第一篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第二十章曲線積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第二十章 曲線積分

教學(xué)目的：1.理解第一、二型曲線積分的有關(guān)概念；2.掌握兩種類型曲線積分的計算方法，同時明確它們的聯(lián)系。

教學(xué)重點難點：本章的重點是曲線積分的概念、計算；難點是曲線積分的計算。教學(xué)時數(shù)：10學(xué)時

§ 1 第一型曲線積分

一.第一型線積分的定義:

1.幾何體的質(zhì)量: 已知密度函數(shù) , 分析線段的質(zhì)量 2.曲線的質(zhì)量:

3.第一型線 積分的定義: 定義及記法.線積分,.4.第一型線積分的性質(zhì): P198

二.第一型線積分的計算:

1.第一型曲線積分的計算: 回顧“光滑曲線”概念.Th20.1 設(shè)有光滑曲線 義在上的連續(xù)函數(shù).則

.(證)P199 ，.是定若曲線方程為 : , 則

.《數(shù)學(xué)分析》教案

, 即

.2.穩(wěn)流場通過曲線(從一側(cè)到另一側(cè))的流量: 解釋穩(wěn)流場.(以磁場為例)..求在單位時間內(nèi)通過曲線AB從左處的切向量為 , 設(shè)有流速場

側(cè)到右側(cè)的流量E.設(shè)曲線AB上點

(是切向量方向與X軸正向的夾角.切向量方向按如下方法確定: 法線方 向是指從曲線的哪一側(cè)到哪一側(cè), 在我們現(xiàn)在的問題中是指從左側(cè)到右側(cè)的方向.切向量方向與法線向按右手法則確定, 即以右手拇指所指為法線方向, 則食指所指為切線方向.).在弧段

上的流量 ，.因此 ，.由 , 得

.于是通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為

.3.第二型曲線積分的定義: 閉路積分的記法.按這一定義 , 有

沿平面曲線 從點A到點B所作的功為 力場

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A , B;函數(shù) 和

在L上連續(xù), 則沿L的自然方向(即從點A到點B的方向)有

.(證略)例1 計算積分).積分從點A到點B或閉合, 路徑為

ⅰ> 直線段AB

ⅱ> 拋物線

ⅲ> A(1, 1)路徑.P205例1 例2 計算積分

ⅰ> 沿拋物線

ⅱ> 沿直線

;, L的兩個端點為A(1, 1), B(2 ，D(2 , 1)B(2 , 3)A(1, 1), 折線閉合, 這里L(fēng) :

從點O(0 , 0)到點B(1 , 2);

從點O(0 , 0)到點B(1 , 2);ⅲ> 沿折線閉合路徑O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1 , 其中L是螺 例3 計算第二型曲線積分 I = 旋線, 從

到 的一段.P207例3 例4 求在力場

ⅰ> 質(zhì)點由點A

L :

第二篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十九章 含參量積分

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第十九章 含參量積分

教學(xué)目的：1.掌握含參量正常積分的概念、性質(zhì)及其計算方法；2.掌握兩種含參量反常積分的概念、性質(zhì)及其計算方法；3.掌握歐拉積分的形式及有關(guān)計算。教學(xué)重點難點：本章的重點是含參量積分的性質(zhì)及含參量反常積分的一致收斂性的判定；難點是一致收斂性的判定。教學(xué)時數(shù)：12學(xué)時

§ 1含參量正常積分

一.含參積分: 以實例

和

引入.定義含參積分 和

.含參積分提供了表達(dá)函數(shù)的又一手段.我們稱由含參積分表達(dá)的函數(shù)為含參積分.1.含參積分的連續(xù)性:

Th19.5 若函數(shù)

在

Th19.8 若函數(shù) 和 在

在矩形域

上連續(xù) , 則函數(shù)

上連續(xù).(證)P172

在矩形域

上連續(xù), 函數(shù) 在

上連續(xù).上連續(xù) , 則函數(shù)(證)P173

2.含參積分的可微性及其應(yīng)用:

