第一篇：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的教學(xué)反思

隨著課程改革的不斷推進(jìn)，在開展的各種公開課、展示課的活動(dòng)中，以下三方面的問(wèn)題引發(fā)教師們的更多思考：

一、教學(xué)需要講求實(shí)效

教學(xué)的實(shí)效性是課堂的生命線，在學(xué)生學(xué)習(xí)的主戰(zhàn)場(chǎng)——課堂，不具有效率就不具有生命力，因此，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些課型只能曇花一現(xiàn)（公開課中），而在常規(guī)課堂幾乎沒(méi)有生存空間。

有效教學(xué)要使學(xué)生建立良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系。良好知識(shí)結(jié)構(gòu)應(yīng)把知識(shí)及知識(shí)形成發(fā)展的脈絡(luò)及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系、結(jié)論的推導(dǎo)證明線索融合成一個(gè)有機(jī)整體，也只有這樣的知識(shí)才有利于轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)期記憶，才能夠在需要時(shí)被自如調(diào)用。本課突出展現(xiàn)了雙曲線幾何性質(zhì)的獲得過(guò)程，特別是對(duì)于教材中出現(xiàn)較為突兀的虛軸和漸近線，從雙曲線方程的研究中獲得了很好的解釋，并把雙曲線幾何性質(zhì)及其發(fā)現(xiàn)獲得的過(guò)程用下圖展示出來(lái)，有利于學(xué)生建立雙曲線幾何性質(zhì)的良好知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，此外，為了加強(qiáng)兩種標(biāo)準(zhǔn)位置雙曲線幾何性質(zhì)的對(duì)比和聯(lián)系，在小結(jié)中又增加了讓學(xué)生按表格進(jìn)行梳理的要求。

有效教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生遷移運(yùn)用所學(xué)，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)的積極情感。本課在研究獲得雙曲線的幾何性質(zhì)后，設(shè)計(jì)了兩項(xiàng)任務(wù)：一是自行研究獲得雙曲線 的幾何性質(zhì)，二是練習(xí)題“研究的漸近線”，以此促進(jìn)學(xué)生遷移運(yùn)用所學(xué)的研究方法，加深學(xué)生對(duì)研究過(guò)程的理解和認(rèn)識(shí)，并通過(guò)練習(xí)題的歸納、發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極情感，感受數(shù)學(xué)思考發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)。

有效課堂教學(xué)活動(dòng)在課堂結(jié)束時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)該停止，而是在解決了原有問(wèn)題后，引發(fā)學(xué)生新的思考與發(fā)現(xiàn)，課堂的教學(xué)應(yīng)該是為了課下的不教。正常來(lái)講，一個(gè)人知道的越多，疑問(wèn)也就應(yīng)該越多，需要思考研究的問(wèn)題也就越多，因此，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中去反思和梳理，發(fā)現(xiàn)新的思考探究點(diǎn)，不斷擴(kuò)大自己的認(rèn)識(shí)。本課結(jié)尾部分是出于該想法進(jìn)行設(shè)計(jì)的，但是在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，由于時(shí)間關(guān)系，教師只能在拖堂的一分鐘時(shí)間內(nèi)匆匆提出，沒(méi)能給予學(xué)生思考時(shí)間。

二、如何擺正教師教的主體和學(xué)生學(xué)的主體地位？

從教學(xué)的最根本目的“通過(guò)教學(xué)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展”來(lái)看，這就決定了學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中處于最核心的地位，不論是以什么樣的教學(xué)方式、技巧，其效用的實(shí)現(xiàn)，最終都離不開學(xué)生主體的心理及思維活動(dòng)，因此，教師的教必須以學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)，以學(xué)生已有認(rèn)知水平為基礎(chǔ)。

