第一篇:解一元一次方程(去括號(hào))導(dǎo)學(xué)案
3.3解一元一次方程(去括號(hào))預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案
教學(xué)目標(biāo):
1、掌握去括號(hào)解方程的方法。
2、會(huì)用一元一次方程解決一些實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程:
一、自主學(xué)習(xí):
任務(wù)一:
1、方程?2(x?1)?3可變形為?2x?2?3這種變形叫形你以前有什么經(jīng)驗(yàn)?
2、對(duì)于方程3(2x?1)?3(x?2)?5去括號(hào)正確的是()
A、6x?1?3x?2?5B、6x?3?3x?6?5
C、6x?3?3x?6?5D、6x?1?3x?6?5
任務(wù)二:不解方程,但請(qǐng)你將方程中的括號(hào)去掉:
(1)3x?(2x?1)?1(2)2x?4(x?1)?2
(3)2x?7(x?1)??9x?5(4)(6x?3)?
二、嘗試應(yīng)用:
任務(wù)三:解方程:2(x?3)?3(x?5)?4??x?6?
任務(wù)四:小明買了8角和2元的郵票共16枚,共花掉了18元8角,若他買了8角的郵票x枚,則可列方程為()A、80x?2?16?x??188B、80x?2?16?x??18.8
C、0.8x?2(16?x)?18.8D、8x?2(16?x)?188
三、補(bǔ)償提高:
任務(wù)五:關(guān)于x的方程?3?a?x??a?2?x?a?的解為-1,則a的值為()
A、6B、131?8x?4??5 211C、-6D、? 66
任務(wù)六:一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行,用了2h,從乙碼頭到甲碼頭逆流而行用了3h,已知水流的速度是4km/h,求船在靜水中的平均速度
四、這節(jié)課你有哪些收獲?
第二篇:解一元一次方程(去括號(hào))導(dǎo)學(xué)案
解一元一次方程導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、能說(shuō)出解一元一次方程的一般步驟:移項(xiàng)、去括號(hào),并能靈活運(yùn)用。
2、善于用解方程的方法去解決實(shí)際問(wèn)題。
4、體會(huì)解一元一次方程中的轉(zhuǎn)化思想。
【課前預(yù)習(xí)】
1、解方程 :
(1)2x?6?x(2)0.5x?1?0.22、去掉下列式子中的括號(hào)
(1)+(2x+1)=;(2)-(x-5)=;
(3)3(2x+1)=;(4)-3(x-5)=.
?
3、下面的移項(xiàng)對(duì)不對(duì)?如果不對(duì),應(yīng)該如何改正。
?(1)從7+x=13得到x=13+7
?(2)從5x=4x+8得到5x-4x+8
?(3)從3x=2x+5得到3x-2x=-5
?(4)從3=x得到-x=-34、方程(2x+1)-3(x-5)=0,去括號(hào)正確的是()
A.2x+1- x+5=0B. 2x+1-3x+5=0
C.2x+1-3x-15=0D. 2x+1-3x+15=0
【課堂重點(diǎn)】
問(wèn)題小芳付給售貨員20元買了1聽(tīng)果奶和4聽(tīng)可樂(lè),找回了3元,已知一聽(tīng)可樂(lè)比一
聽(tīng)果奶貴05元,問(wèn)一聽(tīng)果奶多少錢?
解:設(shè)一聽(tīng)果奶X元,則一聽(tīng)可樂(lè)-----------元;則四聽(tīng)可樂(lè)共用————元,則一聽(tīng)果奶
和四聽(tīng)可樂(lè)共用————元。根據(jù)題意列出方程:
4(X+0.5)+X=20-
3你會(huì)解這道方程嗎?
例1 解方程4(X+0.5)+X=20-3
課堂練習(xí)課本第129頁(yè)隨堂練習(xí)(3)、(4)
說(shuō)一說(shuō)解含有括號(hào)的一元一次方程的步驟是什么?
(1)去括號(hào)(2)移項(xiàng)(3)合并同類項(xiàng)(4)系數(shù)化成1 例2解方程:-3(x+1)=9
解法一,解法二
(暢所欲言,說(shuō)出如何變形為x=a的形式)
課堂練習(xí)課本第129頁(yè)隨堂練習(xí)(5)、(6)
【知識(shí)延伸】
1、當(dāng)x取何值時(shí),代數(shù)式3(2-x)和-2(3+2x)的值相等?
