第一篇：數(shù)學(xué)思維方式

第一部分 《高數(shù)解題的四種思維定勢》

1.在題設(shè)條件中給出一個函數(shù)f(x)二階和二階以上可導(dǎo)，把f(x)在指定點展成泰勒公式再說。

2.在題設(shè)條件或欲證結(jié)論中有定積分表達式時，先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。

3.在題設(shè)條件中函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

4.對定限或變限積分，若被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)，先做變量替換使之成為簡單形式f(u)再說。

第二部分 《線性代數(shù)解題的八種思維定勢》

1.若要證明一組向量a1，a2，?，as線性無關(guān)，先考慮用定義再說。

2.若已知AB=0，將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。

3.若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說。

4.若已知A的特征向量ζ0，先用定義Aζ0=λ0ζ0處理一下再說。

5.若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣，用定義處理一下再說。

6.題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關(guān)，立即聯(lián)想到用行列式按行(列)展開定理以及AA*=A*A=|A|E。

7.若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。

8.若題設(shè)n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，先分解出因子aA+bE再說。

第三部分《概率與數(shù)理統(tǒng)計解題的九種思維定勢》

1.欲求二維隨機變量(X，Y)滿足條件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，應(yīng)馬上聯(lián)想到二重積分的計算，其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區(qū)域及滿足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的區(qū)域的公共部分。

2.涉及n次試驗?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)X的數(shù)字特征的問題，要聯(lián)想到對X作(0-1)分解。

3.凡求解各概率分布已知的若干個獨立隨機變量組成的系統(tǒng)滿足某種關(guān)系的概率(或已知概率求隨機變量個數(shù))的問題，馬上聯(lián)想到用中心極限定理處理。

4.若為總體X的一組簡單隨機樣本，則凡是涉及到統(tǒng)計量的分布問題，一般聯(lián)想到用分布，t分布和F分布的定義進行討論。

5.如果要求的是若干事件中“至少”有一個發(fā)生的概率，馬上聯(lián)想到概率加法公式;當(dāng)事件組相互獨立時，用對立事件的概率公式。

6.若給出的試驗可分解成(0-1)的n重獨立重復(fù)試驗，馬上聯(lián)想到Bernoulli試驗，及其概率計算公式。

7.若某事件是伴隨著一個完備事件組的發(fā)生而發(fā)生，馬上聯(lián)想到該事件的發(fā)生概率是用全概率公式計算。關(guān)鍵：尋找完備事件組。

8.若題設(shè)中給出隨機變量X ~ N 馬上聯(lián)想到標(biāo)準(zhǔn)化X ~ N(0，1)來處理有關(guān)問題。

9.求二維隨機變量(X，Y)的邊緣分布密度的問題，應(yīng)馬上聯(lián)想到先畫出使聯(lián)合分布密度的區(qū)域，然后定出X的變化區(qū)間，再在該區(qū)間內(nèi)畫一條//y軸的直線，先與區(qū)域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而Y的求法類似。

第二篇：數(shù)學(xué)思維方式與創(chuàng)新

集合的劃分

（一）已完成 1 數(shù)學(xué)的整數(shù)集合用什么字母表示？ A、N B、M C、Z D、W 我的答案：C 2 時間長河中的所有日記組成的集合與數(shù)學(xué)整數(shù)集合中的數(shù)字是什么對應(yīng)關(guān)系？ A、交叉對應(yīng) B、一一對應(yīng) C、二一對應(yīng) D、一二對應(yīng) 我的答案：B 3 分析數(shù)學(xué)中的微積分是誰創(chuàng)立的？ A、柏拉圖 B、康托 C、笛卡爾

D、牛頓-萊布尼茨 我的答案：D 4 黎曼幾何屬于費歐幾里德幾何，并且認為過直線外一點有多少條直線與已知直線平行？ A、沒有直線 B、一條 C、至少2條 D、無數(shù)條 我的答案：A 5 最先將微積分發(fā)表出來的人是 A、牛頓 B、費馬 C、笛卡爾 D、萊布尼茨 我的答案：D 6 最先得出微積分結(jié)論的人是 A、牛頓 B、費馬 C、笛卡爾 D、萊布尼茨 我的答案：A 7 第一個被提出的非歐幾何學(xué)是 A、歐氏幾何 B、羅氏幾何 C、黎曼幾何 D、解析幾何 我的答案：B 8 代數(shù)中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。我的答案：3 9 數(shù)學(xué)思維方式的五個重要環(huán)節(jié):觀察－抽象－探索－猜測－論證。我的答案：√ 10 在今天，牛頓和萊布尼茨被譽為發(fā)明微積分的兩個獨立作者。我的答案：√