從學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)生條件來(lái)看，學(xué)生主體的系列心理及思維活動(dòng)的發(fā)生，需要一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境的作用，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境作用的大小，又取決于教師能否創(chuàng)設(shè)出與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)的學(xué)習(xí)情境，因此，學(xué)習(xí)情境能否成為有效刺激，從而激活學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)（有深層次的數(shù)學(xué)思維參與）的發(fā)生，都有賴于教師教的主體能動(dòng)性的發(fā)揮。

因此，兩個(gè)主體的關(guān)系概括來(lái)講，就是教師教的主體作用，應(yīng)體現(xiàn)在如何有效促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。由此來(lái)看，教師當(dāng)講則講，就不必去忌諱講解，但是教師講解的語(yǔ)言要能夠揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，要能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯的力量，要能夠展示數(shù)學(xué)的魅力。本課在設(shè)計(jì)過(guò)程，一直有一個(gè)矛盾，就是既要保證課堂的效率，又要確保學(xué)生學(xué)習(xí)中的發(fā)現(xiàn)和研究活動(dòng)，比如：有些環(huán)節(jié)讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)是非常困難的，因此需要較多的鋪墊和相當(dāng)充足的時(shí)間才可以保證，而我又不想讓雙曲線的漸近線的學(xué)習(xí)占用一節(jié)課時(shí)間，因?yàn)榘凑Ｕn時(shí)安排是不允許的，后來(lái)在上述思考的基礎(chǔ)上，確定了現(xiàn)在的設(shè)計(jì)：對(duì)于學(xué)生在現(xiàn)有認(rèn)知基礎(chǔ)上，多數(shù)同學(xué)可以自主探究獲得的雙曲線的范圍、對(duì)稱性設(shè)計(jì)成課前預(yù)習(xí)探究作業(yè)，把雙曲線離心率的概念學(xué)習(xí)和雙曲線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用的例題設(shè)計(jì)成課后閱讀學(xué)習(xí)，對(duì)漸近線的發(fā)現(xiàn)、解釋、證明設(shè)計(jì)成教師引導(dǎo)下的探究活動(dòng)，并把從雙曲線方程對(duì)漸近線的代數(shù)特征解釋作為教師講解，把焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線幾何性質(zhì)的研究和練習(xí)題的解決作為學(xué)生遷移運(yùn)用所學(xué)思想方法的實(shí)踐活動(dòng)，把反思本課研究過(guò)程中產(chǎn)生的疑問(wèn)與思考作為學(xué)有余力的優(yōu)秀學(xué)生的課后施展才能的舞臺(tái)。

當(dāng)然在課堂教學(xué)的實(shí)際活動(dòng)中，有一些不盡人意，比如教師在學(xué)生課前預(yù)習(xí)探究成果交流階段，如果有更好的語(yǔ)言功底，點(diǎn)評(píng)能夠做到既簡(jiǎn)潔又準(zhǔn)確，就能節(jié)省一些時(shí)間，結(jié)尾部分的反思研究過(guò)程，發(fā)現(xiàn)新疑問(wèn)的環(huán)節(jié)就可以充分一些，但是，總體上講，課堂容量還是顯得有些太大，相對(duì)于45分鐘課堂來(lái)講太緊張了。

三、對(duì)引導(dǎo)性問(wèn)題需要精益求精

由于數(shù)學(xué)思維就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的心智活動(dòng)，思維過(guò)程中總是表現(xiàn)為不斷地提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。因此數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維目的性的體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心動(dòng)力。因此在教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生的思維活動(dòng)主要是在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行的。這就決定了合理有效的系列問(wèn)題設(shè)計(jì)，和激發(fā)疑問(wèn)生成的情境設(shè)計(jì)，成為能否有效促進(jìn)學(xué)習(xí)主體進(jìn)行深層次數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵！

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律來(lái)看，能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)生的問(wèn)題應(yīng)具備如下特點(diǎn)：

（1）從學(xué)生知識(shí)可接受性的實(shí)際出發(fā)，確定合理的難度和適當(dāng)?shù)乃季S強(qiáng)度，即，問(wèn)題使學(xué)生處于似會(huì)非會(huì)、似能解決又不能解決的感覺(jué)。

