.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)·············································································································1 2.4提出的問題·····························································································································2 3 余弦定理的數(shù)學(xué)思想史略·······································································································2 3.1三角學(xué)的確立與發(fā)展?fàn)顩r·····································································································2 3.2余弦定理的由來·····················································································································2 4 余弦定理及其新的證明···········································································································3 4.1關(guān)于余弦定理的注記·············································································································3 4.2余弦定理新的證明·················································································································5 4.2.1從幾何角度直觀證明余弦定理 ··································································································5 4.2.2角余弦定理的證明與應(yīng)用 ·········································································································7 4.2.3證明余弦定理又一方法······································································································9 4.2.4立體幾何的余弦定理及其證明························································································10 4.2.5 n維余弦定理的新證明·····································································································13 5 總結(jié) ········································································································································15 5.1 主要發(fā)現(xiàn) ·····························································································································15 5.2 啟示 ·····································································································································15 5.3 局限性 ·································································································································16 5.4 努力方向 ·····························································································································16 6 參考文獻(xiàn)·································································································································16

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1引言

余弦定理的證明及推廣應(yīng)用的發(fā)展歷程在三角函數(shù)、立體幾何等數(shù)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)凸顯出巨大的潛在價(jià)值，關(guān)于它的研究，已有許多獨(dú)特而新穎的碩果。余弦定理通常應(yīng)用于三角問題、函數(shù)問題、幾何問題及數(shù)理天文學(xué)問題等方面的求解，國內(nèi)和國外的研究各有其獨(dú)到之處?，F(xiàn)有對(duì)余弦定理的證明方法的探討及推廣應(yīng)用，體現(xiàn)了其重要性和應(yīng)用的廣泛性，如：余弦定理證明在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)分析、立體幾何中的應(yīng)用等等。但是針對(duì)余弦定理在應(yīng)用中存在的局限性，是否能探究余弦定理的新的證明方法，并將其做相應(yīng)的推廣應(yīng)用來解決相關(guān)問題，這樣的研究值得深入探究.基于對(duì)已有的余弦定理若干要點(diǎn)的探討和應(yīng)用，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，漫談了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代數(shù)與幾何中的新的證明，分別給出了不同形式的余弦定理新的證明方法，并對(duì)其做出了相應(yīng)的推廣應(yīng)用，體現(xiàn)了其證明與應(yīng)用的新穎性和優(yōu)越性.2 文獻(xiàn)綜述

2.1國外研究現(xiàn)狀

國外對(duì)余弦定理的研究主要是應(yīng)用于解決數(shù)理天文學(xué)和其他學(xué)科如測(cè)量學(xué)與地理學(xué)方面的問題，而在教學(xué)上探討新的證明則很少涉及.天文學(xué)家阿爾.巴塔尼的《天文論著》（又名《星的科學(xué)》）被普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果.在該書中阿爾.巴塔尼創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語，如正弦、余弦、正切、余切[1]；發(fā)現(xiàn)球面三角形余弦定理cos??cosbcosc?sinbsinccosA，繼而為平面三角形的重要定理—— 正弦定理和余弦定理的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)，其證明的思想方法具有一定新穎性,值得借鑒.2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀

國內(nèi)有關(guān)余弦定理的理論從國外引進(jìn)，在立體幾何、雙曲平面上以及現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)揮了重要的作用，國內(nèi)余弦定理很少談及學(xué)科領(lǐng)域的相關(guān)證明問題，但相關(guān)的應(yīng)用有一定發(fā)展。如：王書在其編寫的數(shù)學(xué)解題方法與技能中較詳細(xì)地闡述了利用三角法進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘方計(jì)算，先把復(fù)數(shù)寫成三角函數(shù)式后，角按公式[r(cos??sin?)]n?rn(cosn??sinn?)（n是正整數(shù)）計(jì)算比較容易；劉鴻坤、曾容、李大元等編著的中、美歷屆數(shù)學(xué)競賽試題精編第三十二屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題（1981年）中的第24題的應(yīng)用，將超越方程利用三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)形式求解，說明了余弦定理在數(shù)理學(xué)科領(lǐng)域的重要性.2.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀的評(píng)價(jià)