2、當(dāng)y取何值時(shí),2(3y+4)的值比5(2y-7)的值大3?
3、已知2x+1與-12x+5的值是相反數(shù),求x的值。
【課堂小結(jié)】
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?
【堂堂清】
1、解下列方程
(1)2(x-2)=3(4x-1)+9(2)3x-[5-6(2-x)]=82、當(dāng)x取何值時(shí),代數(shù)式3(2-x)和-2(3+2x)的值相等?
第三篇:解一元一次方程去括號(hào)教案
解一元一次方程
-----去括號(hào)
一、【教學(xué)目標(biāo)】
【知識(shí)目標(biāo) 】掌握去括號(hào)解一元一次方程的方法,能熟練求解一 元一次方程(數(shù)字系數(shù)),能判別解的合理性。
【能力目標(biāo)】(1)通過(guò)學(xué)生觀察、獨(dú)立思考等過(guò)程、培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括的能力;(2)進(jìn)一步讓學(xué)生感受到并嘗試尋找不同的解決問(wèn)題的方法。
【情感目標(biāo)】 1)激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生有獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神,養(yǎng)成按客觀規(guī)律辦事的良好習(xí)慣。(2)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。(3)通過(guò)學(xué)生間的相互交流、溝通,培養(yǎng)他們的協(xié)作意識(shí)。
【教學(xué)重點(diǎn)】(1)弄清列方程解應(yīng)用題的思想方法;2)用去括號(hào)法解一元一次方程。
【教學(xué)難點(diǎn)】(1)括號(hào)前面是“-”號(hào),去括號(hào)時(shí),應(yīng)如何處理;括號(hào)前是“-”號(hào)的,去括號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要改變符號(hào),乘數(shù)與括號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式相乘,乘數(shù)應(yīng)乘遍括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)。(2)在小學(xué)根深蒂固用算術(shù)方法解應(yīng)用題的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生逐步 樹(shù)立列方程解應(yīng)用題的思想。
二、【教學(xué)過(guò)程】
【復(fù)習(xí)提問(wèn)】回顧舊知,承前啟后
1、解一元一次方程時(shí),最終結(jié)果一般是化為哪種形式? 最終化為x?a的形式
2、一元一次方程的解法我們學(xué)了哪幾步? 移項(xiàng)?合并同類項(xiàng)?系數(shù)化為1
3、移項(xiàng),合并同類項(xiàng),系數(shù)為化 1,要注意什么?
4、練習(xí):讓學(xué)生做一道簡(jiǎn)單的解方程:5(x?2)?8
三、【新課講解】
1、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境:
問(wèn)題 某加工廠加強(qiáng)節(jié)能措施,去年下半年與上半年相比,月平均用電量減少2000度,全年用電150萬(wàn)度,這個(gè)工廠去年上半年每月平均用電多少度? 分析:?jiǎn)栴}中的等量關(guān)系是什么?
上半年用電度數(shù)+下半年用電度數(shù)=1500000。
設(shè)去年上半年平均用電x度,那么下半年每月平均用電多少度?上半年共用電多少度?下半年共用電多少度?
下半年每月平均用電(x-2000)度;上半年共用電6 x度;下半年共用電6(x-2000)度。由此可得方程: x+6(x-2000)=1500000 這個(gè)方程中含有括號(hào),怎樣才能轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式呢? 設(shè)置疑難,回憶去括號(hào)法則:
⑴括號(hào)前是“+”號(hào),把括號(hào)和它前 面的“+”號(hào)去掉,括號(hào)里各項(xiàng)都不變符號(hào)。⑵括號(hào)前是“-”號(hào),把括 號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉,括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。
(2)總結(jié)去括號(hào)法解方程的基本思路:去括號(hào)? 移項(xiàng)?合并同 內(nèi)項(xiàng)? 系數(shù)化為一,以及每一步都需要注意的問(wèn)題和方法。6x+ 6(x-2000)=150000 ?去括號(hào) 6x+6x-12000=150000
?移項(xiàng) 6x+6x=150000+12000 ?合并同類項(xiàng) 12x=162000 ?系數(shù)化為1 x=13500 所以這個(gè)工廠去年上半年每月平均用電13500度。思考:你還有其它的解法嗎? 設(shè)去年下半年平均用電x度,則 6x+6(x+2000)=1500000 解之,得x=11500 所以去年上半年每月平均用電11500+2000=13500度。
2、例題示范
例1.解方程: 3x?7(x?1)?3?2(x?3)解:去括號(hào),得 3x?7x?7?3?2x?6 移項(xiàng),得 3x?7x?2x?3?6?7 合并同類項(xiàng),得 ?2x??10 化系數(shù)為1,得 x?5
四、【鞏固練習(xí)】
(1)解方程:(1)4-x=3(2-x)(2)5(x+1)=3(3x+1)(3)2(x-2)=3(4x-1)+9(2)拓展探究(1)當(dāng) x 取何值時(shí),代數(shù)式 3(2-x)和 2(3+x)的值相等?(2)當(dāng) y 取何值時(shí),2(3y+4)的值比 5(2y-7)的值大 3?
