第一篇：九年級教學案4.2一元二次方程的解法因式分解法

課題：4.2一元二次方程的解法（5）（因式分解法）

班級姓名學號

教學目標：

1．應用因式分解法解一些一元二次方程．

2．能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法．

復習：把下列各式因式分解

（1）2x?x（2）x?16y

（3）9a?24a?16（4）(x?2)?16

（5）x?3x?10（6）3x?10x?3

例題講評：

例1．用因式分解法解一元二次方程

（1）x??4x（2）x?3?x(x?3)?0

（3）(2x?1)?x?0（4）9y?12y?4?0

2(5)x?4x?12?0(6)7x?13x?6?0 22222222222

2能用因式分解法解的一元二次方程須滿足這樣的條件：例2.解下列一元二次方程

2（1）(x?1)?6(x?1)?9?0（2）2?x?3??9?x 22

(3)x?(a?1)x?a?0(a為常數(shù))(4)?2x?1??x?4??5 2

例3．小明解方程(x?2)?4(x?2)時，在方程的兩邊都除以（x+2），的x+2=4，解得

x=2，你認為對嗎？為什么？

用因式分解法解一元二次方程的步驟是

（1）通過移項，將方程右邊化為零；

（2）將方程左邊分解成兩個__________次因式之積；

（3）分別令每個因式等于零，得到兩個一元一次方程；

（4）分別解這兩個__________，求得方程的解．

課堂練習：

1.方程x（x+1）=3（x+1）的解的情況是（）

A．x =-1B．x =3C．x1??1,x2?3D．以上答案都不對

2.已知y?x?2x?3，當x時，y的值是-3．

3．解下列一元二次方程

（1）(2y?1)(y?3)?0（2）x?3x?0

（3）x?7x?12?0（4）4x(2x?1)?3(2x?1)

（5）2x?20x?50?0（6）9t?(t?1)?0

（7）?2x?3??3?2x?3??4?0(8)4y(y?5)?25?0

(9)?2y?1??3?2y?1??2?0（10）x?2ax?a?b?0(a、b為常數(shù))222222222222

課后練習：姓名：

1．方程x2 = x的根是2．（1）已知最簡二次根式x2?6與5x是同類二次根式，則x=（2）已知最簡二次根式x2?3x與?x是同類二次根式，則x=3．方程（x－1）（x－2）=0的兩根為x1，x2且x1＞x2，則x1－2x2

4．已知實數(shù)x滿足4x2－4x+1=0，則代數(shù)式2x+1的值為2x

5．要使分式x2?5x?4的值為0，則x應該等于x?4

6．方程2x(5x－3)+2(3－5x)=0的解是x1=_________，x2=_________

7．當x=時，代數(shù)式x2?6x?5的值與x?1的值相等

8．下列說法正確的是（A．解方程t2 = t，得t =1B．由（x+1）（x－3）=3，可得x+1=3或x－3=3

C．方程(2x?1)2?3(2x?1)?0，兩邊都除以2x+1，解得x1=x2=－2

D．方程x2?6x?9?0的根是x1=x2=3

9．用因式分解法解方程，下列方法中正確的是（A．(2x－2)(3x－4)=0∴2－2x=0或3x－4=0

B．(x+3)(x－1)=1∴x+3=0或x－1=1

C．(x－2)(x－3)=2×3∴x－2=2或x－3=3

D．x(x+2)=0∴x+2=0

10．方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是（A．x1=b, x2=aB．x1=b, x2=1

a

C．x1

1=a, x2=bD．x1=a2, x2=b2

11．用因式分解法解下列方程

（1）x2?2x?0（2）(y?1)2?2y(y?1)?0

（3）49x2?121?0（4）9x2?12x?4?(3?2x)2）））

2（5）x?25x?5?0（6）(x?2)?4(x?2)?3?0 2

（7）x?x?12?0(8)3x(x?2)?x?2

（9）(x?1)?4?0(10)(x?2)?2(x?2)?1?0

2（11）10x?x?24?0（12）3x?x?23?0 2222

12．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

（1）（x+3）（x－1）= 5（2）16x?(2x?1)?0 22

2（3）(2x?1)?3(2x?1)（4）x?4x?1?0 2

13．已知?a?b22?2?a?2?b2??6?0，求a2?b的值．

14.已知關(guān)于x的一元二次方程kx?3x?2k(k?1)?(k?1)?0的一個根為0，求k的值． 2

第二篇：九年級數(shù)學《4.2一元二次方程的解法》導學案（最終版）

班級姓名學號

學習目標

1、會用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，進一步體會配方法是一種重要的數(shù)學方法

2.、經(jīng)歷探究將一般一元二次方程化成（x?m)2?n(n?0)形式的過程，進一步理解配方法的意義

3、在用配方法解方程的過程中，體會轉(zhuǎn)化的思想

學習重點：使學生掌握用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程

學習難點：把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的（x＋h）= k（k≥0）形式

教學過程

一、情境引入：

1.什么是配方法？什么是平方根？什么是完全平方式？

我們通過配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法用配方法解一元二次方程的方法的助手:

如果x=a,那么x=?