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上述文獻(xiàn)中已給出了余弦定理相關(guān)的探討和應(yīng)用，說明了余弦定理的重要性和應(yīng)用的廣泛性，但其還有值得研究的空間和余地.在余弦定理證明與應(yīng)用方面的研究國內(nèi)相對(duì)于國外的研究較廣泛,而且很多研究問題及結(jié)論有很好的借鑒價(jià)值,可以作為研究的理論基礎(chǔ)；而國外,更多的研究主要在于將余弦定理應(yīng)用于解決前沿學(xué)科（如數(shù)理天文學(xué)、歷法、航海等）的問題.但在學(xué)科領(lǐng)域的不同方面能否得到余弦定理的不同的新的證明方法，從而提高余弦定理在理論研究中的有效性，這方面的研究較少.2.4提出問題

鑒于國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，一般的余弦定理的證明不僅只能解決前沿學(xué)科中的數(shù)理問題，而且該定理在證明運(yùn)用中有一定的局限性，那么能否弱化余弦定理的局限性，拓寬余弦定理的證明方法的范圍，或者將余弦定理新的證明進(jìn)行推廣對(duì)教學(xué)方法的啟示，從而體現(xiàn)余弦定理新的證明的優(yōu)越性和應(yīng)用的廣泛性，本文針對(duì)此類問題作詳細(xì)探討.3 余弦定理的數(shù)學(xué)思想史略

3.1三角學(xué)的確立和發(fā)展概況

“三角學(xué)”原意是三角形測(cè)量,也就是解三角形，這是三角學(xué)的基本問題之一.后來范圍逐漸擴(kuò)大, 發(fā)展為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)科目.[2]三角學(xué)的發(fā)展和天文學(xué)、幾何學(xué)有著不可分割的關(guān)系，國外對(duì)三角學(xué)的研究的起源是計(jì)算數(shù)理天文學(xué)方面的精確問題。而正、余弦定理是三角學(xué)建立的基礎(chǔ)，三角學(xué)的確立是以正、余弦定理為標(biāo)志，因?yàn)槿菍W(xué)是尋求邊與角的關(guān)系來解決三角問題, 正、余弦定理正是把邊與角建立起聯(lián)系.三角學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷從脫離天文學(xué)而獨(dú)立，到以歐拉的《無窮小分析引論》為代表的過程，標(biāo)志著三角學(xué)從研究三角形解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯咳呛瘮?shù)及其應(yīng)用的一個(gè)分析學(xué)的分支。

希臘三角學(xué)起源于天文學(xué)的定量研究,由于球面幾何方面的研究的需要，從而球面三角學(xué)便開始萌芽。隨著生產(chǎn)不斷進(jìn)步,為了修訂歷法、航海和研究地理, 需要建立定量的天文學(xué), 便產(chǎn)生了三角學(xué)的雛形.其代表人物有希帕克、托勒密和梅內(nèi)勞斯, 在梅內(nèi)勞斯時(shí)期達(dá)到頂峰.由于數(shù)理天文學(xué)的需要，阿拉伯人繼承并推進(jìn)了希臘的三角術(shù)，其學(xué)術(shù)主要來源于印度的《蘇利耶歷數(shù)全書》等天文歷表，以及希臘希臘托勒玫的《大成》、梅內(nèi)勞斯的《球面學(xué)》等古典著作。阿拉伯三角學(xué)是在印度天文名著的基礎(chǔ)上發(fā)展的, 揭示了三角量的性質(zhì)及其關(guān)系, 給出了平面三角形和球面三角形的全部解法, 并制造了一系列的三角函數(shù)表.三角學(xué)通過阿拉伯學(xué)家的工作逐漸從天文學(xué)中分化出來發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科。其主要的代表人物有阿爾.哈巴士、阿爾.巴塔尼、阿布爾.威發(fā)、阿爾.畢魯尼和納速.拉丁

歐洲三角學(xué)是在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家納速.拉丁《論四邊形》著作的基礎(chǔ)上研究的, 將平面三角、球面幾何和球面三角有機(jī)地結(jié)合起來, 制定更精確的三角函數(shù)表,以至于我們現(xiàn)今仍在使用, 使三角學(xué)進(jìn)一步系統(tǒng)化, 成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支, 從而確立了三角學(xué).由此, 三角學(xué)在天文學(xué)及其他學(xué)科如測(cè)量學(xué)方面得到廣泛的應(yīng)用.其代表人物有雷基奧蒙坦、雷提卡斯、韋達(dá).3.2 余弦定理的由來