（2）問(wèn)題要有利于引起學(xué)生的認(rèn)知沖突和學(xué)習(xí)心向，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生積極參與。

（3）問(wèn)題的序列設(shè)置要使數(shù)學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)合理、自然，有情理之中的感覺(jué)，要有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，靈活運(yùn)用所學(xué)。

（4）從數(shù)學(xué)方法論的角度出發(fā)，問(wèn)題要具有啟發(fā)性，如：你認(rèn)為該問(wèn)題可能涉及哪些知識(shí)？解決該問(wèn)題需要什么條件？我們還疏漏了什么沒(méi)有？……促進(jìn)學(xué)生自己提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)有所感悟，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維深度參與的自動(dòng)發(fā)生機(jī)制。

（5）問(wèn)題要有利于引領(lǐng)、促進(jìn)學(xué)生有效反思自己的學(xué)習(xí)行為，及時(shí)整理、內(nèi)省自己的思維過(guò)程，提升對(duì)知識(shí)、方法的認(rèn)識(shí)。如：?jiǎn)栴}是怎樣得到解決的？使用了哪些思維方法？該問(wèn)題的解決方法有推廣價(jià)值嗎？可推廣到哪些方面？……

這在本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)確實(shí)有所體現(xiàn)，但是還有一定的欠缺，這需要在教學(xué)實(shí)踐中不斷的去摸索經(jīng)驗(yàn)，此外在教學(xué)設(shè)計(jì)中還應(yīng)更加細(xì)致，預(yù)先設(shè)置的更細(xì)致些，會(huì)有更好的效果。

第二篇：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

【學(xué)習(xí)障礙】 1．理解障礙

(1)關(guān)于雙曲線對(duì)稱性的理解

把雙曲線方程中的y換為－y，方程不變，說(shuō)明雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱．其原因是設(shè)(x，y)為雙曲線上的一點(diǎn)，y換為－y方程不變，說(shuō)明(x，－y)也在此雙曲線上，由于點(diǎn)(x，y)，(x，－y)關(guān)于x軸對(duì)稱，故整個(gè)雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱．

同理，分別用(－x，y)及(－x，－y)代換方程中的(x，y)，方程都不改變，這說(shuō)明雙曲線關(guān)于y軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的，因此坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為原點(diǎn)．(2)關(guān)于對(duì)雙曲線漸近線的理解

xyxyx2y2除按課本上的證明方法外，漸近線還可以這樣理解：雙曲線(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，當(dāng)雙曲線上點(diǎn)P(x，y)在第一、三象限且遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，|在二、四象限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，|

xyxy＋|→＋∞，此時(shí)－→0，當(dāng)點(diǎn)P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此時(shí)＋→0；這些表明雙曲線(H)上位于一、三象限的點(diǎn)遠(yuǎn)ababxyxy離原點(diǎn)時(shí)，雙曲線越來(lái)越靠近直線－＝0，位于二、四象限的點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，雙曲線越來(lái)越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直線＋＝0與－＝0叫做雙曲線(H)的漸近線．

abab(3)關(guān)于對(duì)離心率e的理解

cbba2?b2?b?由于e＝＝=1???，e越大，漸近線y＝x的斜率就越大，這時(shí)漸近線y＝－x到y(tǒng)aaaa?a?＝

2bx的角就越大，從而雙曲線開口就越闊，反之，e越小，雙曲線開口就越窄． a2．解題障礙

(1)雙曲線焦點(diǎn)位置的判定

雙曲線的焦點(diǎn)位置除題目直接告訴外，還可根據(jù)頂點(diǎn)位置．實(shí)軸(虛軸)、準(zhǔn)線位置等判定，另外也可根據(jù)點(diǎn)在漸近線的上方還是下方來(lái)確定．(2)雙曲線方程的幾種變形

x2y2x2y2以雙曲線2－2＝1(a＞0，b＞0)為例，如果將右邊的常數(shù)1換為0，即2－2＝0就是其漸近線方ababx2y2程，但反過(guò)來(lái)就不正確．如果將常數(shù)1換為－1，即2－2＝－1為其共軛雙曲線方程，如果將常數(shù)1換為

abλ(λ≠0)，即為與原雙曲線有共同漸近線的雙曲線系方程，注意它們的應(yīng)用．另外，以直線

ax±by＝0為漸近線的雙曲線系為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等軸雙曲線的幾個(gè)重要性質(zhì)