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1.含參無窮積分: 函數(shù) 可以是無窮區(qū)間).以 分表示的函數(shù)

.定義在

上（為例介紹含參無窮積 2.含參無窮積分的一致收斂性: 逐點收斂(或稱點態(tài)收斂)的定義: 使

., , 引出一致收斂問題.定義(一致收斂性)設(shè)函數(shù) , 使

分在

(關(guān)于)一致收斂.定義在 對

上.若對

成立, 則稱含參無窮積Th 19.5(Cauchy收斂準(zhǔn)則)積分收斂，在

上一致

對 成立.例1 證明含參量非正常積分

其中.但在區(qū)間

在

上一致收斂 ，內(nèi)非一致收斂.P180

3.含參無窮積分與函數(shù)項級數(shù)的關(guān)系:

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Th 19.8 設(shè)函數(shù) 和

在

則函數(shù) 在

在

上連續(xù).若積分

在.上收斂, 積分上可微,且

一致收斂.3.可積性: 積分換序定理.Th 19.9 設(shè)函數(shù)

在

有

例3 計算積分

P186

.在

上一致收斂, 則函數(shù)

上連續(xù).若積分

在

上可積 , 且四.含參瑕積分簡介:

§ 3 Euler積分

本節(jié)介紹用含參廣義積分表達(dá)的兩個特殊函數(shù) , 即 和.它們統(tǒng)稱為Euler積分.在積分計算等方面, 它們是很有用的兩個特殊函數(shù).一.Gamma函數(shù) —— Euler第二型積分：

1.Gamma函數(shù): 考慮無窮限含參積分

，《數(shù)學(xué)分析》教案

但 在區(qū)間

內(nèi)閉一致收斂.即在任何 時, 對積分, 有

上 , , 而積分

一致收斂.因為

收斂.對積分 , 積分, 而積分

收斂.由M—判法, 它上一致收斂.們都一致收斂，在區(qū)間

作類似地討論, 可得積分?jǐn)?于是可得如下結(jié)論: 的連續(xù)性:

也在區(qū)間

內(nèi)閉一致收

在區(qū)間 在區(qū)間

內(nèi)連續(xù).的可導(dǎo)性: 內(nèi)可導(dǎo), 且

同理可得: 在區(qū)間

.內(nèi)任意階可導(dǎo), 且

3.凸性與極值: ，.在區(qū)間 在區(qū)間

內(nèi)嚴(yán)格下凸.(參下段)，內(nèi)唯一的極限小值點(亦為最小值點)介于1與2 之間.4.的遞推公式

函數(shù)表:

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5.時, 有意義.用其作為

內(nèi)., 又可把 依此 , 可把 延拓到函數(shù)的延拓:

時 該式右端在 的定義, 即把 延拓到了 , 利用延拓后的 內(nèi).時也

時, 依式

延拓到 內(nèi)除去 的所有點.經(jīng)過如此延拓后的 例1 求

.)解 的圖象如 P192圖表19—2., ，.(查表得)，..6.函數(shù)的其他形式和一個特殊值:

函數(shù).倘能如此, 可某些積分可通過換元或分部積分若干次后化為 查 函數(shù)表求得該積分的值.常見變形有: ⅰ> 令 , 有

= ，

考慮.《數(shù)學(xué)分析》教案

: 非負(fù)，和 , 時為正常積分;

時, 點

為瑕點.由被積函數(shù)(由Cauchy判法)積分

收斂.(易見

時積分

發(fā)散).數(shù)非負(fù), : 時為正常積分;