五、【課堂小結(jié)】
1、含有括號(hào)的一元一次方程的解法。
當(dāng)括號(hào)外面是負(fù)號(hào),去掉括號(hào)后,要注意變號(hào)。
2、解一元一次方程的步驟:
①去括號(hào);②移項(xiàng);③合并同類項(xiàng);④系數(shù)化為1。
3、例題解法一是求什么設(shè)什么,叫直接設(shè)元法,方程的解就是問(wèn)題的答案;解法二不是求什么設(shè)什么,叫間接設(shè)元法,方程的解并不是問(wèn)題的答案,需要根據(jù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系求出最后的答案。
六、【布置作業(yè)】
課本102面1、2、4、5。
七、【板書設(shè)計(jì)】
課題解一元一次方程—去括號(hào) 問(wèn)題(求解問(wèn)題及去括號(hào)的方去括號(hào)法則及乘法分配新課引入 法)律 例1
八、【教學(xué)反思】
新課導(dǎo)入我采納通過(guò)應(yīng)用題,設(shè)立情景,引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí),運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。并讓學(xué)生在這一環(huán)節(jié)中體會(huì)到列方程解應(yīng)用題更為了簡(jiǎn)捷明了,與此同時(shí),也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,數(shù)學(xué)與生活是息息相關(guān)、密不可分的。在設(shè)未知數(shù)得到方程之后,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)疑難,尋找方法,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生如何去括號(hào),從而回憶第三章學(xué)到的去括號(hào)法則,然后講解法,再共同做練習(xí)解方程。在以上的這幾個(gè)環(huán)節(jié)中,我注重培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神和學(xué)生間的相互交流、溝通,協(xié)作的意識(shí),從課堂效果看,學(xué)生基本掌握,但個(gè)別學(xué)生還不是很熟練,在今后的教學(xué)過(guò)程中,要特別關(guān)注。
第四篇:解一元一次方程去括號(hào)教案
課題: 解一元一次方程——去括號(hào) _ 學(xué)校: 新村中學(xué) _________ 姓名: 李愛(ài)庭 ____________
§3.3 解一元一次方程
-----去括號(hào)
一、【教學(xué)目標(biāo)】
【知識(shí)目標(biāo) 】掌握去括號(hào)解一元一次方程的方法,能熟練求解一 元一次方程(數(shù)字系數(shù)),能判別解的合理性。
【能力目標(biāo)】(1)通過(guò)學(xué)生觀察、獨(dú)立思考等過(guò)程、培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括的能力;(2)進(jìn)一步讓學(xué)生感受到并嘗試尋找不同的解決問(wèn)題的方法。
【情感目標(biāo)】 1)激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生有獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神,養(yǎng)成按客觀規(guī)律辦事的良好習(xí)慣。(2)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。(3)通過(guò)學(xué)生間的相互交流、溝通,培養(yǎng)他們的協(xié)作意識(shí)。
【教學(xué)重點(diǎn)】(1)弄清列方程解應(yīng)用題的思想方法;2)用去括號(hào)法解一元一次方程。
【教學(xué)難點(diǎn)】(1)括號(hào)前面是“-”號(hào),去括號(hào)時(shí),應(yīng)如何處理(括號(hào)前是“-”號(hào)的,去括號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要改變符號(hào),乘數(shù)與括號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式相乘,乘數(shù)應(yīng)乘遍括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng))。(2)在小學(xué)根深蒂固用算術(shù)方法解應(yīng)用題的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生逐步樹(shù)立列方程解應(yīng)用題的思想。
二、【教學(xué)過(guò)程】
1、創(chuàng)設(shè)情境,引入新知
(隨著地球資源的逐步匱乏,資源的節(jié)約成為人們?cè)絹?lái)越關(guān)注的一個(gè)話題,特別是與我們?nèi)粘I钕⑾⑾嚓P(guān)的水電節(jié)約問(wèn)題,倍受人們的關(guān)注。下面我們就一起來(lái)看一個(gè)節(jié)約用電的問(wèn)題:)
問(wèn)題 某工廠加強(qiáng)節(jié)能措施,去年下半年與上半年相比,月平均用電量減少1000度,全年用電9萬(wàn)度,這個(gè)工廠去年上半年每月平均用電多少度?
