第一篇：《直線與方程》單元教學設計

《直線與方程》單元教學設計

摘 要： 單元教學設計是指對某一單元的教學內容作出具體的教學活動設計。單元教學設計要有整體性、相關性、、階梯性和綜合性。本文以人教A版高中數(shù)學必修2《直線與方程》一章為例，從單元教學目標、要素分析、教學流程設計等方面進行了整體設計，旨在更好地實現(xiàn)教與學。

關鍵詞： 直線與方程 單元教學設計 教學要素

單元教學設計是指對某一單元的教學內容作出具體的教學活動設計，這里的單元可是一章，也可是以某個知識內容為主的知識模塊。單元教學設計要有整體性、相關性、階梯性和綜合性。本文以人教A版高中數(shù)學必修2《直線與方程》一章為例進行了單元教學設計，設計內容包括單元教學目標、要素分析（其中包含數(shù)學分析、標準分析、學生分析、重點分析、教材比較分析、教學方式分析等）、教學流程設計、典型案例設計和反思與改進等。

一、單元教學目標

（1）理解并體會用代數(shù)方法研究直線問題的基本思路：先在平面直角坐標系中建立直線的代數(shù)方程，再通過方程，用代數(shù)方法解決幾何問題。（2）初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，體會數(shù)形結合的思想。

二、要素分析

1.數(shù)學分析：直線與方程為人教A版教材必修2第三章內容，必修2包括立體幾何初步、解析幾何初步，其中立體幾何初步分為空間幾何體，點、直線、平面之間的位置關系。直線與方程是繼立體幾何的學習之后從代數(shù)的觀點認識、描述、刻畫直線，是在平面直角坐標系中建立直線的方程，運用代數(shù)方法研究它們的幾何性質及其相互位置關系。它在高中數(shù)學中的地位非常重要，可以說是高中數(shù)學體系中的“交通樞紐”。它與代數(shù)中的一次函數(shù)、二元一次方程、幾何中的直線和不等式及線性規(guī)劃等內容都有關聯(lián)。

在本章教學中，學生應該經歷如下的過程：首先將直線的傾斜角代數(shù)化，探索確定直線位置的幾何要素，建立直線的方程，把直線問題轉化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種數(shù)形結合的思想貫穿教學的始終，并且在后續(xù)課程中不斷體現(xiàn)。

2.標準分析：①坐標法的滲透與掌握：解析幾何研究問題的主要方法是坐標法，它是解析幾何中最基本的研究方法。②作為后續(xù)學習的基礎，要靈活地根據(jù)條件確定或者待定直線的方程，如將直線方程預設成點斜式、斜截式或一般式，等等。③認識到直線方程中的系數(shù)唯一確定直線的幾何特性，可類比學習后續(xù)課程橢圓方程中的系數(shù)a，b，c，雙曲線標準方程的系數(shù)，拋物線的系數(shù)，也可以延伸至兩條直線的位置關系取決于直線方程中的系數(shù)，即取決于兩個重要的量――斜率和截距。④本單元內容屬于解析幾何的范疇，是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質，體現(xiàn)數(shù)形結合的重要思想。所以在本單元學習中，學生要初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，體會數(shù)形結合的思想，其核心可以由以下知識結構圖顯現(xiàn)出來：

3.學習者特征分析：已有一次函數(shù)知識作為基礎；剛剛結束了立體幾何初步的學習，現(xiàn)在學習直線與方程可以說是對點、直線的再認識、再深化；該課程是高一課程，學生習慣于直覺思維，感性認識要多一點，或者說學生正在初步接觸和進行邏輯思維，處在由直觀到精確、由感性到理性的認知水平的轉化和提高過程中。故從這種意義看來，本單元課程不失為一個思維提升訓練非常恰當?shù)妮d體。

4.重點難點分析：本單元目的是在解析幾何視角下完成直線上的點與方程的解的聯(lián)系，直線上所有點與方程的所有解之間的聯(lián)系，從而建立直線的方程，把直線問題轉化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結果得幾何含義，最終解決幾何問題。由此說本單元的重點是直線的傾斜角與斜率、直線的方程、直線的交點坐標與距離公式，重點方法和思想是形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，體會數(shù)形結合的思想。

5.教材對比分析：現(xiàn)行教材都突出解析幾何中坐標法的應用，強調數(shù)形結合思想在本章中的滲透，授課內容也都基本相同，但是有各自的特點，下面就人教A版和蘇教版進行比較，如下圖：

不管順序怎么不同，各種教材都是根據(jù)學生的認知水平、遵循學生的認識規(guī)律的，我們不必過于拘泥于某種教材，而是根據(jù)自己學生的特點、認知水平，選擇合適的教學手段和方法。

6.教學方式分析：可以靈活采用各種教學方法，我們學校主要采用五環(huán)節(jié)教學法，即師生共同探究、學生獨立思考、小組合作交流、學生精彩展示和老師精彩點評五個環(huán)節(jié)。

三、教學流程設計

四、典型案例設計（略）

五、反思與改進

1.重視解析幾何在高中數(shù)學中的指導性地位，要不失時機地滲透、鞏固，加深學生對其重要性的認識。2.把握教學中的“度”，最好不要在細枝末葉處“折騰”。3.進行單元教學設計可大可小，要用整體把握的觀點指導教學。