時, 點

為瑕點.由被積函

和 ,(由Cauchy判法)積分

收斂.(易見

時積分

發(fā)散).綜上, 時積分

，收斂.設(shè)D

于是, 積分 定義了D內(nèi)的一個二元函數(shù).稱該函數(shù)為Beta函數(shù), 記為 , 即

不難驗證，=

函數(shù)在D內(nèi)閉一致收斂.又被積函數(shù)在D內(nèi)連續(xù), 因此 , 函數(shù)是D內(nèi)的二元連續(xù)函數(shù).2.函數(shù)的對稱性:

.證 =

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, 因此得 ,.ⅱ> 令 , 可得 ，.特別地 , ，.ⅲ> 令 , 有

=

= , 即 ，ⅳ> 令 , 可得

.ⅴ> ,.三.函數(shù)和

函數(shù)的關(guān)系:

函數(shù)和

函數(shù)之間有關(guān)系式

，3

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解 ，.例4 求積分

解 令 , 有

.I

.例5 計算積分.解

判斂 ,把該積分化為 , 該積分收斂.(亦可不進(jìn)行

函數(shù)在其定義域內(nèi)的值 , 即判得其收斂.)

I

.例6 , 求積分 ，5

第三篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十章定積分的應(yīng)用

《數(shù)學(xué)分析》教案

第十章 定積分的應(yīng)用

教學(xué)要求：

1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實際問題化成定積分；

2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等。

教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等

教學(xué)時數(shù)：10學(xué)時

§ 1平面圖形的面積（2 時）

教學(xué)要求：

1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實際問題化成定積分；

2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積。教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積

一、組織教學(xué)：

二、講授新課：

（一）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積 ： 1.簡單圖形：

型和

型平面圖形.型和

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例

5求由雙紐線

所圍平面圖形的面積.解 傾角為 的兩條直線之間).以

軸對稱;以

或

.(可見圖形夾在過極點，代 方程不變，圖形關(guān)于 代 , 方程不變, 圖形關(guān)于 軸對稱.參閱P242 圖10-6 因此.三、小結(jié)：

§ 2 由平行截面面積求體積（2 時）

教學(xué)要求：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計算體積。教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計算體積

（一）已知截面面積的立體的體積: 設(shè)立體之截面面積為 推導(dǎo)出該立體之體積

..祖暅原理: 夫冪勢即同 , 則積不容異.(祖暅系祖沖之之子 齊梁時人 , 大約在五世紀(jì)下半葉到六世紀(jì)初)例1

求由兩個圓柱面

和

所圍立體體積.P244 例1()

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和 在區(qū)間

上連續(xù)可導(dǎo)且

..則

上以

和

為端點的弧段的弧長為為證明這一公式 , 先證以下不等式 : 對 , ,有

Ch 1 §1 Ex 第5題(P4).其幾何意義是: 在以點 超過第三邊.事實上，和

為頂點的三角形中,兩邊之差不.為證求弧長公式, 在折線總長表達(dá)式中, 先用Lagrange中值定理, 然后對式插項進(jìn)行估計.如果曲線方程為極坐標(biāo)形式 出其參數(shù)方程

.于是

連續(xù)可導(dǎo), 則可寫.§ 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積(1 時)教學(xué)要求：旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算旋轉(zhuǎn)曲面的面積

第四篇：數(shù)學(xué)分析 重積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第二十一章 重積分

教學(xué)目的：1.理解并掌握二重積分的有關(guān)概念及可積條件，進(jìn)而會計算二重積分；2.理解三重積分的概念，掌握三重積分的計算方法，并能應(yīng)用其解決有關(guān) 的數(shù)學(xué)、物理方面的計算問題；

教學(xué)重點難點：本章的重點是重積分的計算和格林公式；難點是化重積分為累次積分。

教學(xué)時數(shù)：22學(xué)時

§ 1 二重積分概念

一.矩形域上的二重積分 : 從曲頂柱體的體積引入.用直線網(wǎng)分割.定義 二重積分.例1 用定義計算二重積分

.用直線網(wǎng)