等量關(guān)系:設(shè)上半年每月平均用電x度
分析:1.題目中涉及了哪些量?
2.題目中的相等關(guān)系是什么?
上半年用電量+下半年用電量=全年用電量
6x
6(x-1000)
90000
列方程為:6x+ 6(x-1000)=90000 這個(gè)方程中含有括號(hào),該如何解?怎樣才能轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式呢?(引入課題:解一元一次方程——去括號(hào))
2、合作交流,學(xué)習(xí)新知:
(設(shè)置疑難,回憶乘法分配律和去括號(hào)法則:)乘法分配律:
一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘,等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘,再把積相加.用字母表示為:a(b+c)=ab+ac 去括號(hào)法則:
系數(shù)化為1 3.例題示范,應(yīng)用新知
例1.解方程:3x-7(x-1)=3-2(x+3)解:去括號(hào),得
3x-7x+7=3-2x-6 移項(xiàng),得
3x-7x+2x=3-6-7 合并同類項(xiàng),得
-2x=-10 系數(shù)化為1,得
x=5
4.挑戰(zhàn)自我,理解新知
(讓學(xué)生通過(guò)糾錯(cuò),發(fā)現(xiàn)在去括號(hào)時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題)某次練習(xí)后,小方和小華兩名同學(xué)對(duì)答案,其中有一道題兩人答案各不相同,每個(gè)人都認(rèn)為自己做得對(duì),你能幫他們看看到底誰(shuí)做得對(duì)嗎?做錯(cuò)的同學(xué)又是錯(cuò)在哪兒呢?
小方的做法如下:(10x+2)-2(x+20)=18
10x+2-2x-20=1810x-2x=18+20-28x=36x=4.510x+2-2x+40=1810x-2x=18-40-28x=-24-4
第五篇:解一元一次方程——去括號(hào)教案
《3.3解一元一次方程——去括號(hào)》教學(xué)案例
(一)教學(xué)目標(biāo):
(1)會(huì)應(yīng)用去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的方法解一元一次方程.(2)經(jīng)歷探索用去括號(hào)的方法解方程的過(guò)程,進(jìn)一步熟悉方程的變形,弄清楚每步變形的依據(jù)。
(二)教學(xué)重難點(diǎn):
重點(diǎn):1.弄清列方程解應(yīng)用題的思想方法;
2.用去括號(hào)解一元一次方程。
難點(diǎn):括號(hào)前面是“-”號(hào),去括號(hào)時(shí),應(yīng)如何處理:括號(hào)前面是“-”號(hào)的,去括號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要改變符號(hào)。
(三)教學(xué)過(guò)程:
一.復(fù)習(xí):
1、一元一次方程的解法我們學(xué)了哪幾步?
移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為12、移項(xiàng),合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1,要注意什么?
①移項(xiàng)要變號(hào)。
②合并同類項(xiàng)時(shí),只是把同類項(xiàng)的系數(shù)相加作為所得項(xiàng)的系數(shù),字母部分不變。③系數(shù)化為1,要方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)前面的系數(shù)。
3、練習(xí):解方程 6x-5=4x+1
二.講授新課:
問(wèn)題某工廠加強(qiáng)節(jié)能措施,去年下半年與上半年相比,月平均用電量減少2000度,全年用電15萬(wàn)度,這個(gè)工廠去年上半年每月平均用電多少度?