集合的劃分

（二）已完成 1 星期日用數(shù)學(xué)集合的方法表示是什么？ A、{6R|R∈Z} B、{7R|R∈N} C、{5R|R∈Z} D、{7R|R∈Z} 我的答案：D 2 將日期集合里星期一到星期日的七個集合求并集能到什么集合？ A、自然數(shù)集 B、小數(shù)集 C、整數(shù)集 D、無理數(shù)集 我的答案：C 3 在星期集合的例子中，a,b屬于同一個子集的充要條件是什么？ A、a與b被6除以后余數(shù)相同 B、a與b被7除以后余數(shù)相同 C、a與b被7乘以后積相同 D、a與b被整數(shù)乘以后積相同 我的答案：B 4 集合的性質(zhì)不包括 A、確定性 B、互異性 C、無序性 D、封閉性 我的答案：D 5 A={1，2}，B={3,4},A∩B= A、Φ B、A C、B D、{1,2,3,4} 我的答案：A 6 A={1，2}，B={3,4}，C={1,2,3,4}則A，B，C的關(guān)系 A、C=A∪B B、C=A∩B C、A=B=C D、A=B∪C 我的答案：A 7 星期二和星期三集合的交集是空集。我的答案：√ 8 空集屬于任何集合。我的答案：3 9 “很小的數(shù)”可以構(gòu)成一個集合。我的答案：3

集合的劃分

（三）已完成 1 S是一個非空集合，A，B都是它的子集，它們之間的關(guān)系有幾種？ A、2.0 B、3.0 C、4.03 D、5.0 我的答案： 2 如果～是集合S上的一個等價關(guān)系則應(yīng)該具有下列哪些性質(zhì)？ A、反身性 B、對稱性 C、傳遞性 D、以上都有 我的答案：D 3 如果S、M分別是兩個集合，SХM{（a,b)|a∈S,b∈M}稱為S與M的什么？ A、笛卡爾積 B、牛頓積 C、康拓積

D、萊布尼茨積 我的答案：A 4 A={1,2}，B={2,3}，A∪B= A、Φ B、{1,2,3} C、A D、B 我的答案：B 5 A={1,2}，B={2,3}，A∩B= A、Φ B、{2} C、A D、B 我的答案：B 6 發(fā)明直角坐標(biāo)系的人是 A、牛頓 B、柯西 C、笛卡爾 D、伽羅瓦 我的答案：C 7 集合中的元素具有確定性，要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合。我的答案：√ 8 任何集合都是它本身的子集。我的答案：√ 9 空集是任何集合的子集。我的答案：√

集合的劃分

（四）已完成 1 設(shè)S上建立了一個等價關(guān)系～，則什么組成的集合是S的一個劃分？ A、所有的元素 B、所有的子集 C、所有的等價類 D、所有的元素積 我的答案：C 2 設(shè)～是集合S上的一個等價關(guān)系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，稱為a確定的什么？ A、等價類 B、等價轉(zhuǎn)換 C、等價積 D、等價集 我的答案：A 3 如果x∈a的等價類，則x～a,從而能夠得到什么關(guān)系？ A、x=a B、x∈a C、x的笛卡爾積=a的笛卡爾積 D、x的等價類=a的等價類 我的答案：D 4 0與{0}的關(guān)系是 A、二元關(guān)系 B、等價關(guān)系 C、包含關(guān)系 D、屬于關(guān)系 我的答案：D 5 元素與集合間的關(guān)系是 A、二元關(guān)系 B、等價關(guān)系 C、包含關(guān)系 D、屬于關(guān)系 我的答案：D 6 如果X的等價類和Y的等價類不相等則有X～Y成立。我的答案：3 7 A∩Φ=A 我的答案：3 8 A∪Φ=Φ 我的答案：3

等價關(guān)系

（一）已完成 1 星期一到星期日可以被統(tǒng)稱為什么？ A、模0剩余類 B、模7剩余類 C、模1剩余類 D、模3剩余類 我的答案：B 2 星期三和星期六所代表的集合的交集是什么？ A、空集 B、整數(shù)集 C、日期集 D、自然數(shù)集 我的答案：A 3 x∈a的等價類的充分必要條件是什么？ A、x>a B、x與a不相交 C、x～a D、x=a 我的答案：C 4 設(shè)R和S是集合A上的等價關(guān)系，則R∪S的對稱性 A、一定滿足 B、一定不滿足 C、不一定滿足 D、不可能滿足 我的答案： 5 集合A上的一個劃分，確定A上的一個關(guān)系為 A、非等價關(guān)系 B、等價關(guān)系 C、對稱的關(guān)系 D、傳遞的關(guān)系 我的答案：B 6 等價關(guān)系具有的性質(zhì)不包括 A、反身性 B、對稱性 C、傳遞性 D、反對稱性 我的答案：D 7 如果兩個等價類不相等那么它們的交集就是空集。我的答案：√ 8 整數(shù)的同余關(guān)系及其性質(zhì)是初等數(shù)論的基礎(chǔ)。我的答案：√ 9 所有的二元關(guān)系都是等價關(guān)系。我的答案：3