第二篇：回歸直線方程教學設計

直線的回歸方程教學設計

一、課題引入

引言：我們知道，通過散點圖可以判斷兩個變量之間是否具有“正相關”或“負相關”，但這只是一個定性的判斷，更多的時候，我們需要的是定量的刻畫．

問題1：下列兩個散點圖中,兩個變量之間是否具有線性相關關系？理由呢？是正相關還是負相關？

設計意圖：回顧上節(jié)課所學內容，使學生的思想、知識和心理能較快地進入本節(jié)課課堂學習的狀態(tài)．

師生活動：學生回答，圖1沒有線性相關關系，圖2有線性相關關系，因為圖1中的所有點都落在某一直線的附近．通過問題，使學生回憶前2節(jié)課核心概念：線性相關關系、正相關、負相關等，為后續(xù)學習打基礎．

二、本節(jié)課的新知識

問題2：通過上一節(jié)課的學習，我們認為以“偏差”最小的直線作為回歸直線比較恰當，那你能用代數(shù)式來刻畫“從整體上看，各點與此直線的偏差最小”嗎？

設計意圖：幾何問題代數(shù)化，為下一步探究作好準備，經歷“幾何直觀”轉化為“代數(shù)表達”過程，為引出“最小二乘法”作準備．

師生活動：先展示上一節(jié)課的討論結果：學生提出的如下四種可能性：圖3(1)表示每一點到直線的垂直距離之和最短，圖3(2)表示每一點到直線的“偏差”之和最短，圖3(3)表示經過點最多的直線，圖3(4)表示上下點的個數(shù)“大概”一樣多的直線．通過上一節(jié)課的分析，我們認為選擇偏差之和最短比較恰當，即圖3（2）．

設回歸直線方程為為型：，（xi，yi）表示第i個樣本點，將樣本數(shù)據(jù)記，學生思考，教師啟發(fā)學生比較下列幾個用于評價的模

模型3：

．

師生一起分析后，得出用模型3來制定標準評價一條直線是否為“最好”的直線

222較為方便． Q=（y1－bx1－a）+（y2－bx2－a）+?+（yn－bxn－a）=

問題3：通過對問題2的分析，我們知道了用Q=最小來表示偏差最小，那么在這個式子中，當樣本點的坐標（xi，yi）確定時，a,b等于多少，Q能取到最小值呢？

設計意圖：體會最小二乘法思想，不經歷公式化簡無法真正理解其意義，而直接從n個點的公式化簡，教學要求、教學時間、學生能力都沒達到這個高度．因而由具體到抽象，由特殊到一般，將是學生順利完成這一認知過程的一般性原則．通過這個問題，讓學生了解這個式子的結構，為后續(xù)的學習打下基礎，同時滲透最小值的思想

師生活動：偏差最小從本質上來說是

2最小，為了處理方便，我們采用n個偏差的平方和Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）+…+（yn－bxn－a）2表示n個點與相應直線在整體上的接近程度：記Q=（向學生說明的意義）．通過化簡，得到的其實是關于a、b的二元二次函數(shù)求最值的問題，一定存在這樣的a、b，使Q取到最小值．（1）在此基礎上，視

為的二次函數(shù)時，可求出使Q為最小值時的的值的線性回歸方程系數(shù)公式：

（2）教師指出，稱為樣本點的中心，可以證明回歸直線一定過樣本點

上述方法求回歸直線的方法，的中心，所以可得是使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以這種使距離平方最小的方法，叫做最小二乘法．

問題4：這個公式不要求記憶，但要會運用這個公式進行運算，那么，要求,的值，你會按怎樣的順序求呢？

設計意圖：公式不要求推導，又不要求記憶，學生對這個公式缺少感性的認識，通過這個問題，使學生從感性的層次上對公式有所了解．

師生活動：由于這個公式比較復雜，因此在運用這個公式求,時，必須要有條理，先求什么，再求什么，比如，我們可以按照、n、、、、順序來求，再代入公式．我們一般可以列如下表格進行分布計算：

三、知識深化：

問題5：你能根據(jù)表一所提供的樣本數(shù)據(jù)，求出線性回歸方程嗎？

表一：人體的脂肪百分比和年齡

設計意圖：公式形式化程度高、表達復雜，通過分解計算，可加深對公式結構的理解．同時，通過例題，反映數(shù)據(jù)處理的繁雜性，體現(xiàn)計算器處理的優(yōu)越性．

師生活動：步驟一，可讓學生觀察公式，充分討論，通過計算：n、、、、五個數(shù)據(jù)帶入回歸方程公式得到線性回歸方程，體會求線性回歸方程的原理與方法．

由此可以得到回歸直線方程為：

步驟二，教師分析求線性回歸方程的基本步驟，然后帶領學生用卡西歐FX-991 ES計算器求出線性回歸方程并畫出回歸直線，教師可協(xié)同學生，對計算器操作方式提供示范，師生共同完成．