分析:若設(shè)上半年每月平均用電x度,則下半年每月平均用電(x-2000)度;上半年共用電6x度,下半年共用電6(x-2000)度.因?yàn)槿旯灿昧?5萬(wàn)度電,所以,可列方程6x+ 6(x-2000)=150000
如果去括號(hào),就能簡(jiǎn)化方程的形式。
6x+6(x-2000)=150000
↓去括號(hào)
6x+6x-12000=150000
↓移項(xiàng)
6x+6x=150000+12000
↓合并同類項(xiàng)
12x=162000
↓系數(shù)化為1
x=13500
答:這個(gè)工廠去年上半年每月平均用電13500度。
總結(jié):去括號(hào)法則:(1)括號(hào)前是“+”號(hào),把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉,括號(hào)里各項(xiàng)都不變符號(hào)。(2)括號(hào)前是“-”號(hào),把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉,括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。
思考: 本題還有其他列方程的方法嗎? 用其他方法列出的方程應(yīng)怎么解?分析:從不同的角度去列方程。(學(xué)生自己進(jìn)行解題)
(1)設(shè)下半年每月平均用電x度,則可列方程: 6x+6(x+2000)=150000.(2)如果設(shè)上半年用電x萬(wàn)度,則可列方程:x-(15-x)=6×0.2
(3)設(shè)上半年每月平均用電x度,如“從下半年與上半年相比,月平均用電量減少2000度?!笨闪蟹匠?
x-1/6(150000-6x)=2000
例1.解方程3x-7(x-1)=3-2(x+3)
解:去括號(hào),得3x-7x+7=3-2x-6
移項(xiàng),得3x-7x+2x=3-6-7
合并同類項(xiàng),得-2x=-10
系數(shù)化為1,得x=5
例題的處理:教師啟發(fā)、引導(dǎo)、矯正,并從學(xué)生角度提出問(wèn)題。
歸納解一元一次方程的步驟:
去括號(hào) → 移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1。
三.課堂練習(xí):
(補(bǔ)充)1.小明解方程2(3x-1/2)-1/2(4x+2)=1/3(9x-3)的過(guò)程如下: 解:去括號(hào),得6x-1-2x+1=3x-1
移項(xiàng),得6x-2x-3x=-1+1-
1合并同類項(xiàng),得x=-1
當(dāng)他把x=-1代入原方程后,發(fā)現(xiàn)左、右兩邊不相等,他知道自己肯定算錯(cuò)了,可又查不出原因,聰明的你能幫幫他嗎?
(去括號(hào)時(shí)出錯(cuò),讓學(xué)生自己找出錯(cuò)誤之處并改正)
2.解下列方程:(課本97頁(yè)練習(xí))
(1)4x + 3(2x – 3)=12-(x +4)
(2)6(1/2x-4)+2x=7-(1/3x-1)
(3)3x-2[3(x-1)-2(x+2)]=3(18-x)(補(bǔ)充)
(教師就學(xué)生練習(xí)分別給以指導(dǎo);強(qiáng)調(diào)書寫格式;及時(shí)表?yè)P(yáng)鼓勵(lì)。意圖:及時(shí)給予分層強(qiáng)化訓(xùn)練,強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)、糾正錯(cuò)誤點(diǎn)、緊扣關(guān)鍵點(diǎn)。)
四.小結(jié):
(1)解一元一次方程的步驟:
去括號(hào) → 移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1
(2)去括號(hào)時(shí)要注意:括號(hào)前是“-”號(hào),把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉,括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。
(由學(xué)生自主歸納,最后老師總結(jié))
五.作業(yè): P.102習(xí)題3.3第2,4題
六、教學(xué)反思:
本節(jié)課突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。教師首先從實(shí)際問(wèn)題引發(fā)有括號(hào)的一元一次方程,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,在思考過(guò)程中,讓學(xué)生對(duì)如何找等量關(guān)系列方程有更深刻的了解,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。
通過(guò)對(duì)新方程與以前學(xué)過(guò)的方程的比較,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,探索解決問(wèn)題的方法,體會(huì)化歸思想。
通過(guò)對(duì)解答問(wèn)題過(guò)程的說(shuō)明,體會(huì)去括號(hào)解方程的一般過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。豐富學(xué)生已有的解一元一次方程的方法,使學(xué)生對(duì)解方程的認(rèn)識(shí)更加完整。
通過(guò)例題的教學(xué),使學(xué)生熟練掌握去括號(hào)解方程的方法,并鞏固解方程的一般步驟。通過(guò)補(bǔ)充練習(xí),使學(xué)生更明確去括號(hào)的依據(jù),從而鞏固去括號(hào)解方程的一般步驟。最后通過(guò)學(xué)生小結(jié),培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力,及時(shí)鞏固所學(xué)的知識(shí),強(qiáng)化認(rèn)識(shí)。
不足之處:在引導(dǎo)學(xué)生思考其他列方程的方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),浪費(fèi)比較多的時(shí)間給學(xué)生思考,但學(xué)生沒(méi)有想到另外合適的方法,只是教師直接給出不同的列法.