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平面三角的余弦定理是在歐幾里得的《原本》中間接地提出來,平面三角的余弦定理的確立和運(yùn)用是隨航海學(xué)和地理學(xué)的發(fā)展, 而平面三角學(xué)是在球面三角學(xué)的研究的基礎(chǔ)上提出的。隨著測(cè)量耕種土地的面積、測(cè)量長度與測(cè)量方位及歷法和航海發(fā)展等實(shí)際的需要，希臘三角學(xué)（球面三角學(xué)）中包括平面三角的基礎(chǔ)內(nèi)容,平面三角的重要定理——正弦定理和余弦定理在此條件下產(chǎn)生.其數(shù)學(xué)思想方法和思路如下:

圖 1 分析：如圖1，△ABC三邊CB、CA、AB長度為a、b、c，首先將斜三角形分割成兩個(gè)直角三角形,再由勾股定理即可證得余弦定理.證明：在Rt?BCD和Rt?ABD中，根據(jù)勾股定理

222 ? p2?a2?d2，p?c?(b?d)22222p?a?d?c?(b?d)?

即c2?a2?b2?2bd(1)在Rt?BCD中，?d?acos?C(2)將（2）帶入（1）中，?c2?a2?b2?2abcos?C.阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.巴塔尼在進(jìn)行球面三角研究過程中, 利用平面三角的知識(shí)來證明球面余弦定理, 他的方法是通過作出斜三角形某一個(gè)邊上的高之后, 將問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形的解,他研究出余弦定理的結(jié)果應(yīng)用到證明球面三角邊的余弦定理.十五世紀(jì)前葉，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.卡西給出了平面三角的余弦定2222理的下述形式:a?(b?ccosA)?csinA..韋達(dá)在1593年給出了平面三角的余弦定理2ab1?2220的下述形式:a?b?csin(90?C).期內(nèi)爾在1627年給出了平面三角的余弦定理的2ab1?.22下述形式:c?(a?b)1?cosC[3]

4余弦定理及其新的證明

4.1關(guān)于余弦定理的注記

余弦定理的證明是運(yùn)用“向量相乘”的方法進(jìn)行的，其可化復(fù)雜為簡便，其是向量式與數(shù)量式之間相互轉(zhuǎn)化的常用方法。余弦定理的結(jié)論及其證明如下：

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在△ABC中，AB、BC、CA的長為c、a、b，第一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去另外兩邊的2倍乘第一邊對(duì)角的余弦.如c2?a2?b2?2abcos?C.圖

分析：因?yàn)锳C?CB?AB,所以可從以下兩方向入手，證明余弦定理并得其推論.定理：(AC?CB).(AC?CB)?AB.AB，由此可推出余弦定理，三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積得兩倍。即

?a2?b2?c2?2bccos?A[4]?222b?a?c?2accos?B.??c2?a2?b2?2abcos?C?證明：

?(AC?CB)(AC?CB)?AB.AB，且AB?c、AC?b、CB?a?AC.AC?CB.CB?2AC.CB?AB.AB即AC?CB?2AC.CBcos(???C)?AB?b2?a2?2bacos?C?c2即c2?a2?b2?2abcos?C.222

推論:(AC?CB).AB?AB.AB,可推出平面三角的射影定理，即

?a?bcosC?ccosB[5]? 射影定理?b?ccosA?acosC.?c?acosB?bcosA? 證明：

?(AC?CB).AB?AB.AB,AB?c、CB?a、AC?b.?AC.AB?CB.AB?AB.AB?AC.ABcos?A?CB.ABcos?B?AB即bccos?A?accos?B?c2?bcos?A?acos?B?c即c?acos?B?bcos?A.2

余弦定理可解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：一類是已知兩邊和它們的夾角，求解三角形；另一類是已知三邊，求解三角形。已知三角形的兩邊和其中一

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邊的對(duì)角，因?yàn)樗粷M足三角形全等的條件，故可能有兩解、一解、甚至無解，用正弦定理求解心里不踏實(shí)；用余弦定理求解則只要看相應(yīng)的一元二次方程是否有兩正數(shù)解、一正數(shù)解或無正數(shù)解即可。