分割該正方形 , 在每個正方形上取其右上頂點為介點.解

.二.可積條件 : D

.大和與小和.Th 1 ，.《數(shù)學(xué)分析》教案

性質(zhì)6

.性質(zhì)7 中值定理.Th 若區(qū)域D 的邊界是由有限條連續(xù)曲線()組成 , 例3 去掉積分

在D上連續(xù) , 則

在D上可積.或

中的絕對值.§ 2 二重積分的計算

二.化二重積分為累次積分:

1.矩形域

上的二重積分:

用“ 體積為冪在勢上的積分”推導(dǎo)公式.2.簡單域上的二重積分: 簡推公式, 一般結(jié)果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 為三角形, 三個頂點為 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半徑為 的兩直交圓柱所圍立體的體積.P222例4.《數(shù)學(xué)分析》教案

解法一(直接計算積分)曲線AB的方程為

.方向為自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)補上線段BO和OA(O為坐標(biāo)原點), 成閉路.設(shè)所圍

區(qū)域為D, 注意到 D為反向, 以及, 有

.例2 計算積分 I =, 其中L為任一不包含原點的閉區(qū)域D的邊界(方向任意)P227例2 解 導(dǎo)數(shù))..（和

在D上有連續(xù)的偏,.于是, I =.二.曲線積分與路線無關(guān)性:

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;.例6 驗證式 P231例4

是恰當(dāng)微分, 并求其原函數(shù).§ 4 二重積分的變量變換:（4時）

1.二重積分的變量變換公式: 設(shè)變換 的Jacobi , 則

, 其中 是在該變換的逆變換

下平面上的區(qū)域 在

平面上的象.由條件

一般先引出變換

.而 , 這里的逆變換是存在的., 由此求出變換

.例1 ,.P235 例1.註

當(dāng)被積函數(shù)形如 區(qū)域為直線型時, 可試用線性變換 , 積分.《數(shù)學(xué)分析》教案

極坐標(biāo)變換: ,.廣義極坐標(biāo)變換: ,.例4.P240例3.例5(Viviani問題)求球體 被圓柱面

所割下立體的體積.P240例4.例6 應(yīng)用二重積分求廣義積分

.P241例5.例7 求橢球體

四.積分換序: 例8 連續(xù).對積分的體積.P241例6.換序..例9 連續(xù).對積分

換序..例10 計算積分

..§ 5 三重積分簡介

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例2 , :.解.法一(內(nèi)二外一), 其中 為橢圓域 , 即橢圓域, 其面積為.因此

.同理得 ,.因此.法二(內(nèi)一外二)上下對稱，為 的偶函數(shù)，1

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Th 21.13 P247.1.柱坐標(biāo): P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐標(biāo): P249.P 250例4.§ 6 重積分的應(yīng)用

一、曲面的面積

設(shè)曲面方程為

.有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).推導(dǎo)曲面面積公式 , 或.例1 P253例1`.3-

第五篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第八章 不定積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第八章 不定積分

教學(xué)要求：

1.積分法是微分法的逆運算。要求學(xué)生：深刻理解不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別；掌握不定積分的線性運算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式。

2.換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當(dāng)?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運用分部積分公式，并能恰當(dāng)?shù)貙⒈环e表達(dá)式分成兩部分的乘積，熟練地應(yīng)用分部積分公式；獨立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達(dá)到快而準(zhǔn)的求出不定積分。

3.有理函數(shù)的不定積分是求無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎(chǔ)。要求學(xué)生：掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認(rèn)識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。

教學(xué)重點：深刻理解不定積分的概念；熟練地應(yīng)用換元積分公式；熟練地應(yīng)用分部積分公式；

教學(xué)時數(shù)：18學(xué)時

《數(shù)學(xué)分析》教案

可見，若 { │ 有原函數(shù) Ｒ}.，則 的全體原函數(shù)所成集合為

原函數(shù)的存在性: 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).(下章給出證明).可見, 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有原函數(shù);若 則 在區(qū)間 上有介值性.在區(qū)間 上有原函數(shù), 例2.已知 為 的一個原函數(shù)，=5.求