等價關(guān)系

（二）已完成 1 a與b被m除后余數(shù)相同的等價關(guān)系式是什么？ A、a+b是m的整數(shù)倍 B、a*b是m的整數(shù)倍 C、a-b是m的整數(shù)倍 D、a是b的m倍 我的答案：C 2 設(shè)～是集合S的一個等價關(guān)系，則所有的等價類的集合是S的一個什么？ A、笛卡爾積 B、元素 C、子集 D、劃分

我的答案：D 3 如果a與b模m同余，c與d模m同余，那么可以得到什么結(jié)論？ A、a+c與b+d模m同余 B、a*c與b*d模m同余 C、a/c與b/d模m同余 D、a+c與b-d模m同余 我的答案： 4 設(shè)A為3元集合，B為4元集合，則A到B的二元關(guān)系有幾個 A、12.0 B、13.0 C、14.0 D、15.0 我的答案：A 5 對任何a屬于A，A上的等價關(guān)系R的等價類[a]R為 A、空集 B、非空集 C、{x|x∈A} D、不確定 我的答案： 6 在4個元素的集合上可定義的等價關(guān)系有幾個 A、12.0 B、13.0 C、14.0 D、15.0 我的答案： 7 整數(shù)集合Z有且只有一個劃分，即模7的剩余類。我的答案：3 8 三角形的相似關(guān)系是等價關(guān)系。我的答案：√ 9 設(shè)R和S是集合A上的等價關(guān)系，則R∪S一定是等價關(guān)系。我的答案：3

模m同余關(guān)系

（一）已完成 1 在Zm中規(guī)定如果a與c等價類相等，b與d等價類相等，則可以推出什么相等？ A、a+c與d+d等價類相等 B、a+d與c-b等價類相等 C、a+b與c+d等價類相等 D、a*b與c*d等價類相等 我的答案：C 2 如果今天是星期五，過了370天是星期幾？ A、一 B、二 C、三 D、四

我的答案：D 3 在Z7中，4的等價類和6的等價類的和幾的等價類相等？ A、10的等價類 B、3的等價類 C、5的等價類 D、2的等價類 我的答案：B 4 同余理論的創(chuàng)立者是 A、柯西 B、牛頓 C、高斯 D、笛卡爾 我的答案：C 5 如果今天是星期五，過了370天，是星期幾 A、星期二 B、星期三 C、星期四 D、星期五 我的答案：C 6 整數(shù)的四則運算不?！澳同余”的是 A、加法 B、減法 C、乘法 D、除法

我的答案：D 7 整數(shù)的除法運算是?！澳同余”。我的答案：3 8 同余理論是初等數(shù)學(xué)的核心。我的答案：√

模m同余關(guān)系

（二）已完成 1 Zm的結(jié)構(gòu)實質(zhì)是什么？ A、一個集合 B、m個元素 C、模m剩余環(huán) D、整數(shù)環(huán) 我的答案：C 2 集合S上的一個什么運算是S*S到S的一個映射？ A、對數(shù)運算 B、二次冪運算 C、一元代數(shù)運算 D、二元代數(shù)運算 我的答案：D 3 對任意a∈R,b∈R,有a+b=b+a=0,則b稱為a的什么？ A、正元 B、負元 C、零元 D、整元 我的答案：B 4 偶數(shù)集合的表示方法是什么？ A、{2k|k∈Z} B、{3k|k∈Z} C、{4k|k∈Z} D、{5k|k∈Z} 我的答案：A 5 矩陣的乘法不滿足哪一規(guī)律？ A、結(jié)合律 B、分配律 C、交換律 D、都不滿足 我的答案：C 6 Z的模m剩余類具有的性質(zhì)不包括 A、結(jié)合律 B、分配律 C、封閉律 D、有零元 我的答案：C 7 模5的最小非負完全剩余系是 A、{0,6,7,13,24} B、{0,1,2,3,4} C、{6.7.13.24} D、{1,2,3,4} 我的答案：B 8 同余關(guān)系具有的性質(zhì)不包括 A、反身性 B、對稱性 C、傳遞性 D、封閉性 我的答案：D 9 在Zm中a和b的等價類的乘積不等于a,b乘積的等價類。我的答案：3 10 如果一個非空集合R滿足了四條加法運算，而且滿足兩條乘法運算可以稱它為一個環(huán)。我的答案：√ 11 如果環(huán)有一個元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那稱這個e是R的單位元。（）我的答案：√ 12 中國剩余定理又稱孫子定理。我的答案：√