4.2余弦定理新的證明

余弦定理可以用于求值、求角或角的范圍、用于化簡、判斷三角形的形狀、用于證明三角不等式、用于研究函數(shù)的性質(zhì)或用于研究函數(shù)的最值等等。

4.2.1從幾何角度直觀證明余弦定理

在平面三角形中, 對(duì)于余弦定理這樣的基本結(jié)果, 我們總是能夠從不同的角度來理解它, 下面我們從幾何的角度給出該定理的幾個(gè)直觀證明.方法一：應(yīng)用勾股定理證明.圖

圖

分析： 此證明方法直接由坐標(biāo)法的證明演化而來.證明一： 在Rt?ACD中,AC=b、AB=c、BC=a(圖 3).?AD?bsinC,CD?bcosC,BC?a,AD?BC

?BD?BC?CD,即BD?a?bcosC

在Rt?ABD中,根據(jù)勾股定理，?AB2?AD2?BD2,即c2?(bsinC)2?(a?bcosC)2 整理得c2?a2?b2?2abcosC.證明二：在Rt?ACD中，AC=b,?ACD????C(圖 4).?CD?bcos?ACD,AD?bcos?ACD,即CD?bcos(???C),AD?bsin(???C)?CD??bcos?C,AD?bsin?C

在Rt?ABD中，根據(jù)勾股定理，?BD?BC?CD,AB2?AD2?BD2 ?c2?(bsin?C)2?(a?bcos?C)2 整理得c2?a2?b2?2abcosC.第 7 頁

方法二：應(yīng)用Ptolemy定理證明.分析：圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于兩對(duì)角線的乘積, 這就是有名的Ptolemy定理，即AB'.CB?AC.B'B?B'C.AB.以下用Ptolemy定理來證明余弦定理.圖

證明：在△ABC的外接圓里,取AB'?CB,且BC?a，?AB?CB'?a

??ABC??CB'A，則BC?BA?c

'又?BB'?b?2acos(??C),根據(jù)Ptolemy定理

2??C)?a2?b2?2abcosC ? c?c.c?a.a?b.b?2acos(即c2?a2?b2?2abcosC

方法三：應(yīng)用圓冪定理證明.圖 6

圖 7

分析：如圖6和圖7,以B為圓心,以a為半徑畫圓,則有AD.AE?AF.AC..其中圓的半徑為a，AB=c，AC=b.證明一：在圖6里, ?AB?c,BD?BC?BE?a,AD?AB?BD,CF?2acosC

?AD=a+c,AE=a-c,AF=CF-CA=2acosC-b，根據(jù)AD.AE?AF.AC.?(a?c)(a?c)?(2acosC?b).b,即c?a?b?2abcosC.222 證明二：在圖7里, ?AB?c,BD?BC?BE?BF?a,AD?AB?BD,AF?AC?CF

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??BCF是等腰三角形，有CF?2cos(??C),AD=c+a,AE=c-a AF?AC?CF?b?2acos(??C)?b?2acosC.根據(jù)AD.AE?AF.AC.222(c?a)(c?a)?(b?2acosC).b,即c?a?b?2abcosC.?4.2.2角余弦定理的證明與應(yīng)用

角勾股定理與角余弦定理是勾股定理和余弦定理與之相對(duì)應(yīng)的角形式，它們有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)給出如下證明與應(yīng)用舉例：

定理1：若A、B、C構(gòu)成一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則

sin2A?sin2B?sin2C?2sinBsinCcosAsin2B?sin2A?sin2C?2sinAsinCcosBsin2C?sin2A?sin2B?2sinAsinBcosC（4）

證明：在?ABC中,設(shè)?A、?B、?C所對(duì)的邊為a、b、c.222 ?余弦定理為a?b?c?2bccosA(5)根據(jù)“正弦定理”，有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(6)(6)分別代入5），即(2RsinA)2?(2RsinB)2?(2RsinC)2?2(2RsinB)(2RsinC)cosA

?sin2A?sin2B?sin2C?2sinBsinCcosA，證畢.（4）的其余二式同理可證.引伸：當(dāng)上述公式中的A、B、C為任意角時(shí), 應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為銳角?、?和?的三角函數(shù),若滿足條件:??????1800，定理仍成立。由定理2和引伸,我們又有如下的推論: ? 推論1：若??????，則sin2??cos2??sin2??2cos?sin?cos?.2?證明：已知??????，sin2??cos2??sin2??2cos?sin?cos?