2222a.x就是a的平方根222式子a±2ab+b叫完全平方式,且a±2ab+b =(a±b)

2、用配方法解下列方程：

(1)x-6x-16=0；(2)x+3x-2=0；

3、請你思考方程x-

二、探究學習：

1．嘗試：

問題1：如何用配方法解方程2x-5x+2=0呢？

2222 52x+1=0與方程2x-5x+2=0有什么關(guān)系？

2解：兩邊都除以2，得____________________________系數(shù)化為

1移項，得__________________移項

配方，得_______________________________________配方

開方，得_____________開方

∴x1=______，x2=______定根

引導學生交流思考與探索（對于二次項系數(shù)不為1的一元二次議程，我們可以

先將兩邊都除以二次項系數(shù)，再利用配方法求解）

問題2:如何解方程-3x+4x+1=0?

分析：對于二次項系數(shù)是負數(shù)的一元二次方程，用配方法解時，為了便于配方，可把二

次項系數(shù)化為1，再求解

解：

2．概括總結(jié)．

對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，用配方法求解時要做什么？

首先要把二次項系數(shù)化為1,用配方法解一元二次方程的一般步驟為：系數(shù)化為一，移項，配方，開方，求解，定根

3概念鞏固

用配方法解下列方程，配方錯誤的是（）

A.x+2x-99=0化為(x+1)=100B.t-7t-4=0化為(t-27265)= 2

42210222C.x+8x+9=0化為(x+4)=25D.3x-4x-2=0化為(x-)= 39222

4.典型例題：

解下列方程

（1）4x-12x-1=0(2)2x-4x+5=0(3)3-7x=-2x

222

說明：對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程化為（x+h）=k的形式后，如果k是非負數(shù)，即k≥0，那么就可以用直接開平方法求出方程的解；如果k＜0，那么方程就沒有實數(shù)解。

5.探究：

一個小球豎直上拋的過程中，它離上拋點的距離h（m）與拋出后小球運動的時間t（s）2有如下關(guān)系：

h=24t-5t2

經(jīng)過多少時間后，小球在上拋點的距離是16m

6.鞏固練習：

練習1解下列方程

（1）2x2-8x+1=0(2)122

2x+2x-1=0(3)2x+3x=0

(4)3x2-1=6x(5)-2x2+19x=20(6)-2x2-x-1=0

配方法拓展運用

練習2用配方法求2x2-7x+2的最小值

練習3用配方法證明-10x2+7x-4的值恒小于0

三、歸納總結(jié)：

運用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的方法和步驟是什么？（自己寫出）

4.2一元二次方程的解法（3）

【課后作業(yè)】班級姓名學號

1、填空：

(1)x-21222x+=(x-),(2)2x-3x+=2(x-).322、用配方法解一元二次方程2x-5x-8=0的步驟中第一步是。

3用配方法將方程2x2?x?1變形為(x?h)2?k的形式是__________________.4、用配方法解方程2x-4x+3=0，配方正確的是（）

A.2x-4x+4=3+4B.2x-4x+4=-3+

4C.x-2x+1=2222332+1D.x-2x+1=-+1 225、用配方法解下列方程：

2（1）2t?7t?4?0；（2）3x?1?6x（3)0.1x?0.2x?1?0（4）6x-4x+1=0 22

26．不論x取何值，x?x2?1的值（）

A．大于等于?333B．小于等于?C．有最小值?D．恒大于零 44

427.用配方法說明：無論x取何值，代數(shù)式2x-x-3的值恒小于08、一小球以15 m／s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-5t．小球何時能達到10 m高?