模m剩余類環(huán)Zm

（一）已完成 1 Z的模m剩余類環(huán)的單位元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0 D、3.0 我的答案：B 2 集合的劃分，就是要把集合分成一些（）。A、子集 B、空集 C、補集 D、并交集 我的答案： 3 設(shè)R是一個環(huán)，a∈R，則02a= A、0 B、a C、1.0 D、2.0 我的答案：A 4 如果一個非空集合R有滿足其中任意一個元素和一個元素加和都是R中元素本身，則這個元素稱為什么？ A、零環(huán) B、零數(shù) C、零集 D、零元

我的答案：D 5 若環(huán)R滿足交換律則稱為什么？ A、交換環(huán) B、單位環(huán) C、結(jié)合環(huán) D、分配環(huán) 我的答案：A 6 環(huán)R中的運算應(yīng)該滿足幾條加法法則和幾條乘法法則？ A、3、3 B、2、2 C、4、2 D、2、4 我的答案：C 7 矩陣乘法不滿交換律也不滿足結(jié)合律。我的答案：3 8 環(huán)R中零元乘以任意元素都等于零元。我的答案：√ 9 整數(shù)的加法是奇數(shù)集的運算。我的答案：3 10 設(shè)R是非空集合，R和R的笛卡爾積到R的一個映射就是運算。我的答案：√

模m剩余類環(huán)Zm

（二）已完成 1 在Zm環(huán)中一定是零因子的是什么？ A、m-1等價類 B、0等價類 C、1等價類 D、m+1等價類 我的答案：B 2 環(huán)R中，對于a、c∈R,且c不為0，如果ac=0，則稱a是什么？ A、零元 B、零集 C、左零因子 D、歸零因子 我的答案：C 3 環(huán)R中滿足a、b∈R，如果ab=ba=e(單位元）則稱a是什么？ A、交換元 B、等價元 C、可變元 D、可逆元 我的答案：D 4 設(shè)R是一個環(huán)，a，b∈R，則(-a)2（-b）= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：C 5 設(shè)R是一個環(huán)，a，b∈R，則(-a)2b= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：D 6 設(shè)R是一個環(huán)，a，b∈R，則a2（-b）= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：D 7 環(huán)R中滿足a、b∈R，如果ab=ba=e(單位元），那么其中的b是唯一的。我的答案：√ 8 Z的模m剩余類環(huán)是有單位元的交換環(huán)。我的答案：√ 9 一個環(huán)有單位元，其子環(huán)一定有單位元。我的答案：3

環(huán)的概念已完成 1 在Zm剩余類環(huán)中沒有哪一種元？ A、單位元 B、可逆元

C、不可逆元，非零因子 D、零因子 我的答案：C 2 在整數(shù)環(huán)中只有哪幾個是可逆元？ A、1、-1 B、除了0之外 C、0.0 D、正數(shù)都是 我的答案：A 3 在模5環(huán)中可逆元有幾個？ A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案： 4 Z的模4剩余類環(huán)不可逆元的有（）個。A、4 B、3 C、2 D、1 我的答案： 5 Z的模2剩余類環(huán)的可逆元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0 D、4.0 我的答案：B 6 設(shè)R是有單位元e的環(huán)，a∈R，有（-e）2a= A、e B、-e C、a D、-a 我的答案：D 7 在有單位元e（不為零）的環(huán)R中零因子一定是不可逆元。我的答案：√ 8 一個環(huán)沒有單位元，其子環(huán)不可能有單位元。我的答案：3 9 環(huán)的零因子是一個零元。我的答案：3

域的概念已完成 1 當(dāng)m是什么數(shù)的時候，Zm就一定是域？ A、復(fù)數(shù) B、整數(shù) C、合數(shù) D、素數(shù)

我的答案：D 2 素數(shù)m的正因數(shù)都有什么？ A、只有1 B、只有m C、1和m D、1到m之間的所有數(shù) 我的答案：C 3 最小的數(shù)域是什么？ A、有理數(shù)域 B、實數(shù)域 C、整數(shù)域 D、復(fù)數(shù)域 我的答案：A 4 設(shè)F是一個有單位元（不為0）的交換環(huán)，如果F的每個非零元都是可逆元，那么稱F是一個什么？ A、積 B、域 C、函數(shù) D、元