2??只需證明sin2??sin2(??)?sin2??2sin(??)sin?cos?即可

22???????? 2??????(??)????????(??)????

222???、(??)、?能構(gòu)成三角形的三個(gè)角, 由定理2和引伸知推論1 成立.2推論2：若?????，則sin2??cos2??cos2??2cos?cos?cos? 證明：已知?????，sin2??cos2??cos2??2cos?cos?cos?

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只需證明sin2??cos2(???)?cos2??2cos(???)cos?cos?

??????

???(???)?(??)?????(???)????

(???)、??能構(gòu)成三角形的三個(gè)角, 推論2成立.??、??例 1，化簡cos2A?cos2(?A)?cos2(?A)

3解：由推論2，得 原式=

??2?2?cos(?A)?cos(2???2??A)?2cos(?A)cos(?A)cos?2cos(?A)cos(?A)cos?cos2A333333332?12?3113?sin2?(cos?cos2A)?cos2A???(2cos2A?1)?cos2A?3234422

定理2： 若A、B、C構(gòu)成三角形的三內(nèi)角，則：

sin2A?cos2B?cos2C?2cosBcosCcosA（7）sin2B?cos2A?cos2C?2cosAcosCcosB sin2C?cos2A?cos2B?2cosAcosBcosC.222 證明：設(shè)M=sinB?sinC?2sinBsinCcosA?sinA 222 N=cosB?cosC?2cosBcosCcosA?sinA

22?2cosAcos(B?C)?2sinA 易得：M+N=22 2?2cosA?2sinA?0

M-N= cos2B?cos2C?2cosAcos(B?C)?2cos(B?C)cos(B?C)?2cosAcos(B?C)??2cosAcos(B?C)?2cosAcos(B?C)?0 ?M?N?0222即sinA?cosB?cosC?2cosBcosCcosA

定理2的其余二式同理可證明.例 2，在銳角△ABC中,sinA?3cosBcosC,求A角的范圍.2 解：?sinA?3cosBcosC

第 10 頁 ?cosA?1?3cosBcosC

根據(jù)定理2，?sin2A?cos2B?cos2C?2cosBcosCcosA，得

1?2cosAcosBcosC?cos2A?cos2B?cos2C?cos2A?2cosBcosC?1?cosBcosC 即1?2cosAcosBcosC?1?cosBcosC ?2cosAcosBcosC??cosBcosC

1?cosBcosC?0,?cosA?2，故A的范圍是0?A??.6222 例 3，在△ABC中，cosA?cosb?cosC?1,判斷△ABC的形狀 222 解：根據(jù)定理2，有sinC?cosA?cosB?2cosAcosBcosC

又?cos2A?cos2B?cos2C?1

?1?2cosAcosBcosC?1 ?cosAcosBcosC?0

?cosA?0或cosB?0或cosC?0?A?900或B?900或C?900

?△ABC是直角三角形.小結(jié)：上述所選的問題, 若用常規(guī)解法需要用到和角公式, 倍角公式和和差化積或積化和差公式以及復(fù)雜的恒等變形才能完成, 顯然利用“ 角勾股定理和角余弦定理”對(duì)這類較難的間題迎刃而解, 真是柳暗花明又一村。

4.2.3證明余弦定理又一方法

利用向量統(tǒng)一證明正、余弦定理的方法如下：

圖 8

分析：如圖8, 在?ABC中, a, b, c 分別是?A、?B、?C所對(duì)的邊, 以三角形外接圓的圓心O為原點(diǎn),半徑OA所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)外接圓的半徑長為R,于是A點(diǎn)坐標(biāo)為(R,0).由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(Rco?sAO,BRsin?AO)B,而?AOB?2?C，故B點(diǎn)坐標(biāo)為(Rcos?2C,Rsin?2C).同理C點(diǎn)坐標(biāo)為(Rcos?AOC,Rsin?AOC)；而?AOC??2?B,故C點(diǎn)坐標(biāo)為(Rcos?2B,?Rsin?2B).第 11 頁