9.用配方法分解因式x?4

第三篇：4.2一元二次方程的解法教學案+課堂作業(yè)(南沙初中九年級上)

南沙初中初三數(shù)學教學案

教學內(nèi)容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

課 型：新授課 學生姓名：______ 學習目標：

1、掌握用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

2、掌握配方法的推導過程，熟練地用配方法解一元二次方程；

3、在配方法的應用過程中體會 “轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能。

教學重點：掌握配方法，解一元二次方程 教學難點：把一元二次方程轉(zhuǎn)化為?x?h??k

2教學過程：

一、復習提問

1、解下列方程，并說明解法的依據(jù)：

2（1）3?2x?1（2）?x?1??6?0（3）?x?2??1?0

這三個方程都可以轉(zhuǎn)化為以下兩個類型：、。

2、請寫出完全平方公式。

（1）__________________________（2）__________________________

二、探索

2如何解方程x?6x?4?0？ 點撥：如果能化成?x?h??k的形式就可以求解了

2解： 步驟：（1）移項（2）配方（方法：方程兩邊同時加上_________________）．．

（3）將方程寫成?x?h??k的形式（4）用直接開平方法解方程

小結(jié)：由此可見，只要把一個一元二次方程變形為?x?h??k的形式（其中h、k都是常數(shù)）如果k______0，可通過直接開平方法求方程的解；如果k______0，則原方程無解。

這種解一元二次方程的方法叫配方法。．．．

三、例題

例

1、解下列方程：

（1）x?4x?3?0（2）x?3x?1（3）x?

內(nèi)容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

22211x??0 63口答：

（1）x?2x?_____?(x?___)（2）x?8x?_____?(x?___)（3）x?5x?_____?(x?___)（4）x2?板演練習：

（1）x?2x?3?0（2）x?10x?20?0（3）x?x?1（4）x?22x?4?0

例

2、（1）利用配方法證明：無論x為何值，二次三項式?x?2x?2恒為負；

（2）根據(jù)（1）中配方結(jié)果，二次三項式?x?2x?2有最大值還是最小值？最值是多少？

練習：求代數(shù)式x?6x?10的最值。

四、拓展提高：

用配方法解方程：(x?1)?10(x?1)?9?0

四、小結(jié)收獲

利用配方法可以解決三類問題：（1）_______________________（2）________________________（3）_________________________

五、課堂作業(yè)：（見作業(yè)紙14）22222223x?_____?(x?___)2 22222222內(nèi)容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

南沙初中初三數(shù)學課堂作業(yè)（14）

（命題，校對：王

猛）

班級__________姓名___________學號_________得分____________

1、填空：

（1）x?10x?_____?(x?___)

（2）x?5x?_____?(x?___)；

（3）x2?22223x?_____?(x?___)2 ；（4）x2?bx?_____?(x?___)2。

22、若x2?ax?4是完全平方式，則a?_____。

3、把方程x2?3mx?8的左邊配成一個完全平方式，則方程的兩邊需同時加上的式子是_____。

4、代數(shù)式?x2?2x?4有最________值，最值是________。

5、已知直角三角形一邊長為8，另一邊長是方程x?8x?20?0的根，則第三邊的長為______。

6、用配方法解下列方程：

（1）x?2x?2?0

（2）x?6x?16?0

（3）x?4x?（4）x?5x?5?07、已知直角三角形的三邊a、b、c，且兩直角邊a、b滿足等式22222(a2?b2)2?2(a2?b2)?15?0，求斜邊c的值。

8、把方程x?3x?p?0配方，得到?x?m??221。2（1）求常數(shù)p與m的值；（2）求此方程的解。

內(nèi)容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

第四篇：一元二次方程解法——因式分解、配方法

一元二次方程解法——因式分解、配方法

知識點回顧：

定義：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

解法一 ——直接開方法

適用范圍：可解部分一元二次方程

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解為x=m±√n

歸納小結(jié)：

共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．?我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．由應用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

轉(zhuǎn)化為應用直接開平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，達到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無解

自主練習：1：用直接開平方法解下列方程：

（1）x2?225；（2）(x?1)2

?9；

（3）(6x?1)2

?25?0．（4）4(x?2)2

?81?0

（5）5(2y?1)2

?180；（61(3x?1)2?64；（7）6(x?2)2

4?1；

2.關(guān)于x的方程x2?9a2?12ab?4b2

?0的根x1?，x2?．

3.關(guān)于x的方程x2

?2ax?b2

?a2

?0的解為解法二——分解因式法

適用范圍：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內(nèi)容在八年級上學期學完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面兩個方程中都沒有常數(shù)項；左邊都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面兩個方程都可以寫成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移項提取公因式x；（2）等號右側(cè)移項到左側(cè)得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達到分解因式；一邊為兩個一次