我的答案：B 5 屬于域的是（）。A、（Z,+,2）B、（Z[i],+,2）C、（Q,+,2）D、（I,+,2）我的答案： 6 Z的模p剩余類環(huán)是一個有限域，則p是 A、整數(shù) B、實數(shù) C、復(fù)數(shù) D、素數(shù)

我的答案：D 7 不屬于域的是（）。A、（Q,+,2）B、（R,+,2）C、（C,+,2）D、（Z,+,2）我的答案： 8 有理數(shù)集，實數(shù)集，整數(shù)集，復(fù)數(shù)集都是域。我的答案：3 9 域必定是整環(huán)。我的答案：√ 10 整環(huán)一定是域。我的答案：3

整數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)

（一）已完成 1 對于a,b∈Z，如果有c∈Z,使得a=cb，稱b整除a,記作什么？ A、b^a B、b/a C、b|a D、b&a 我的答案：C 2 整數(shù)環(huán)的帶余除法中滿足a=qb+r時r應(yīng)該滿足什么條件？ A、0<=r<|b| B、1 C、0<=r D、r<0 我的答案：A 3 在整數(shù)環(huán)中沒有哪種運算？ A、加法 B、除法 C、減法 D、乘法 我的答案： 4 最先對Z[i]進行研究的人是 A、牛頓 B、柯西 C、高斯 D、伽羅瓦 我的答案：C 5 不屬于無零因子環(huán)的是 A、整數(shù)環(huán) B、偶數(shù)環(huán) C、高斯整環(huán) D、Z6 我的答案： 6 不屬于整環(huán)的是 A、Z B、Z[i] C、Z2 D、Z6 我的答案： 7 整數(shù)環(huán)是具有單位元的交換環(huán)。我的答案：√ 8 整環(huán)是無零因子環(huán)。我的答案：√ 9 右零因子一定是左零因子。我的答案：3

整數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)

（二）已完成 1 在整數(shù)環(huán)中若c|a,c|b，則c稱為a和b的什么？ A、素數(shù) B、合數(shù) C、整除數(shù) D、公因數(shù) 我的答案：D 2 整除沒有哪種性質(zhì)？ A、對稱性 B、傳遞性 C、反身性 D、都不具有 我的答案： 3 a與0 的一個最大公因數(shù)是什么？ A、0.0 B、1.0 C、a D、2a 我的答案：C 4 不能被5整除的數(shù)是 A、115.0 B、220.0 C、323.0 D、425.0 我的答案：C 5 能被3整除的數(shù)是 A、92.0 B、102.0 C、112.0 D、122.0 我的答案：B 6 整環(huán)具有的性質(zhì)不包括 A、有單位元 B、無零因子 C、有零因子 D、交換環(huán) 我的答案：C 7 在整數(shù)環(huán)的整數(shù)中，0是不能作為被除數(shù)，不能夠被整除的。我的答案：3 8 整除關(guān)系是等價關(guān)系。我的答案：3 9 若n是奇數(shù)，則8|（n^2-1）。我的答案：√

整數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)

（三）已完成 1 0與0的最大公因數(shù)是什么？ A、0.0 B、1.0 C、任意整數(shù) D、不存在 我的答案： 2 探索里最重要的第一步是什么？ A、實驗 B、直覺判斷 C、理論推理 D、確定方法 我的答案： 3 對于a,b∈Z，如果有a=qb+r，d滿足什么條件時候是a與b的一個最大公因數(shù)？ A、d是a與r的一個最大公因數(shù) B、d是q與r的一個最大公因數(shù) C、d是b與q的一個最大公因數(shù) D、d是b與r的一個最大公因數(shù) 我的答案：D 4 gac(234,567)= A、3.0 B、6.0 C、9.0 D、12.0 我的答案：C 5 若a=bq+r,則gac(a,b)= A、gac(a,r)B、gac(a,q)C、gac(b,r)D、gac(b,q)我的答案： 6 gac(126,27)= A、3.0 B、6.0 C、9.0 D、12.0 我的答案：C 7 對于整數(shù)環(huán)，任意兩個非0整數(shù)a,b一定具有最大公因數(shù)。我的答案：√ 8 a是a與0的一個最大公因數(shù)。我的答案：√ 9 0是0與0的一個最大公因數(shù)。我的答案：√

整數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)