問題6：利用計算器，根據(jù)以下表中的數(shù)據(jù)，請同學們獨立解決求出表中兩變量的回歸方程：

設計意圖：讓學生獨立體驗運用計算器求回歸直線方程，在重復求解回歸直線的過程中，使學生掌握用計算器求回歸直線的操作方法?；貧w直線為：=0.6541x-4.5659

回歸直線為：=0.4767x+4.9476 回歸直線為：= 0.5765x-0.4478 問題7：同樣問題背景，為什么回歸直線不止一條？回歸方程求出后，變量間的相關關系是否就轉變成確定關系？

設計意圖：明確樣本的選擇影響回歸直線方程，體現(xiàn)統(tǒng)計的隨機思想．同時，明確其揭示的是相關關系而非函數(shù)的確定關系，而且最小二乘法只是某一標準下的一種數(shù)據(jù)處理方法，使學生更全面的理解回歸直線這一核心概念． 案例：賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的關系

下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表（用計算器直接求回歸直線）：

（1）求回歸方程；（2）按照回歸方程，計算溫度為10度時銷售杯數(shù)．為什么與表中不同？如果某天的氣溫是－5℃時，預測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)．

讓學生完整經歷求回歸直線的過程．其中第2問，讓學生體會到即使是相比下“最優(yōu)”的所獲得的回歸直線，也存在著一定的誤差，從中體會無論方法的優(yōu)劣，統(tǒng)計學中隨機性無法避免．而在預測值的計算中，體現(xiàn)了回歸直線的應用價值．

通過對案例的分析，說明事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者關系： 1．數(shù)據(jù)采樣本身就具有隨機性，同樣23歲的人，脂肪含量可能9.5%，也有可能30%，這種誤差我們稱之為隨機誤差，隨機誤差是不可避免的．

2．回歸分析是尋找相關關系中非確定關系中的某種確定性，雖然一個數(shù)據(jù)具有隨機誤差，但總體還是具有某種確定的關系．

3．在數(shù)據(jù)采樣都符合統(tǒng)計要求的情況下，取三個回歸直線方程中的任意一個都是合理的，不存在哪條最合適的問題，但一般情況下，選擇數(shù)據(jù)多一些的比較合理．

四、小結：

問題8：請同學們回顧一下我們怎樣求出回歸直線方程？事件、樣本數(shù)據(jù)與回歸直線三者之間有怎樣的關系？ 師生活動：

1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程的方法(1)直接運用公式

(2)借助計算器或計算機(使用方法見學案)2.樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的關系

第三篇：直線與方程教案

平面解析幾何 第一講 直線方程 知識歸納：

一、直線的傾斜角與斜率

1、確定直線的幾何要素是：直線上兩不同的點或直線上一點和直線的方向兩個相對獨立的條件

注意：表示直線方向的有：直線的傾斜角（斜率）、直線的方向向量、直線的法向量

2、直線的傾斜角：當直線l 與x 軸相交時，我們取x 軸作為基準，x 軸正向與直線l 向上方向之間所成的角α叫做直線l 的傾斜角。

注意：①從用運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x 軸繞交點按逆時針方向轉到與直線重合時所成的角；

②規(guī)定：直線與x 軸平行或重合時，直線的傾斜角為00 ③直線傾斜角α的取值范圍是：00≤α<1800

④在同一直角坐標系下，任何一條直線都有傾斜角且唯一，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。

3、直線的斜率：傾斜角不是900的直線，它的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，即k =tan α(α≠900)。它從另一個方面反映了直線的傾斜程度。注意：一條直線必有一個確定的傾斜角，但不一定有斜率，當α=00時，k =0；當00<α<1800時，k >0；當α=900時，k 不存在，當900<α<1800時，k <0。即：斜率的取值范圍為k ∈R 例

1、給出下列命題：①若直線傾斜角為α，則直線斜率為tan α；②若直線傾斜角為tan α，則直線的傾斜角為α； ③直線的傾斜角越大，它的斜率越大；④直線的斜率越大，其傾斜角越大；⑤直線的傾斜角的正切值叫做直線的斜率。其中正確命題的序號為 例

2、已知直線的傾斜角為α，且sin α=4，求直線的斜率k 5

4、直線斜率的坐標公式

經過兩點P 的直線的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)x 1-x 2 注意：①斜率公式與兩點的順序無關，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x)12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特別地：當y 1=y 2, x 1≠x 2時，k =0；此時直線平行于x 軸或與x 軸重合；當y 1≠y 2, x 1=x 2時，k 不存在，此時

直線的傾斜角為900，直線與y 軸平行或重合。

例

3、已知點P(2,1),Q(m ,-3)，求直線P , Q 的斜率并判斷傾斜角的范圍。

例

4、（三點共線問題）已知A(-3,-5), B(1,3), C(5,11)三點，證明這三點在同一條直線上 例

5、（最值問題）已知實數(shù)x , y，滿足2x +y =8，當2≤x ≤8時，求y 的最大值和最小值 x

5、直線的方向向量：已知P 是直線l 上的兩點，直線上的向量PP 及與它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)12稱為直線的方向向量。直線PP 與x 軸不垂直時，x 1≠x 2，此時，向量12的坐標是