漸近線為y＝±x，離心率e＝2均是雙曲線為等軸雙曲線的充要條件，掌握這些性質(zhì)可以很好地解決解題思路．

【學(xué)習(xí)策略】 1．待定系數(shù)法

根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式，善于利用雙曲線的對(duì)稱性簡(jiǎn)化作圖步驟和減少運(yùn)算量．這一點(diǎn)正體現(xiàn)雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．綜上可簡(jiǎn)記為：“巧設(shè)方程立好系，待定系數(shù)求a、b；結(jié)合圖形用性質(zhì)，避免繁瑣用定義． 2．定義法

與焦點(diǎn)有關(guān)的距離，通過(guò)定義轉(zhuǎn)化往往收到事半功倍的效果． 3．利用雙曲線系 利用具有共同漸近線或共焦點(diǎn)的雙曲線系求雙曲線方程往往要比用其他方法簡(jiǎn)單易行，另外，已知兩漸近線方程，也應(yīng)能寫出對(duì)應(yīng)的雙曲線系． 【例題分析】

［例1］已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過(guò)點(diǎn)P(4，3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

策略：思路一：已知漸近線方程，即知道a與b的比，可用a、b中的一個(gè)未知數(shù)表示出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，但要判斷點(diǎn)P的位置，才能確定雙曲線方程的類型，再由點(diǎn)P在雙曲線上，用待定系數(shù)法求出該雙曲線的方程．思路二：已知漸近線方程可用雙曲線系寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可求出參數(shù)λ，從而求出雙曲線方程．

1x，2a1當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2＜yP＝3 ∴焦點(diǎn)在y軸上，即＝，設(shè)a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0即y＝x2y2∴雙曲線方程為－2?2＝1 4kk∵P(4，3)在雙曲線上，∴－169

2?＝1，∴k＝5 224kkx2y2?∴a＝5，b＝20 ∴所求雙曲線方程為－＝1 20522

xx2解法二：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0，即－y＝0 ∴雙曲線的漸近線方程為－y2＝0．

24x2∴可設(shè)雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)

∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

?∴所求的雙曲線方程為－y＝－5，即－＝1．

4205評(píng)注：由已知條件求雙曲線方程時(shí)，首先要確定其定位條件，即要確定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再根據(jù)其他條件確定其定形條件，即a、b的值．在定位時(shí)，一般把已知點(diǎn)橫坐標(biāo)xP代入漸近線所得的y值與yP比較可知P點(diǎn)在漸近線上方或下方，由此確定焦點(diǎn)的位置．解法二利用了共漸近線的雙曲線系，避免了對(duì)

22xy雙曲線方程類型的討論，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，在共漸近線的雙曲線系方程2－2＝λ(λ≠0，λ為參數(shù))ab中，當(dāng)λ＞0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)λ＜0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上．

x2y25?［例2］已知雙曲線的離心率e＝，且與橢圓＝1有共同焦點(diǎn)，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 1332策略：可先求出橢圓的焦點(diǎn)即雙曲線的焦點(diǎn)，由離心率可得出a進(jìn)而求出b，可得雙曲線方程．

解法一：橢圓中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝13?3＝10，焦點(diǎn)F(±10，0)在x軸上，∴雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 82x2y2?解法二：設(shè)與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線方程為＝1(3＜k＜13)13?k3?kx2y2?即＝1，13?kk?3∴a＝13?k，c＝10