（四）已完成 1 如果d是被除數(shù)和除數(shù)的一個最大公因數(shù)也是哪兩個數(shù)的一個最大公因數(shù)？ A、被除數(shù)和余數(shù) B、余數(shù)和1 C、除數(shù)和余數(shù) D、除數(shù)和0 我的答案：C 2 對于整數(shù)環(huán)，任意兩個非0整數(shù)a,b一定具有最大公因數(shù)可以用什么方法求？ A、分解法 B、輾轉(zhuǎn)相除法 C、十字相乘法 D、列項相消法 我的答案：B 3 對于a與b的最大公因數(shù)d存在u,v滿足什么等式？ A、d=ua+vb B、d=uavb C、d=ua/vb D、d=uav-b 我的答案： 4 gcd(13,8)= A、1.0 B、2.0 C、8.0 D、13.0 我的答案：A 5 gcd(56,24)= A、1.0 B、2.0 C、4.0 D、8.0 我的答案：D 6 gac(13,39)= A、1.0 B、3.0 C、13.0 D、39.0 我的答案：C 7 用帶余除法對被除數(shù)進行替換時候可以無限進行下去。我的答案：3 8 歐幾里得算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法。我的答案：√ 9 計算兩個數(shù)的最大公因子最有效的方法是帶余除法。我的答案：3

整數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)

（五）已完成 1 若a,b∈Z，且不全為0，那么他們的最大公因數(shù)有幾個？ A、5.0 B、4.0 C、3.0 D、2.0 我的答案：D 2 若a,b∈Z，它們的最大公因數(shù)在中國表示為什么？ A、[a,b] B、{a,b} C、(a,b)D、gcd(a,b)3 我的答案： 3 如果a,b互素，則存在u,v與a,b構(gòu)成什么等式？ A、1=uavb B、1=ua+vb C、1=ua/vb3 D、1=uav-b 我的答案： 4 在Z中，若a|bc,且(a,b)=1則可以得到什么結(jié)論？ A、a|c B、(a，c）=13 C、ac=1 D、a|c=1 我的答案： 5 若（a,b）=1,則a與b的關(guān)系是 A、相等 B、大于 C、小于 D、互素

我的答案：D 6 由b|ac及gac(a,b)=1有 A、a|b B、a|c C、b|c D、b|a3 我的答案： 7 若a與b互素，有 A、（a,b）=0 B、(a,b)=1 C、(a,b)=a D、(a,b)=b 我的答案：B 8 在整數(shù)環(huán)中若（a,b）=1，則稱a,b互素。我的答案：√ 9 在Z中，若a|c,b|c,且(a,b)=1則可以a|bc.我的答案：3 10 0與0的最大公因數(shù)只有一個是0。我的答案：√ 11 任意兩個非0的數(shù)不一定存在最大公因數(shù)。我的答案：3

整數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)

（六）已完成 1 在Z中若(a,c)=1,(b,c)=1,則可以得出哪兩個數(shù)是素數(shù)？ A、(abc,a)=1 B、(ac,bc)=1 C、(abc,b)=1 D、(ab,c)=1 我的答案：D 2 在所有大于0的整數(shù)中共因素最少的數(shù)是什么？ A、所有奇數(shù) B、所有偶數(shù) C、1.0 D、所有素數(shù)3 我的答案： 3 對于任意a，b∈Z，若p為素數(shù)，那么p|ab可以推出什么？ A、p|a B、p|b C、p|ab D、以上都可以 我的答案：D 4 對于任意a∈Z，若p為素數(shù)，那么（p,a）等于多少？ A、1.03 B、1或p C、p D、1，a，pa 我的答案： 5 p是素數(shù)，若p|ab，(p,a)=1可以推出 A、p|a B、p|b C、(p,b)=13 D、(p,ab)=1 我的答案： 6 正因數(shù)最少的數(shù)是 A、整數(shù) B、實數(shù) C、復(fù)數(shù) D、素數(shù)

我的答案：D 7 若（a,c）=1,(b,c)=1則（ab,c）= A、1.0 B、a C、b D、c 我的答案：A 8 所有大于1的素數(shù)所具有的公因數(shù)的個數(shù)都是相等的。我的答案：√ 9 任意數(shù)a與素數(shù)p的只有一種關(guān)系即p|a。我的答案：3 10 a與b互素的充要條件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。我的答案：√

整數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)

（七）已完成 1 素數(shù)的特性總共有幾條？ A、6.0 B、5.03 C、4.0 D、3.0 我的答案： 2 任一個大于1的整數(shù)都可以唯一地分解成什么的乘積？ A、有限個素數(shù)的乘積 B、無限個素數(shù)的乘積 C、有限個合數(shù)的乘積 D、無限個合數(shù)的乘積 我的答案：A 3 素數(shù)的特性之間的相互關(guān)系是什么樣的？ A、單獨關(guān)系 B、不可逆