1也是直線PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 為直線PP 的斜率(x 2-x 1, y 2-y 1)，即（1，k）12x 2-x 1

6、直線的法向量：如果向量n 與直線l 垂直，則稱向量n 為直線l 的法向量。

二、直線的方程

1、定義：一般地，以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上點的坐標都是這個方程的解，這是，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線。

2、直線方程的幾種形式（1）點斜式：

問題：若直線l 經過點P，且斜率為k，求直線l 的方程。0(x 0, y 0)解析：設點P(x , y)是直線l 上不同于點P 的任意一點，根據(jù)經過兩點的直線的斜率公式，得k =y-y 0，可化為0 x-x 0、斜率為k 的直線l 的方程。y-y 0=k(x-x 0)，即為過點P 0 方程y-y 0=k(x-x 0)是由直線上一點及其斜率確定的，把這個方程叫做直線的點斜式的方程，簡稱點斜式。注意：①k =y-y 0與y-y 0=k(x-x 0)是不同的，前者表示直線上缺少一個點x ≠x 0，后者才是整條直線； x-x 0 ②當直線l 的傾斜角為00時，tan 00=0，即k =0，這時直線l 的方程為y =y 0 ③當直線的傾斜角為900時，直線l 斜率不存在，這時直線l 與y 軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 軸的直線。④經過點P 的直線有無數(shù)條，可分為兩類情況： 0(x 0, y 0)ⅰ、斜率為k 的直線，方程為y-y 0=k(x-x 0)ⅱ、斜率不存在的直線，方程為x-x 0=0或寫為x =x 0 例

6、根據(jù)條件寫出下列各題中的直線的方程

①經過點P，傾斜角α=450，②經過點P , 2)，斜率為2 ③經過點(4,2)，且與x 軸平行 1(-2,3)1(1④經過點(-2,-3)，且與x 軸垂直（2）斜截式：

問題：已知直線l 的斜率是k，與y 軸的交點是P(0,b)，代入直線方程的點斜式，得直線l 的方程y-b =k(x-0)，也就是y =kx +b，我們稱b 是直線l 在y 軸上的截距。

這個方程是由直線l 的斜率k 和它在y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式。注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 軸的直線

③斜截式方程和一次函數(shù)的解析式相同，都是y =kx +b，但有區(qū)別：當斜率不為0時，y =kx +b 是一次函數(shù)，當k =0時，y =b 不是一次函數(shù)；一次函數(shù)y =kx +b（k =0）必是一條直線的斜截式方程。例7、求傾斜角是直線y =+1的傾斜角的1，且在y 軸上的截距為-5的直線的方程。4（3）兩點式：

問題：已知直線l 經過兩點P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)，求直線l 的方程 解析：因為直線l 經過兩點P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，)所以它的斜率k =y 2-y 1，代入點斜式，得 x 2-x 1 y-y 1= y 2-y 1(x-x 1)，當y 2≠y 1時，方程可以寫成y-y 1=x-x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 這個方程是由直線上兩點確定的，所以叫做直線的兩點式方程，簡稱兩點式。注意：①方程y-y =y 2-y 1(x-x)與方程y-y 1=x-x 1比較，后者比前者表示直線的范圍更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直線，后者除此外，還不能表示斜率為0的直線；局限性：不能表示垂直于坐標軸的直線。②兩點式方程與這兩個點的順序無關。例

8、已知點A(-5, 0)，B(3,-3)，求直線AB 的方程

例

9、一條光線從點A(3,2)出發(fā)，經x 軸反射，通過點B(-1, 6)，求入射光線和反射光線所在直線的方程（4）截距式：

問題：已知直線l 與x 軸的交點為(a , 0)，與y 軸的交點為(0,b)，其中a ≠0, b ≠0，求直線l 的方程。解析：因為直線l 經過A(a , 0)和B(0,b)兩點，將這兩點的坐標代入兩點式，得如果直線與x 軸的交點為(a , 0)，則稱a 為直線在x 軸上的截距。

以上直線方程是由直線在x 軸和y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的截距式方程，簡稱截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示與坐標軸平行（重合）的直線，還不能表示過原點的直 a b y-0x-a，即為x +y =1 = b-00-a a b 線。

例

10、過兩點A(-1,1)，B(3,9)的直線在x 軸上的截距為（5）一般式方程：

以上幾種形式的直線方程都是二元一次方程，即平面上任何一條直線都可以用一個關于x y 的二元一次方程表示； 而關于x y 的二元一次方程，它都表示一條直線。因此我們把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式。

注意：①直線的一般式方程能表示所有直線的方程，這是其他形式的方程所不具備的。②直線的一般式方程成立的條件是A,B 不同時為0。

③雖然直線的一般式有三個系數(shù)，但是只需兩個獨立的條件即可求直線的方程，若A ≠0, 則方程可化為x +B y +C =0;若B ≠0，則方程可化為A x +y +C =0，即y =-A x-C;A A B B B B 若A =0，B ≠0時，方程化為y =-C , 它表示與x 軸平行或重合的直線； B 若A ≠0，B =0時，方程化為x =-C，它表示一條與y 軸平行或重合的直線； A 若ABC ≠0時，則方程可化為 x-A + 因此只需要兩個條件即可。y =1-B ④直線方程的其他形式都可以轉化為一般式，因此在解題時若沒有特殊說明，應把最后結果互為直線的一般式 例