∴離心率e＝c10＝，a13?k即510＝解得k＝5．

213?kx2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 8222xy評(píng)注：解法二用了共焦點(diǎn)的圓錐曲線系方程，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，一般地與橢圓2+2＝1共焦點(diǎn)的圓錐曲線ab22xy系方程為2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．當(dāng)k＜b2時(shí)，方程表示橢圓，當(dāng)b2＜k＜a2時(shí)，方程a?kb?k表示雙曲線．

［例3］已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的焦點(diǎn)為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，漸近線方程為3x±4y＝0，求此雙曲線的共軛雙曲線的方程．

策略：由已知漸近線的方程可得出a、b間的關(guān)系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出雙曲線方程，也可用雙曲線系方程求解．

解法一：∵漸近線方程為3x±4y＝0，即y＝±∵焦點(diǎn)F(±5，0)在x軸上，∴

3x． 4b3＝，設(shè)a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2??∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為－＝1． 169169解法二：∵雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，可設(shè)雙曲線系方程為9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x2?9?y2?16＝1

∴a2＝????，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9316

x2y2y2x2??＝1． ∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為169169評(píng)注：利用雙曲線系方程，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線系方程為a2x2－b2y2＝λ(λ＞0時(shí)焦點(diǎn)在x軸上，λ＜0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上)．

策略：要證PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是證明兩直線斜率之積為－1，這需要先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)或x02與y02，但計(jì)算相當(dāng)麻煩，再一個(gè)方法是用勾股定理，這需要先求出|PF1|與|PF2|，可以考慮用雙曲線的兩個(gè)定義解決．

解法一：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上時(shí)，根據(jù)雙曲線第二定義得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1為左焦點(diǎn))，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2為右焦點(diǎn))． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|2|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝43(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵點(diǎn)P在雙曲線上，依據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|2|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2332＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

評(píng)注：雙曲線的定義不僅是推導(dǎo)雙曲線方程的依據(jù)，也是解題的常用方法，用這一方法可以解決有關(guān)雙曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等許多問(wèn)題．

［例5］某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處(如圖8—4—1所示)

2x2y2? ＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF|2|PF|＝32，求證PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是雙曲線1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土才能最省工．

策略：首先抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：(1)沿AP到P較近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同樣近．顯然第三類點(diǎn)是第一、第二類點(diǎn)的分界．

解：設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)，則有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到定點(diǎn)A與定點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，符合雙曲線的定義，所以M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求雙曲線的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|2|PB|2cos60°＝1002＋1502－23100315021＝17500

2∴以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則界線是雙曲線孤

x2y2?＝1(x≥25)6253750所以運(yùn)土?xí)r，將此雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最?。?/p>

評(píng)注：本題通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的集合的性質(zhì),構(gòu)造圓錐曲線模型(即分界線)，從而確定最優(yōu)化區(qū)域． ［例6］(2000年2全國(guó)高考)如圖8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點(diǎn)E滿足|AE|＝λ|EC|，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)

32≤λ≤時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍．

策略：設(shè)出雙曲線方程，由E、C坐標(biāo)適合方程，找出各字母之間的聯(lián)系，特別是e同λ的關(guān)系求之． 解：如圖8—4—2，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD⊥y軸．

因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱．依題意，記A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2c?hc(??2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．設(shè)雙曲線方程為2－2＝1，則離心率e＝，21??aab2(1??)由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e＝?e2h2??2?1??????????①?4b ?222??2????h?e??????2?1???②?4??1??1???b??22he由①式得2??1 ③ b4c代入雙曲線的方程得： a3e2將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e?2433322依題設(shè)≤λ≤得：≤1－2≤，4e?2433解得7≤ e ≤10

所以，雙曲線的離心率的取值范圍為［7，10］． 評(píng)注：解本題關(guān)鍵找出離心率e與λ的關(guān)系，對(duì)于λ＝1－

31?2?