式的乘積，?另一邊為0的形式解：（1）移項，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移項，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代數(shù)式aba2?b2

b?a?ab的值．

分析：要求aba2b??b2

a?ab的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條

件入手，求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比

較容易發(fā)生錯誤．

解：原式=

a2?b2?a2?b2ab??2b

a

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b當a=-23b時，原式=-2b

=3，當a=2b時，原式?23=-3．

3b

例3．（十字相乘法）我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面這種方法，我們把它稱為十字相乘法． 一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

適用范圍：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移項→x2+6x=16

兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方拓展題．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復雜，如果把（6x+7）

看為一個數(shù)y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就轉(zhuǎn)化為y?的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱為換元法． 6

1111y+，x+1=y-解：設(shè)6x+7=y則3x+4=

法．

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解．

配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；（2）化二次項系數(shù)為1；（3）常數(shù)項移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實根．

用配方法解一元二次方程小口訣

二次系數(shù)化為一；常數(shù)要往右邊移；一次系數(shù)一半方；兩邊加上最相當 例1．用配方法解下列關(guān)于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來 完成，即配一個含有x的完全平方．

2266

依題意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

當y=3時，6x+7=36x=-4x=-

當y=-3時，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根為x2

51=-3，x2=-3

例5.求證:無論y取何值時,代數(shù)式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老師）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正確的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x兩邊同除以x，得x=

12．下列命題①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1與方程x2=1是同解方程；③方程x2=x與方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（）．

A．0個B．1個C．2個D．3個

3．如果不為零的n是關(guān)于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解結(jié)果為_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三項式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0應把它先變形為（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有實數(shù)解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．將二次三項式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左邊化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正確的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個關(guān)于x的完全平方式，則m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2

?

x?1?0左邊配成一個完全平方式，所得的方程是． 9．代數(shù)式x2?x?2

x2?1的值為0，則x的值為________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開______，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______．

11．無論x、y取任何實數(shù)，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數(shù)． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

?x?1?0（4）3x2

?6x?1?0

（5）(x?1)2?2(x?1)?

14．如果x-4x+y2

（6）2x2?5x?4?0 ?0

（4）?x?2??3?x?2?（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x2?7x?2?0（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

z

15.用配方法證明：

（1）a2

?a?1的值恒為正；（2）?9x2

?8x?2的值恒小于0．

（3）多項式2x4

?4x2

?1的值總大于x4

?2x2

?4的值．

16.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

（12）(x+5)(x-5)=3（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0

第五篇：12.2 用因式分解法解一元二次方程教學案(二)

12．2 用因式分解法解一元二次方程教學案

（二）一、素質(zhì)教育目標

（一）知識教學點：能靈活運用直接開平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能夠根據(jù)一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點，靈活擇其簡單的方法．

（二）能力訓練點：通過比較、分析、綜合，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力．

（三）德育滲透點：通過知識之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學生用聯(lián)系和發(fā)展的眼光分析問題，解決問題，樹立轉(zhuǎn)化的思想方法．

二、教學重點、難點和疑點

1．教學重點：熟練掌握用公式法解一元二次方程． 2．教學難點：用配方法解一元二次方程．

3．教學疑點：對“選擇恰當?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭敝小扒‘敗倍值睦斫猓?/p>

三、教學步驟

（一）明確目標

解一元二次方程有四種方法，四種方法各有千秋，究竟選擇什么方法最適當是本節(jié)課的目標．在熟練掌握各種方法的前提下，以針對一元二次方程的特點選擇恰當?shù)姆椒ɑ蛘哒f是用簡單的方法解一元二次方程是本節(jié)課的目的．

（二）整體感知 一元二次方程是通過直接開平方法及因式分解法將方程進行轉(zhuǎn)化，達到降次的目的．這種轉(zhuǎn)化的思想方法是將高次方程低次化經(jīng)常采取的．是解高次方程中的重要的思想方法．

在一元二次方程的解法中，平方根的概念為直接開平方法的引入奠定了基礎(chǔ)，符合形如（ax＋b）2＝c（a，b，c常數(shù)，a≠0，c≥0）結(jié)構(gòu)特點的方程均適合用直接開平方法．直接開平方法為配方法奠定了基礎(chǔ)，利用配方法可推導出一元二次方程的求根公式．配方法和公式法都是解一元二次方程的通法．后者較前者簡單．但沒有配方法就沒有公式法．公式法是解一元二次方程最常用的方法．因式分解的方法是獨立的一種方法．它和前三種方法沒有任何聯(lián)系，但蘊含的基本思想和直接開平方法一樣，即由高次向低次轉(zhuǎn)化的一種基本思想方法．方程的左邊易分解，而右邊為零的題目，均用因式分解法較簡單．