11、設直線l 的方程為(m-2m-3)x +(2m +m-1)y =2m-6，根據(jù)下列條件分別確定m 的值（1）l 在x 軸上的截距為-3（2）l 的斜率是-1（6）點向式：

問題：設直線l 經過點P，v =(a , b)是它的一個方向向量，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析:設P(x , y)是直線l 上的任意一點，則向量P 與v 共線，根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一實數(shù)t，0P x =x 0+at ①，使P，即(x-x 0, y-y 0)=t(a , b)，所以?方程組①稱為直線的參數(shù)式方程。0P =tv ? ?y =y 0+bt 2 2 如果直線l 與坐標軸不平行，則ab ≠0，于是可得 x-x 0y-y 0 =t , =t，消去參數(shù)t，得到直線l 的普通方程 a b x-x 0y-y 0 這個方程稱為直線l 的點向式方程，a , b 叫做直線l 的方向數(shù)。= a b 思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的方向向量？（7）點法式：

問題：設直線l 有法向量n =(A , B)，且經過點P，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析：設P(x , y)是直線l 上的任意一點，則有P，即P 0P ⊥n 0P ?n =0 因為PP 0=(x-x 0, y-y 0)，n =(A , B)，所以有A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 這個方向是由直線l 上一點P 及直線l 的法向量n 確定的，稱為直線l 的點法式。0(x 0, y 0)思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的法向量？

三、直線的位置關系（同一平面上的直線）

1、平行與垂直（1）兩條直線平行的判定

①當兩條直線的斜率存在時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定

設兩條直線分別為，則l 1, l 2的傾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此時b 1≠b 2；反之也成立。所以有l(wèi) 1//l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2 ②當兩條直線的斜率都不存在時，二者的傾斜角均為900，若不重合，則它們也是平行直線 注意：當不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結論： 設兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1不為0）或l 1//l 2?A（可用直線的方向向量或法向量解釋）1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知點A(2,2)和直線l ：3x +4y-20=0，求過點A 和直線l平行的直線。（引出平行直線系方程）（2）兩條直線垂直的判定

①當兩條直線的斜率存在且不為0時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定 設兩條直線分別為，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 則得直線l 1的方向向量為：a =(1, k 1)l 2的方向向量為：b =(1, k 2)，所以有l(wèi) 1⊥l 2?a ⊥b ?a ?b =0?1?1+k 1?k 2=0 即l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1 注意： 或用兩條直線的傾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1)=-=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2?A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1，得到k 1?k 2=-1 tan α1

②兩條直線中，一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零，則兩條直線垂直。由①②得，兩條直線垂直的判定就可敘述為：一般地，l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1或一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零。

注意：當不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結論： 設兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知兩直線l 1：x +my +6=0，l 2：(m-2)x +3y +2m =0，當m 為何值時，直線l 1與l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知長方形ABCD 的三個頂點的坐標分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個頂點D 的坐標

例

16、求證：不論m 為取什么實數(shù)，直線(2m 2-1)x +(m 2-1)y =m 2-5總通過某一定點 =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2?A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求與直線3x +4y +1=0垂直且過點（1，2）的直線方程（引出垂直直線系方程）)例

17、已知直線ax-y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1)時，y >0恒成立，求a 的取值范圍； 16 時，恒有y >0，求x 的取值范圍

四、到角、夾角（1）到角公式

定義：兩條直線l 1和l 2相交構成四個角，他們是兩對對頂角，為了區(qū)別這些角，我們把直線l 1繞交點按逆時針方向旋轉到與l 2重合時所轉的角，叫做l 1到l 2的角，如圖，直線l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：設已知直線方程分別是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1?k 2=0，即k 1?k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1?k 2≠0，設l

1、l 2的傾斜角分別為α1, α2，則tan α1=k 1, tan α2=k 2 由圖1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1)由圖2）的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1)1-0 于是tan θ=tan(α2-α1)= tan α2-tan α1k-k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2（2）夾角公式

定義：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以當l 1與l 2相交但不垂直時，在θ和π-θ中有且只有一個角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為α，則tan α=當直線l 1⊥l 2時，直線l 1與l 2的夾角為 k 2-k 1，即為夾角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直線l 1的方程是x-2y-2=0，底邊所在直線l 2的方程是x +y-1=0，點(-2,0)在另一腰上，求這條腰所在直線l 3的方程

五、兩條直線的交點坐標：

1、設兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 則l 1與l 2是否有交點，只需看方程組

?A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ? ?A 2x +B 2y +C 2=0 若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標； 若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行； 若方程組有無窮多解，則兩直線重合

例

19、求經過兩直線2x-3y-3=0和x +y +2=0的交點且與直線3x +y-1=0平行的直線方程。經過兩直線l 1:A 1x +B 1y +C 1=0與l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交點的直線系方程為其中λ是待定系數(shù)，在這個方程中，無論λ取什么實數(shù)，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直線l 2。