32，也可整理為e＝＝－2，再用2e?21??1??觀察法求得7≤ e ≤10．該題對(duì)考查學(xué)生思維能力、運(yùn)算推理能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)等能力都有較高要求，作為高考題可謂當(dāng)之無(wú)愧．

x2y2［例7］設(shè)雙曲線2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距為c，直線l過(guò)(a，0)，(0，b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距ab離為3c，求雙曲線的離心率。4解析：由直線的截距式方程和直線l的方程為：

xy?＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由點(diǎn)到直線的距離公式得：?aba2?b2?3c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由雙曲線方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2?b2b22?1?又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1．下列各對(duì)雙曲線中，離心率與漸近線都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．雙曲線－＝1的兩條漸近線所夾銳角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．點(diǎn)P為雙曲線－y2＝1右支上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，F(xiàn)1、F2是該雙曲線的焦點(diǎn)，則△F1PF2的內(nèi)心在（）

A．直線x＝2上 B．直線x＝1上 C．直線y＝2x上 D．直線y＝x上

5．設(shè)連接雙曲線－＝1與－＝1的四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形的面積是S1，連結(jié)其四個(gè)焦點(diǎn)的面積為S2，則的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)且∠PF1Q＝___________．，則雙曲線的離心率是7．以雙曲線－＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為___________．

8．雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，且過(guò)點(diǎn)P(3，－)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________．

9．若雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，則雙曲線的離心率為___________． 10．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，－)．

(1)求雙曲線的方程；

(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1⊥MF2；(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)M，求△F1MF2的面積．

11．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且與圓x2＋y2＝17相交于點(diǎn)A(4，－1)，若圓在A點(diǎn)的切線與雙曲線的漸近線平行，求這雙曲線方程．

12．在一次模擬軍事演習(xí)中，A、B、C是我軍三個(gè)炮兵陣地．在指揮作戰(zhàn)圖的坐標(biāo)平面上，由數(shù)據(jù)給出：A在指揮中心O的正東3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P為敵軍陣地(如圖8—4—3)．某時(shí)刻，A處發(fā)現(xiàn)了敵軍陣地P的某種信號(hào)，設(shè)該信號(hào)傳播速度為1 km/s，由于B、C兩地比A地距P地遠(yuǎn)，因此4秒鐘后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)信號(hào)，于是A處準(zhǔn)備炮擊P處，求A處炮擊的方向角θ(即東偏北多少度)．

參考答案

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1．解析：(用排除法)選項(xiàng)A和B中的兩個(gè)方程所表示的雙曲線漸近線不同，故排除A和B，而C中的兩個(gè)方程所表示的雙曲線漸近線相同而離心率不同，所以也排除C，因此選D．

答案：D 2．解析：雙曲線＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，設(shè)兩漸近線的夾角為θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：雙曲線∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1兩漸近線方程為y＝±x，又由題設(shè)知：－2＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為N，△F1PF2的內(nèi)切圓切雙曲線的實(shí)軸于T，由雙曲線的定義知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面幾何知識(shí)得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右頂點(diǎn)N(2，0)，∴T與N重合，由圓的切線的性質(zhì)定理知，△F1PF2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x＝2上． 答案：A 5．解析：由題設(shè)知雙曲線＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(±，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(±a，0)，雙曲線＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±b)． 則S1＝2|2a|2|2b|＝2|ab|，S2＝

3（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：設(shè)雙曲線方程為＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，則2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3，0)，頂點(diǎn)為(±，0)，設(shè)所求橢圓方

程為＝1(a>b>0)，則：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：設(shè)所求雙曲線方程為

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程為＝1．

答案：＝1 9．解析：離心率e＝，由于漸近線方程為y＝±x，當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸時(shí)，當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸時(shí)，故e為或．

答案：或 10．解：(1)設(shè)所求雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)則有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求雙曲線方程為＝1．

(2)將點(diǎn)M(3，m)代入雙曲線方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F(xiàn)2(2

＝1，又由雙曲線方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|2|MF2|＝|F1F2|2－24＝4312－24＝24 ∴＝|MF1|2|MF2|＝6．