正弦定理的證明：

?AB?(Rcos2C?R,Rsin2C),?1AB1??R又(Rcos2C?R)2?(Rsin2C)22?2cos2C?2RsinC.AB?c

?c?2RsinC.同理可得a?2RsinA，b?2RsinB ?abc???2R sinAsinBsinC 余弦定理的證明：

?AC?(Rcos2B?R,?Rsin2B),?AB.AC?(Rcos2C?R)(Rcos2B?R)?R2sin2Csin2B?R2cos2Ccos2B?R2cos2C?R2cos2B?R2?R2sin2Csin2B?R2?R2cos2C?R2cos2B?R2cos(2C?2B)?R2?R2cos2C?R2cos2B?R2cos2A.c2Rcos2C?R(1?2sinC)?R?2RsinC?R?.2而 2222222

b2Rcos2B?R?2 同理可得22a2b2?c2?a2Rcos2A?R??AB.AC?.2 2 22又由數(shù)量積的定義可知: AB.AC?bccosA,b2?c2?a2?bccosA?.2即a2?b2?c2?2bccosA.同理b2?a2?c2?2accosB.222 c?a?b?2abcosC.小結(jié)：此法不但體現(xiàn)了正弦定理的比值常數(shù), 而且反映了正弦定理與余弦定理的相互依存性.正弦定理與余弦定理之間的聯(lián)系真是千絲萬縷!4.2.4立體幾何的余弦定理及其證明

設(shè)D-ABC是一個(gè)任意的四面體(圖9),不失一般性,取四面體的底面△ABC 為空間坐標(biāo)的XOY平面,取過頂點(diǎn)D的高OD為Z軸.取OA為X軸.這樣一來,可以設(shè)四個(gè)

第 12 頁

頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,0,0)、B(b1,b2,0)、C(c1,c2,c3)、D(0,0,d).圖 9 分析：用Sd表示與頂點(diǎn)D相對(duì)的側(cè)面△ABC及其面積;同理,其它的三個(gè)側(cè)面及其面積用Sa、Sb、Sc來表示.由向量的向量乘積的性質(zhì)可知,向量AB.AC?Sd.將AB.AC稱為Sd 的法向量,記作nd.因?yàn)锳B?(b1?a,b2,0),AC?(c1?a,c2,0),所以有

ijnd?AB.AC?b1?ab2c1?ac20?0b1c2?c1b2?a(b2?c2)k0?[(b1?a)c2?(c1?a)b2]k0（1）

由向量乘積定義可知: sd?1nd.2（2）

同理可計(jì)算Sa面的法向量na , 因?yàn)锽D?(b1,b2,?d);DC?(c1,c2?d), 所以由BD.DC可得：

第 13 頁

ina?b1c1jb2c2k?d?(c2?b2)di?(b1?c1)dj?(b1c2?b2c1)k?d?(c2?b2)d?????(b1?c2)d??bc?bc?21??12（3）

s1a?2na 因?yàn)镈C?(c1,c2,?d);DA?(a,0,?d), 所以有sb的法向量為：

ijknb?DC.DA?c1c2?d??c2di?(c1?a)dj?ac2ka0?d????c2d??(c?1?a)d?,??ab2?? s1b?2nb 因?yàn)镈A?(a,0,?d);DB?(b1,b1,?d)，所以有sc的法向量為

ijknc?DA.DB?a0?d?b2di?(a?b1)dj?ab2kb1b2?d(7)??b2d???(a?b?1)d?,???ab2??s1c?2nc.(8)由向量的數(shù)量乘積的定義，第 14 頁

（4）（5）

（6）

na.nb?na.nbcos???na.nbcos???na.nbcos?a|b???4sasbcos?a|b?.其中?a|b?表示側(cè)面sa和sb形成的二面角.因此有：

?SaSbcos?a|b??0.25na.nb,（9）

?SbSccos?b|c??0.25nb.nc,（10）?ScSacos?c|a??0.25nc.na（11）

立體幾何的余弦定理：對(duì)任意的四面體D-ABC,有2222sd?sa?sb?sc?2sasbcos?a|b??2sbsccos?b|c??2scsacos?c|a?.[6]

（12）

證明：利用關(guān)系式(4)、(6)和(8)~(11),有

222sa?sb?sc?2sasbcos?a|b??2sbsccos?b|c??2scsacos?c|a?12122?(na?nb?nc?2na.nb?2nb.nc?2nc.na)?(na?nb?nc)244??(c2?b2)d???c2d??b2d??0????????????12112???(b1?c1)d???(c1?a)d???(a?b1)d????0??nd?sd.4??4???ca??ab???4??b1c2?b2c1??bc?bc?(b?c)a22122122?????????