C、不能單獨運用 D、等價關(guān)系 我的答案：D 4 p與任意數(shù)a有（p,a）=1或p|a的關(guān)系，則p是 A、整數(shù) B、實數(shù) C、復(fù)數(shù) D、素數(shù)

我的答案：D 5 p不能分解成比p小的正整數(shù)的乘積，則p是 A、整數(shù) B、實數(shù) C、復(fù)數(shù) D、素數(shù)

我的答案：D 6 1是 A、素數(shù) B、合數(shù) C、有理數(shù) D、無理數(shù) 我的答案：C 7 素數(shù)P能夠分解成比P小的正整數(shù)的乘積。我的答案：3 8 合數(shù)都能分解成有限個素數(shù)的乘積。我的答案：√ 9 p是素數(shù)則p的正因子只有P。我的答案：3

Zm的可逆元

（一）已完成 1 在Zm中，等價類a與m滿足什么條件時可逆？ A、互合 B、相反數(shù) C、互素 D、不互素 我的答案：C 2 Z8中的零因子都有哪些？ A、1、3、5、73 B、2、4、6、0 C、1、2、3、4 D、5、6、7、8 我的答案： 3 模m剩余環(huán)中可逆元的判定法則是什么？ A、m是否為素數(shù) B、a是否為素數(shù) C、a與m是否互合 D、a與m是否互素 我的答案：D 4 Z5的零因子是 A、0.0 B、1.03 C、2.0 D、3.0 我的答案： 5 不屬于Z8的可逆元的是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、5.0 我的答案：B 6 Z6的可逆元是 A、0.0 B、1.0 C、2.03 D、3.0 我的答案： 7 在Zm中等價類a與m不互素時等價環(huán)a是零因子。我的答案：√ 8 p是素數(shù)，則Zp一定是域。我的答案：√ 9 Zm的每個元素是可逆元或者是零因子。我的答案：√

Zm的可逆元

（二）已完成 1 Z10的可逆元是 A、2.0 B、5.0 C、7.0 D、10.0 我的答案：C 2 Z9的可逆元是 A、3.0 B、6.0 C、7.0 D、9.0 我的答案：C 3 在Z91中等價類元素83的可逆元是哪個等價類？ A、91.0 B、38.0 C、34.0 D、19.03 我的答案： 4 當(dāng)p為素數(shù)時候，Zp一定是什么？ A、域 B、等價環(huán) C、非交換環(huán) D、不可逆環(huán)3 我的答案： 5 不屬于Z7的可逆元是 A、1.0 B、3.03 C、5.0 D、7.0 我的答案： 6 p是素數(shù)，在Zp中單位元的多少倍等于零元 A、1.0 B、p+13 C、p-1 D、p 我的答案： 7 Z91中等價類34是零因子。我的答案：3 8 Z81中，9是可逆元。我的答案：3 9 Z91中，34是可逆元。我的答案：√

模P剩余類域已完成 1 在域F中，e是單位元，對任意n，n為正整數(shù)都有ne不為0，則F的特征是什么？ A、0.0 B、f C、p D、任意整數(shù) 我的答案：A 2 在R中,n為正整數(shù)，當(dāng)n為多少時n1可以為零元？ A、1.0 B、100.0 C、n>1000 D、無論n為多少都不為零元 我的答案：D 3 在域F中，e是單位元，存在n，n為正整數(shù)使得ne=0成立的正整數(shù)n是什么？ A、合數(shù) B、素數(shù) C、奇數(shù) D、偶數(shù) 我的答案：B 4 任一數(shù)域的特征為 A、0.0 B、1.0 C、e D、無窮 我的答案：A 5 設(shè)域F的單位元e，存在素數(shù)p使得pe=0，而0＜l＜p,le不為0時，則F的特征為 A、0.0 B、p C、e D、無窮 我的答案：B 6 設(shè)域F的單位元e，對任意的n∈N都有ne不等于0時，則F的特征為 A、0.0 B、1.0 C、e D、無窮 我的答案：A 7 任一數(shù)域的特征都為0，Zp的特征都為素數(shù)p。我的答案：√ 8 設(shè)域F的單位元e，對任意的n∈N有ne不等于0。我的答案：√ 9 設(shè)域F的單位元e，存在素數(shù)p使得pe=0。我的答案：√