11．解：當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±x，由已知條件知：雙曲線過(guò)點(diǎn)A(4，－1)，則有＝1 ①

又∵圓x2＋y2＝17在A(4，－1)的切線方程為4x－y＝17，由題意知

＝4 ②

解由①②組成的方程組得：a2＝，b2＝255．

∴當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線方程為： ＝1．

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線方程為1 ③

＝1(a>0，b>0)．由題設(shè)知過(guò)點(diǎn)A(4，－1)，則有＝而雙曲線＝1的漸近線方程為y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦點(diǎn)不可能在y軸上．

因此所求雙曲線方程為＝1．)12．解：由題意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P點(diǎn)在以B、A為焦點(diǎn)的以4為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支上，設(shè)其方程為＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P點(diǎn)在雙曲線＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P點(diǎn)在線段BC的垂直平分線l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中點(diǎn)(－4，)∴l(xiāng)的方程為y－＝(x＋4)，即點(diǎn)P在直線y＝(x＋7)上．

由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P點(diǎn)坐標(biāo)(8，5)設(shè)所求方向角為θ，即θ＝∠xAP，由tanθ＝∴A處炮擊的方向角為60°．，得θ＝60°

第三篇：雙曲線及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)作業(yè)

家長(zhǎng)簽字：

學(xué)之導(dǎo)教育中心作業(yè)

———————————————————————————————學(xué)生:

授課時(shí)間：________年級(jí)：

教師：求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）焦點(diǎn)是（-4,0），（4,0），過(guò)點(diǎn)（2,0）

（2）離心率為54，半虛軸長(zhǎng)為2（3）兩頂點(diǎn)間的距離是6，兩焦點(diǎn)連線被兩頂點(diǎn)和中心四等分過(guò)雙曲線x2-y2?3=1的左焦點(diǎn)F1，作傾斜角為

6的弦為AB，求：（（2）?F2AB的周長(zhǎng)（F2為雙曲線的右焦點(diǎn)）

1）

AB 3 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1（-3,0），一條漸近線的方程為（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程

5x?2y?0、（2）若以k（k不為0）的斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)圍成的三角形的面積為

812，求K的范圍

第四篇：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)反思

雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)反思

圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)和高考試題的壓軸題，主要是對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的考查，因此，課堂教學(xué)時(shí)應(yīng)重視對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的歸納和運(yùn)用.有效教學(xué)要在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，尋找學(xué)生最近發(fā)展區(qū)促進(jìn)學(xué)生更深層面上思維和理解。本節(jié)課學(xué)習(xí)活動(dòng)是以學(xué)生對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行的，利用方程討論曲線的性質(zhì)的這種方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)討論橢圓的性質(zhì)時(shí)已經(jīng)嘗試探討過(guò)，所以這節(jié)課主要是對(duì)照橢圓幾何性質(zhì)，讓學(xué)生通過(guò)類比的思想方法得出雙曲線的幾何性質(zhì).充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生更清楚地區(qū)分兩者曲線，找出“共性”和“個(gè)性”.有效教學(xué)要使學(xué)生建立良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系。良好知識(shí)結(jié)構(gòu)應(yīng)把知識(shí)及知識(shí)形成發(fā)展的脈絡(luò)及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系、結(jié)論的推導(dǎo)證明線索融合成一個(gè)有機(jī)整體，也只有這樣的知識(shí)才有利于轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)期記憶，才能夠在需要時(shí)被自如調(diào)用。本課突出展現(xiàn)了雙曲線幾何性質(zhì)的獲得過(guò)程.當(dāng)然在課堂教學(xué)的實(shí)際活動(dòng)中，有一些不盡人意，一是與橢圓的類比不到位，二是知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的形成欠缺，三是由于應(yīng)用多媒體，客課容量是增加了，但個(gè)別知識(shí)容易造成一帶而過(guò)，引不起足夠重視，四是時(shí)間分配上存在誤差，練習(xí)時(shí)間減少。