2、對稱問題

（1）點關于點的對稱，點A(a，b)關于P , y 0)的對稱點B（m，n），則由中點坐標公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b，即B（2x 0-a , 2y 0-b）。

（2）點關于直線的對稱，點A(x 0, y 0)關于直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時為0）的對稱點

A '(x 1, y 1)，則有AA ’的中點在l 上且直線AA ’與已知直線l 垂直。

（3）直線關于直線的對稱，一般轉化為點關于直線的對稱解決，若已知直線l 1與對稱軸l 相交，則交點必在與l 1對稱的直線l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交點的已知點P 1關于對稱軸對稱的點P 2，那么經過交點及點

P 2的直線就是l 2；若直線l 1與對稱軸l平行，則在l 1上任取兩不同點P

1、P 2，求其關于對稱軸l 的對稱

點P

1、P 2，過P

1、P 2的直線就是l 2。

例題20、已知直線l :x +y-1=0，試求①點P(4,5)關于l 的對稱坐標；②直線l 1:y =2x +3關于直線 ' ' ' ' l 的對稱的直線方程。例題21、求函數(shù)y =

六、兩點間的距離，點到直線間的距離 +的最小值。

P（1）兩點間的距離：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)則

（2）點到直線的距離: l 已知點P，求點P 0(x 0, y 0)，直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時為0）0到直線的距離。解法一：如圖，作P 0Q ⊥l 于點Q，設Q(x 1, y 1)，若A,B ≠O, 則由k 1=-A B(, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1)，?Ax +By +C =0 ?

B ?B y-y =(x-x)從而直線P 的方程為，解方程組Q y-y =(x-x 0)得0000?A ?A ?B 2x 0-ABy 0-AC x =??1A 2+B 2 ?2 ?y =A y 0-ABx 0-BC 1??A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易驗證當A=0或B=0時，上式仍然成立。

l 解法二：如圖，設A ≠0,B ≠0，則直線l 與x 軸和y 軸都相交，過點P 0分別作x 軸和y 軸的平行線，交直線

于R 和S，則直線P 0R 的方程為y =y 0，R 的坐標為（-By 0+C , y 0）； A x ,-直線P 0S 的方程為x =x 0，S 的坐標為（-0 Ax 0+C），B 于是有P 0R =-Ax 0+By 0+C By 0+C-x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P-y 0= , RS =0S =-B B 0+By 0+C。

=d，由三角形面積公式可得d ?RS =P 設PQ 00R ?P 0S.于是得d = 因此，點P 0(x 0, y 0)到直線l :Ax +By +C = 0的距離d =上式仍成立。注意: P 0R ?P 0S RS = 容易驗證，當A=0或B=0時，①若給出的方程不是一般式，則應先把方程化為一般式，再利用公式求距離； ②點到直線的距離是點到直線上的點的最短距離；

③若點在直線上，則點到直線的距離為0，但距離公式仍然成立，因為此時Ax 0+By 0+C =0。（3）兩平行線間的距離。

定義；兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長，即一條直線上的點到另一條直線的距離。

兩條平行直線l 1:Ax +By +C 1=0與l 2:Ax +By +C 2= 0的距離公式d = 推導過程：設P 則P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距離

0(x 0, y 0)為直線l 1:Ax +By +C 1=0上任意一點，0為d =，又因為P 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：應用此公式時，要把兩直線化為一般式，且x、y 的系數(shù)分別相等。

例題

22、求經過點A(-1,2)與B(-,0)的直線上一點C（5，n）到直線x +y =1的距離。例題

23、求經過點A（1，2）且到原點的距離等于1 的直線方程。例題

24、已知三角形ABC 中，點A（1，1），B（m）（1

例題

25、求過點P（1，2）且與A（2，3），B(4,-5)兩點距離相等的直線方程。作業(yè)：

1、設θ∈(52 π 2 , π)，則直線x cos θ+y sin θ+1=0的傾斜角α為（）(B)θ(C)θ+(A)θ-π 2 π 2(D)π-θ

2、設P（x，y）是曲線C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一點，則 y 的取值范圍是()x A ．[-3, 3] B ．(-∞,-3]?*, +∞)C ．[-3, ] D ．(-∞,-]?*, +∞)3333

3、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直線l 過點A(1，1)且與線段MN 相交，則直線l 的斜率k 的取值范圍是 3 或k ≤－4 4 3 B.－4≤k ≤ 4 33 C.≤k ≤4D.－≤k ≤4 44

4．過點P（6，－2）且在x 軸上的截距比在y 軸上的截距大1的直線的方程是 A ．2x +3y-6=0 C ．x-y +3=0 B ．2x +3y-6=0或3x +4y-12=0 D ．x +2y-2=0或2x +3y-6=0

5、若直線l 經過點(1,1),且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為2, 則直線l 的條數(shù)為(A)1(B)2(C)3(D)4

6、如圖所示，直線l 1：ax －y ＋b=0與l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b)的圖象只可能是()

7、若三點A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一條直線上, 則有()(A)a=3,b=5(B)b=a+1(C)2a－b=3(D)a－2b=3