當(dāng)四面體的四個(gè)側(cè)面中,有三個(gè)側(cè)面(如Sa,Sb,Sc)兩兩互相垂直時(shí), 稱這樣的四面體為直角四面體.在直角四面體中,那個(gè)不與其它側(cè)面垂直的側(cè)面(Sd)稱為斜側(cè)面.由于直角四面體中有三個(gè)二面角為90, 所以cos = cos = cos = 0.0 4.2.5 n維余弦定理的新證明

設(shè)V是n維向量空間,對(duì)V中任意k個(gè)有序向量

?1,?2,...,?k,它們的外積記為?1??2?...??k,稱之為k重向量。所有k重向量在形式上作線性擴(kuò)張所得到的空kk0C?(?)?(?)?n間記為，是一個(gè)維向量空間。設(shè)(?)表示實(shí)數(shù)系, 記

kG(?)??(?)Y?(?)Y...?n(?),則G(V)是一個(gè)2n維的向量空間。G(V)連同G(V)01''上的外積“?”運(yùn)算稱為V上的Grassmann代數(shù)。

第 15 頁

定義1：兩個(gè)k重向量a =?1??2?...??k與b=b?b12?...?bn的內(nèi)積定義為:(a,b)?(a1?a2...?ak,b1?b2...?bk)a1.b1a.b?21...ak.b1...............a1.bk...a2.bk.........ak.bk(1)k重向量α=?1??2?...??k的模定義為

a?a1?a2?...?ak?(a1?a2?...?ak,a1?a2?...?ak)

定義2：由兩個(gè)k重向量a?a1?...?ak,b?b1?...?bk所確定的兩個(gè)k維超平面之間的夾角?(ab)為:cos?(ab)?(a1?...?ak,b1?...?bk).(2)

a1?...?ak.b1?...?bk 引理1: 設(shè)pop1...pk是n維歐氏空間En中的k維單形, 記向量

2popi?ai(i?1,2,..k.)， 則有:a1?...?ak?k!V(K)??(3)

2其中V(k)1...pk的k維體積。是單形pop 下面應(yīng)用上述Grassmann代數(shù)基本知識(shí)可簡捷地證得n維余弦定理,即: 1...pk是E的中的n維單形。頂點(diǎn)p所對(duì)側(cè)面Fi的面積為Vi, 定理1:設(shè)popin任意兩側(cè)面Fi 與Vi??Vi2?22i?0i?lnFj所成內(nèi)二面角為?ij , 則有

ij0?i?j?ni,j?l?VVcos?ij(l?0,1,...,n)

[7]（4）

證明：不失一般性,不妨設(shè)l=0記 p0pi?ai(i?1,2,...,n)n-1維單形p1p2...pn過頂點(diǎn)p1的諸棱所成的向量為: p1pi?ai?al(i?2,3,...,n)由引理1，有：

12(a?a)?(a?a)?...?(a?a)?(a?a)2131n?11n1(n?1)!2(5)12?a?a...?a?a?a...?a?...?a?a...?a?a?a?a?a...?a?a23n13n23n?21n23n?11(n?1)!2V02?記n-1重向量

第 16 頁

a2?a3?...?an??1,?a1?a3?...?an??2,?a2?a1?a4?...?an??3,...,?a2?a3?...?an?2?a1?an??n?k,a2?a3?...?an?1?a1??n，則：（6）?(?i?j)????ij(1?i?j?n)

由引理1及定義2,有:

?i?1Vi(i?2,3,...,n)(n?1)!（7）

(?i?j)??i.?jcos?(?i?j)1??ViVjcos?ij2(n?1)!（8）

由(5)、(7)、(8)三式得:

?n1V??i2??(n?1)!?i?1202?2?(??)?ij?1?i?j?n???Vi2?2i?1n

1?i?j?n?VVijcos?j故公式(4)對(duì)l=0成立,同理可證(4)式對(duì)l= 1,2,...,n皆成立。定理1證畢。

5總結(jié)

5.1 主要發(fā)現(xiàn)