（三）重點、難點的學習與目標完成過程 1．復習提問

（1）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項．

（1）3x2＝x＋4；

（2）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2；（3）（x＋3）（x-4）＝-6；（4）（x＋1）2-2（x-1）＝6x-5．

此組練習盡量讓學生眼看、心算、口答，使學生練習眼、心、口的配合．（2）解一元二次方程都學過哪些方法？說明這幾種方法的聯(lián)系及其特點．

直接開平方法：適合于解形如（ax＋b）2＝c（a、b、c為常數(shù)，a≠0 c≥0）的方程，是配方法的基礎(chǔ)．

配方法：是解一元二次方程的通法，是公式法的基礎(chǔ)，沒有配方法就沒有公式法．

公式法：是解一元二次方程的通法，較配方法簡單，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法：是最簡單的解一元二次方程的方法，但只適用于左邊易分解而右邊是零的一元二次方程．

直接開平方法與因式分解法都蘊含著由高次向低次轉(zhuǎn)化的思想方法．

2．練習1．用直接開平方法解方程．

（1）（x-5）2＝36；（2）（x-a）2＝（a＋b）2；

此組練習，學生板演、筆答、評價．切忌不要犯如下錯誤 ①不是x-a=a+b而是x-a=±（a+b）；

練習2．用配方法解方程．

（1）x2-10x-11=0；（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）配方法是解決代數(shù)問題的一大方法，用此法解方程盡管有點麻煩，但由此法推導出的求根公式，則是解一元二次方程最通用也是最常用的方法．

此練習的第2題注意以下兩點：（1）求解過程的嚴密性和嚴謹性．

（2）需分b2-4ac≥0及b2-4ac＜0的兩種情況的討論． 此2題學生板演、練習、評價，教師引導，滲透． 練習3．用公式法解一元二次方程

練習4．用因式分解法解一元二次方程（1）x2-3x＋2＝0；（2）3x（x-1）＋2x＝2；

解（2）原方程可變形為3x（x-1）+2（x-1）=0，∵

（x-1）（3x＋2）＝0，∴ x-1=0或3x+2=0．

如果將括號展開，重新整理，再用因式分解法則比較麻煩． 練習5．x取什么數(shù)時，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等． 解：由題意得3x2＋6x-8＝2x2-1． 變形為x2＋6x-7=0． ∴

（x＋7）（x-1）＝0． ∴ x＋7＝0或x-1＝0． 即 x1＝-7，x2＝1． ∴

當x＝-7，x＝1時，3x2＋6x-8的值和2x2-1的值相等． 學生筆答、板演、評價，教師引導，強調(diào)書寫步驟． 練習6．選擇恰當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

（1）選擇直接開平方法比較簡單，但也可以選用因式分解法．（2）選擇因式分解法較簡單． 學生筆答、板演、老師滲透，點撥．

（四）總結(jié)、擴展

（1）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法對解某些一元二次方程是最簡單的方法．在解一元二次方程時，應據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當?shù)姆椒ㄈソ猓?/p>

（2）直接開平方法與因式分解法中都蘊含著由二次方程向一次方程轉(zhuǎn)化的思想方法．由高次方程向低次方程的轉(zhuǎn)化是解高次方程的思想方法．

四、布置作業(yè)

1．教材P．21中B1、2． 2．解關(guān)于x的方程．（1）x2-2ax＋a2-b2＝0，（2）x2＋2（p-q）x-4pq＝0．

4．（1）解方程 ①（3x＋2）2＝3（x＋2）；

（2）方程（m2-3m＋2）x2＋（m-2）x＋7＝0，m為何值時①是一元二次方程；②是一元一次方程．

五、板書設(shè)計

12．2 用因式分解法解一元二次方程

（二）四種方法

練習1??

練習2??

1．直接開平方法 2．配方法 3．公式法 4．因式分解法

六、作業(yè)參考答案

??

??

1．教材P．2B．1（1）x1=0，x2=；（2）x1＝，x2=；

2：1秒

2．（1）解：原方程可變形為[x-（a＋b）][x-（a-b）]＝0． ∴ x-（a＋b）＝0或x-（a-b）＝0． 即 x1=a＋b，x2=a-b．

（2）解：原方程可變形為（x+2p）（x-2q）＝0． ∴ x＋2p=0或x-2q=0． 即 x1＝-2p，x2=2q．

原方程可化為5x2+54x-107=0．

（2）解①∵ m2-3m＋2≠0．． ∴ m1≠1，m2≠2．

∴

當m1≠1且m2≠2時，此方程是一元二次方程．

解得：m＝1．

∴

當m＝1時此方程是一元二次方程．