在教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生的思維活動(dòng)主要是在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行的。能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)生的問(wèn)題應(yīng)具備如下特點(diǎn)：（1）從學(xué)生知識(shí)可接受性的實(shí)際出發(fā)，確定合理的難度和適當(dāng)?shù)乃季S強(qiáng)度，即，問(wèn)題使學(xué)生處于似會(huì)非會(huì)、似能解決又不能解決的感覺(jué)。（2）問(wèn)題要有利于引起學(xué)生的認(rèn)知沖突和學(xué)習(xí)心向，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生積極參與。（3）問(wèn)題的序列設(shè)置要使數(shù)學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)合理、自然，有情理之中的感覺(jué)，要有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，靈活運(yùn)用所學(xué)。（4）從數(shù)學(xué)方法論的角度出發(fā)，問(wèn)題要具有啟發(fā)性，如：你認(rèn)為該問(wèn)題可能涉及哪些知識(shí)？解決該問(wèn)題需要什么條件？我們還疏漏了什么沒(méi)有？…….促進(jìn)學(xué)生自己提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)有所感悟，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維深度參與的自動(dòng)發(fā)生機(jī)制。（5）問(wèn)題要有利于引領(lǐng)、促進(jìn)學(xué)生有效反思自己的學(xué)習(xí)行為，及時(shí)整理、內(nèi)省自己的思維過(guò)程，提升對(duì)知識(shí)、方法的認(rèn)識(shí)。如：?jiǎn)栴}是怎樣得到解決的？使用了哪些思維方法？該問(wèn)題的解決方法有推廣價(jià)值嗎？可推廣到哪些方面？……..這在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)確實(shí)有所體現(xiàn)，但是還有一定的欠缺，這需要在教學(xué)實(shí)踐中不斷的去摸索經(jīng)驗(yàn)，此外在教學(xué)設(shè)計(jì)中還應(yīng)更加細(xì)致，預(yù)先設(shè)置的更細(xì)致些，會(huì)有更好的效果。

第五篇：雙曲線幾何性質(zhì)2

授課時(shí)間 周星期 授課班級(jí) 授課教師 方法、技巧、規(guī)律 課雙曲線幾何性質(zhì) 題 學(xué)1．了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)——漸近線習(xí)2．能用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。目.標(biāo) 重雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用。點(diǎn) 難雙曲線的漸近線 點(diǎn) 問(wèn)題 1：由橢圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，類比探究雙曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程 觀察圖形，把握對(duì) 稱性`開放性和特 殊點(diǎn) 漸近線方程 問(wèn)題2實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫___________ 雙曲線 學(xué)方程可表示為___________，漸近線方程為________,習(xí)問(wèn)題3：不同的雙曲線漸近線會(huì)相同嗎？ 過(guò)x2y222程 1.雙曲線4?9?1漸近線方程為_____，雙曲線y36?x16?1漸近線方程為_____ 2.（2009天津卷文）設(shè)雙曲線x22a2?yb2?1(a?0,b?0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為23，x224k?y9k?1漸近線方程為____ 例2.已知雙曲線方程x29?y216?1，求與它共漸近線且滿 1）過(guò)點(diǎn)(?3,23)22）焦點(diǎn)為橢圓x210?y5?1的頂點(diǎn) 3）焦距為10 漸近線應(yīng)用 21）（2009寧夏海南卷理）雙曲線x24-y12=1的焦點(diǎn)到漸近（A）23（B）2（C）3 2）(2011年湖南)設(shè)雙曲線x2a2?y29?1?a?0?的漸近線3）（2010浙江理數(shù)）（8）設(shè)Fx21、F2分別為雙曲線a2?曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足PF2?F1F2，且F2到直線雙曲線的漸近線方程為（A）3x?4y?0（B）3x?5y?0（C）4x?3y?x24）.（2009全國(guó)卷）雙曲線?y2?1的漸近線與圓(b