本文從不同角度探究、驗(yàn)證了余弦定理的不同證明方法，列舉了其運(yùn)用在化簡求值、證明三角不等式、研究函數(shù)的性質(zhì)或用于研究函數(shù)的最值等方面的簡潔美，弱化原有余弦定理證明方法的局限性，給出了其相應(yīng)的推廣及定理，拓寬了余弦定理的運(yùn)用范圍，使得在處理三角、函數(shù)等問題時(shí)更加方便實(shí)用，從而體現(xiàn)余弦定理無論在證明上還是在化簡求值等方面都有其新穎性和優(yōu)越性.5.2 啟示

通過探討余弦定理及其推廣，體現(xiàn)了一定的優(yōu)越性和實(shí)用性。問題是若能將余弦定理引到其它數(shù)學(xué)分支中做應(yīng)用，如：針對(duì)運(yùn)籌學(xué)中的最優(yōu)線性模型的相關(guān)問題、數(shù)學(xué)模型中規(guī)劃模型的相關(guān)問題、復(fù)變函數(shù)中的相關(guān)問題等，將更好地體現(xiàn)余弦定理證明及其應(yīng)用的廣泛性，這是一類值得深討的問題.第 17 頁

5.3 局限性

對(duì)于余弦定理的相關(guān)定理及其推廣與應(yīng)用，針對(duì)余弦定理的論證性較強(qiáng)，在運(yùn)用中存在一定的局限性，相應(yīng)的弱化了余弦定理的效能，使局限性弱化后的余弦定理在處理三角、函數(shù)等有關(guān)問題時(shí)，更加方便實(shí)用.但沒有得到更好的應(yīng)用，若能進(jìn)一步將弱化后的余弦定理引到其他數(shù)學(xué)分支中做應(yīng)用，如：數(shù)學(xué)模型中規(guī)劃模型的相關(guān)問題、復(fù)變函數(shù)中的相關(guān)問題等，將更好地體現(xiàn)其研究意義和廣泛應(yīng)用性，對(duì)于此問題，限于本人的知識(shí)水平有限，未作探討.5.4 努力方向

在已有知識(shí)水平及查閱相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，本文對(duì)余弦定理及其推廣應(yīng)用的問題作了一定的探討，并通過實(shí)例，體現(xiàn)了余弦定理在 的問題方面的實(shí)用性和優(yōu)越性.然而，余弦定理的推廣應(yīng)用有一定局限，今后若能針對(duì)不同學(xué)科知識(shí)和相關(guān)性質(zhì)，對(duì)余弦定理的局限性進(jìn)一步弱化，進(jìn)行合理推廣應(yīng)用，將能更好的促進(jìn)其應(yīng)用的深入研究，這些問題，有待今后不斷的學(xué)習(xí)和探討.參考文獻(xiàn)

[1] 李文林．?dāng)?shù)學(xué)史教程[M]．北京：高等教育出版社，2002：119．

[2] 梁宗臣.世界數(shù)學(xué)史簡編［M］．沈陽：遼寧人民教育出版社，1980：175．

[3] 陳克剩．“余弦定理和正弦定理”的數(shù)學(xué)思想史略[J]．湖北：數(shù)學(xué)通訊學(xué)報(bào)，2004：47． [4] 趙冬梅.正弦定理、余弦定理的證明方法探究[J]．西北成人教育學(xué)報(bào)，2002:137． [5] 陳諶本，廖志堅(jiān)，施永紅.歐式空間三角理論的進(jìn)展（I）[J]．廣州師院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1996:85．

[6] 李慧．立體幾何的余弦定理和勾股定理[J]．遼寧：鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003：36． [7] 楊世國．n維正弦定理和余弦定理的新證明[J]．安徽：太原科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2005：144—145．

第 18 頁

第二篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因?yàn)檫^C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因?yàn)閎^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第三篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第四篇：余弦定理證明過程

在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，試根據(jù)b，c，A來表示a。 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB－AD轉(zhuǎn)化為AD，進(jìn)而在Rt△AＤC內(nèi)求解。

解：過C作CD⊥AB，垂足為D，則在Rt△CＤB中，根據(jù)勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2

∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2



又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2

∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2c·AＤ＋AＤ2＝b2＋c2

－2c·AＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA類似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

第五篇：余弦定理證明過程

余弦定理證明過程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。