.2.不定積分—— 原函數(shù)族：定義； 不定積分的記法；幾何意義.例3

;

.（二）不定積分的基本性質(zhì): 以下設(shè) 和

有原函數(shù).⑴

(先積分后求導(dǎo), 形式不變應(yīng)記牢！).⑵

..(先求導(dǎo)后積分, 多個常數(shù)需當(dāng)心！)⑶

時，（被積函數(shù)乘系數(shù)，積分運算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可見, 不定積分是線性運算, 即對, 有

《數(shù)學(xué)分析》教案

教學(xué)要求： 換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當(dāng)?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運用分部積分公式，并能恰當(dāng)?shù)貙⒈环e表達(dá)式分成兩部分的乘積，熟練地應(yīng)用分部積分公式；獨立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達(dá)到快而準(zhǔn)的求出不定積分。

教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用換元積分公式；熟練地應(yīng)用分部積分公式；

一、新課引入：由直接積分的局限性引入

二、講授新課：

（一）.第一類換元法 ——湊微分法：

由

引出湊微公式.Th1 若

連續(xù)可導(dǎo), 則

該定理即為：若函數(shù)

能分解為

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.湊法2.特別地, 有

.例9

.和.例10

例11.例12

=

湊法3

.例13 ⑴

⑵

例14

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.例23.例24.例25

例26

三、小結(jié)

.（二）第二類換元法 —— 拆微法： 從積分 出發(fā)，從兩個方向用湊微法計算，即

=

=

=

引出拆微原理.Th2 設(shè)

是單調(diào)的可微函數(shù),并且

又

具有原

函數(shù).則有換元公式

(證)

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解 令 形, 有

有

.利用例22的結(jié)果, 并用輔助三角 =

=

例31

⑶正割代換: 正割代換簡稱為“割換”.是針對型如 根式施行的, 目的是去掉根號.方法是: 利用三角公式

有的 令

變量還愿時, 常用輔助三角形法.例32

解

.例33

.解法一

（用割換）

解法二

（湊微）

.《數(shù)學(xué)分析》教案

本題還可用割換計算, 但較繁.3.雙曲代換: 利用雙曲函數(shù)恒等式 掉型如 如:

的根式., 令 , 可去

.化簡時常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式, 例40

.本題可用切換計算,但歸結(jié)為積分題課例3., 該積分計算較繁.參閱后面習(xí)例41

解

.例42

.解

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解法三(用初等化簡, 并湊微)

例45

解 =.代換法是一種很靈活的方法.三、小結(jié)

（三）.分部積分法:導(dǎo)出分部積分公式.介紹使用分部積分公式的一般原則.1.冪

X 型函數(shù)的積分: 分部積分追求的目標(biāo)之一是: 對被積函數(shù)兩因子之一爭取求導(dǎo), 以使該因子有較大簡化, 特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù).代價是另一因子用其原函數(shù)代替(一般會變繁), 但總體上應(yīng)使積分簡化或能直接積出.對“冪

” 型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或?qū)Α?/p>

”求導(dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù).例46

(冪對搭配，取對為u)

例47(冪三搭配，取冪為u)例48(冪指搭配，取冪為u)例49(冪指搭配，取冪為u)

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例56

=，解得.例57

= =，解得

三、小結(jié)

.§ 3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分(2學(xué)時)

教學(xué)要求：有理函數(shù)的不定積分是求無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎(chǔ)。要求學(xué)生：掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認(rèn)識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。

教學(xué)重點：使學(xué)生掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；求四種有理最簡真分式的不定積分，學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認(rèn)識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。

《數(shù)學(xué)分析》教案

例5

求

例6 設(shè)

且具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù).計算積分

例7 , 求積分

二.含有二次三項式的積分:

例8

=

=

.例9

=

=.9-