8、直線l 經過原點和點(－1, －1), 則它的傾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直線l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0與直線l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，則方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2）2 =0,(λ1≠0)表示（）+λ22

A.過l 1與l 2交點的一切直線 B.過l 1與l 2的交點，但不包括l 1可包括l 2的一切直線 C.過l 1與l 2的交點，但包括l 1不包括l 2的一切直線 D.過l 1與l 2的交點，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直線 10.方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直線()A.恒過定點(－2,3)B.恒過定點(2，3)C.恒過點(－2,3)和點(2，3)D.都是平行

11、過點(-1，)且與直線3x-y +1=0的夾角為 π 的直線方程是（）6 A、x-3y +4=0 B、x +1=0或x +3y-2=0 C、x+1=0或x-y +4=0 D、y =或x +3y-2=0

12、直線x cos α+3y +2=0的傾斜角的取值范圍是_________。

13、直線l 的方向向量為（-1，2），直線l 的傾斜角為

14、已知直線L 過P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），則直線L 的方程為。

15、已知點M(a , b)在直線3x +4y = 15上，則

16、△ABC 的三個頂點A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直線的方程;（2）BC 邊上中線AD 所在直線的方程;（3）BC 邊的垂直平分線DE 的方程.17、求到兩直線l 1： 3x +4y-5=0和 l 2：6x +8y-9=0距離相等的點P(x , y)滿足的方程

第四篇：直線方程的教學設計（xiexiebang推薦）

直線方程的教學設計

高俊玲

1． 教材分析

1． 1 教材的地位與作用

直線的方程是高二解析幾何的基礎知識，是培養(yǎng)學生幾何學習能力的好的開端。本章內容開始從代數(shù)的角度去研究平面的點線關系，是一個新的領域。對直線的方程的理解，直接影響學生能否培養(yǎng)起解析幾何的思想方法，影響著對后來學習圓錐曲線的理解。所以，直線部分的學習起到良好的過渡作用。

1． 2 教學的重點與難點

本節(jié)教學重點是直線的五種方程的形式。

教學難點按環(huán)節(jié)的推導過程。2．教學目標分析 2．1知識與技能

使學生會推導直線的方程。并掌握方程表示的基本量，以及各種表達形式的優(yōu)勢和局限性。2．2過程與方法

體驗方程的逐步推導過程，理解各形式之間的內在的實質的聯(lián)系。體驗數(shù)學研究與發(fā)展的規(guī)律。知其所以然。2．3情感態(tài)度與價值觀

鼓勵學生大膽推導，引領學生體會發(fā)現(xiàn)的過程。增加對本知識的認識，以期達到提高濃厚學習興趣，掌握知識的目的。3

學情分析

3．1學生學習本課內容的基礎

在學習了直線的傾斜角和斜率的基礎上，來推導方程的基本形式。3．2學生學習本課內容的能力

具有一定的畫圖能力，圖形思維與代數(shù)思維可以結合起來。具有一定的推導能力，具備一定的數(shù)學的嚴謹性。3．3學生學習本課內容的心理

直線的方程是高中幾何學的開端，學生容易接受且充滿好奇與興趣。方程推導環(huán)環(huán)相扣，具有一定的整體性，極易使學生在學習的過程中，增加求知欲和成就感，對培養(yǎng)數(shù)學思想有推動作用。3．4學法分析

學生剛剛學習完直線的傾斜角與斜率的概念，對此知識的深刻理解和嚴謹性的把握上還可能考慮不周全。用代數(shù)思想去研究幾何問題這一新的思想方法的體系還沒有完整的形成。但知識內部聯(lián)系性非常大，在學習過程中難點很容易突破，采用自學加點撥的方式，在合作中培養(yǎng)學生的探究意識和數(shù)學思維。4． 教學過程設計

4．1提出問題串，創(chuàng)設學習情景

問題1

根據(jù)動畫，如何可以把一條直線固定下來，需要幾個量？

問題2

根據(jù)上節(jié)課的斜率公式，可否把直線上具有代表意義的點（x，y）與已知點（x0，y0）用斜率表示出來？

問題3 從嚴格方面說，這個式子有幾點需要說明？

追問1（x，y）與已知點（x0，y0）首先可以重合嗎？

追問2 如果不能重合，我們所得到的式子，是否遺漏了這個定點？ 追問3 由上節(jié)課斜率的注意事項，你想到了什么？

追問4 用到的基本量是一點一斜率，通過預習，這個形式應該稱之為直線方程的何種形式？

問題4 如果直線過的定點特殊為（0，b），會得到什么化簡形式？

追問1 什么叫直線的縱截距？

追問2 直線的縱截距可以是負數(shù)和零嗎？

問題5 由問題1的另一答案，兩點也可以確定一條直線，那么如果已知一直線通過兩個定點分別為（x1，y1）（x2，y2），可以寫出直線方程嗎？根據(jù)是什么？

追問1 對這兩個點難道就沒有要求嗎？

追問2 這個寫出的方程如何找到記憶的規(guī)律？

追問3 這個方程的局限在哪里？

問題6 由問題5大家得到的結論，如果直線過的定點特殊為（a，0），（0，b）

（a≠0，b≠0）直線方程可以化簡為何形式？

追問1 這個叫直線方程的什么形式？

追問2 什么叫直線的橫截距？

追問3 這個方程從推導過程上有何局限？即不能表示什么直線？ 4．2 引導思考，自主探究

在問題6中，由于情況很多，有教師給予適當?shù)闹笇ВI學生進行思考，開展討論與研究?？梢跃唧w設計如下： S1：把兩點代入直線方程的兩點式：

y?y1x?x1 ?y2?y1x2?x1y?bx? ?baxy

S2： 可以化簡為：??1

ab

可得：

S3：這個形式叫直線方程的截距式。局限同兩點式相同：

不可以表示與x軸垂直和與y軸垂直的直線。

T1：可以表示過原點的直線嗎？

T2：過原點的直線是否有截距？是否有截距式方程？

展開討論后，對此結論更為注意。并對練習冊上相應的題目給予適當?shù)难a充練習以加強印象。4．3 反思結論，歸納總結

直線方程的點斜式：y?y0?k(x?x0)

局限：不能表示與x軸垂直的直線 直線方程的斜截式：y=kx+b 局限：不能表示與x軸垂直的直線 直線方程的兩點式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）?y2?y1x2?x1局限：不能表示與坐標軸垂直的直線

xy直線方程的截距式：??1

（a≠0，b≠0）

ab局限：不能表示與坐標軸垂直的直線，和過原點的直線 4．4題組練習(略)5．教學設計說明

高中數(shù)學新課程理念之一是倡導積極主動，勇于探索的學習方式，這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生學習過程成為教師引導下的再創(chuàng)造過程。高中數(shù)學課程應力求通過各種不同形式的自主學習，探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。建構主義學習理論認為，數(shù)學知識應以各種有待探索的問題形式與學生的經驗世界發(fā)生聯(lián)系和作用。本課的設計的基本理念正是在教師的指導下，創(chuàng)設數(shù)學學習情境，讓學生自主探究直線方程的不同形式及局限性，使他們能積極主動地參與到數(shù)學學習活動中來。

第五篇：1.2直線方程的教學設計

直線方程的教學設計

教學目標分析

知識與技能：使學生會推導直線的方程。并掌握方程表示的基本量，以及各種表達形式的優(yōu)勢和局限性。

過程與方法： 體驗方程的逐步推導過程，理解各形式之間的內在的實質的聯(lián)系。體驗數(shù)學研究與發(fā)展的規(guī)律。知其所以然。

情感態(tài)度與價值觀：勵學生大膽推導，引領學生體會發(fā)現(xiàn)的過程。增加對本知識的認識，以期達到提高濃厚學習興趣，掌握知識的目的。

教學的重點與難點

本節(jié)教學重點是直線的五種方程的形式。

教學難點按環(huán)節(jié)的推導過程。

教學過程設計

1提出問題串，創(chuàng)設學習情景

問題1

根據(jù)動畫，如何可以把一條直線固定下來，需要幾個量？

問題2

根據(jù)上節(jié)課的斜率公式，可否把直線上具有代表意義的點（x，y）與已知點（x0，y0）用斜率表示出來？

問題3 從嚴格方面說，這個式子有幾點需要說明？

追問1（x，y）與已知點（x0，y0）首先可以重合嗎？

追問2

如果不能重合，我們所得到的式子，是否遺漏了這個定點？ 追問3

由上節(jié)課斜率的注意事項，你想到了什么？

追問4 用到的基本量是一點一斜率，通過預習，這個形式應該稱之為直線方程的何種形式？

問題5 由問題1的另一答案，兩點也可以確定一條直線，那么如果已知一直線通過兩個定點分別為（x1，y1）（x2，y2），可以寫出直線方程嗎？根據(jù)是什么？

追問1 對這兩個點難道就沒有要求嗎？

追問2 這個寫出的方程如何找到記憶的規(guī)律？

追問3 這個方程的局限在哪里？ 引導思考，自主探究

由于情況很多，有教師給予適當?shù)闹笇?，引領學生進行思考，開展討論與研究?？梢跃唧w設計如下：

S1：把兩點代入直線方程的兩點式：

y?y1x?x1 ?y2?y1x2?x1y?bx? ?baxy

S2： 可以化簡為：??1

ab

可得：

S3：這個形式叫直線方程的截距式。局限同兩點式相同：

不可以表示與x軸垂直和與y軸垂直的直線。

T1：可以表示過原點的直線嗎？

T2：過原點的直線是否有截距？是否有截距式方程？

展開討論后，對此結論更為注意。并對練習冊上相應的題目給予適當?shù)难a充練習以加強印象。反思結論，歸納總結

直線方程的點斜式：y?y0?k(x?x0)

局限：不能表示與x軸垂直的直線 直線方程的斜截式：y=kx+b 局限：不能表示與x軸垂直的直線 直線方程的兩點式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）?y2?y1x2?x1局限：不能表示與坐標軸垂直的直線

xy直線方程的截距式：??1

（a≠0，b≠0）

ab局限：不能表示與坐標軸垂直的直線，和過原點的直線 題組練習(略)