域的特征

（一）已完成 1 Cpk=p(p-1)?(p-k-1)/k!，其中1<=k< p,則(K！，p)等于多少？ A、0.0 B、1.0 C、kp3 D、p 我的答案： 2 域F的特征為p，對于任一a∈F，pa等于多少？ A、1.0 B、p C、0.0 D、a 我的答案：C 3 在域F中，設(shè)其特征為2，對于任意a,b∈F，則（a+b）2 等于多少 A、2（a+b）B、a2 C、b2 D、a2+b2 我的答案：D 4 設(shè)域F的特征為素數(shù)p，對任意a∈F，有pa= A、p B、a C、0.0 D、無窮 我的答案：C 5 設(shè)域F的特征為2，對任意的a，b∈F，有（a+b）^2= A、a+b B、a C、b D、a^2+b^2 我的答案：D 6 特征為2的域是 A、Z B、Z2 C、Z3 D、Z5 我的答案：B 7 在域F中，設(shè)其特征為p，對于任意a,b∈F，則（a+b）P 等于ap+bp 我的答案：√ 8 設(shè)域F的特征為素數(shù)p，對任意的a，b∈F，有（a+b）^p=a^p+b^p。我的答案：√ 9 設(shè)域F的特征為3，對任意的a，b∈F，有（a+b）^2=a^2+b^2。我的答案：3

域的特征

（二）已完成 1 設(shè)p是素數(shù)，對于任一a∈Z，ap模多少和a同余？ A、a B、所有合數(shù) C、P D、所有素數(shù)3 我的答案： 2 用數(shù)學(xué)歸納法：域F的特征為素數(shù)P，則可以得到(a1+?as)p等于什么？ A、asp B、ap C、ps D、a1P+?asP 我的答案：D 3 6813模13和哪個數(shù)同余？ A、68.0 B、13.03 C、136.0 D、55.0 我的答案： 4 68^13≡？（mod13）A、66.0 B、67.0 C、68.0 D、69.0 我的答案：C 5 設(shè)p是素數(shù)，則（p-1）!≡？（modp）A、-1.0 B、0.0 C、1.0 D、p 我的答案：A 6 費馬小定理中規(guī)定的a是任意整數(shù)，包括正整數(shù)和負整數(shù)。我的答案：3 7 設(shè)p是素數(shù)，則對于任意的整數(shù)a，有a^p≡a（modp）。我的答案：√ 8 9877是素數(shù)。我的答案：3

中國剩余定理

（一）已完成 1 首先證明了一次同余數(shù)方程組的解法的是我國哪個朝代的數(shù)學(xué)家？ A、漢朝 B、三國3 C、唐朝 D、南宋 我的答案： 2 一般的中國軍隊的一個連隊有多少人？ A、30多個 B、50多個 C、100多個 D、300多個 我的答案：C 3 關(guān)于軍隊人數(shù)統(tǒng)計，丘老師列出的方程叫做什么？ A、一次同余方程組 B、三元一次方程組 C、一元三次方程組 D、三次同余方程組 我的答案：A 4 中國古代求解一次同余式組的方法是 A、韋達定理 B、儒歇定理 C、孫子定理 D、中值定理 我的答案：C 5 孫子問題最先出現(xiàn)在哪部著作中 A、《海島算經(jīng)》 B、《五經(jīng)算術(shù)》 C、《孫子算經(jīng)》 D、《九章算術(shù)》 我的答案：C 6 剩余定理是哪個國家發(fā)明的 A、古希臘 B、古羅馬 C、古埃及 D、中國

我的答案：D 7 一次同余方程組在Z中是沒有解的。我的答案：3 8 “韓信點兵”就是初等數(shù)論中的解同余式。我的答案：√ 9 同余式組中，當(dāng)各模兩兩互素時一定有解。我的答案：√

中國剩余定理

（二）已完成 1 一次同余方程組最早的描述是在哪本著作里？ A、九章算術(shù) B、孫子算經(jīng) C、解析幾何 D、微分方程 我的答案：B 2 最早給出一次同余方程組抽象算法的是誰？ A、祖沖之 B、孫武 C、牛頓 D、秦九識 我的答案：D 3 一次同余方程組（模分別是m1,m2,m3)的全部解是什么？ A、km1m2m3 B、Cm1m2m3 C、C+km1m2m3 D、Ckm1m2m3 我的答案：C 4 n被3，4，7除的余數(shù)分別是1,3,5且n小于200，則n= A、170.0 B、177.0 C、180.0 D、187.0 我的答案：D 5 n被3，5，7除的余數(shù)分別是1,2,3且n小于200，則n= A、155.0 B、156.0 C、157.0 D、158.0 我的答案：C 6 n被3，5，11除的余數(shù)分別是1,3,3且n小于100，則n= A、54.0 B、56.0 C、58.0 D、60.0 我的答案：C 7 歐拉在1743年，高斯在1801年分別也給出了同余方程組的解法。我的答案：√ 8 某數(shù)如果加上5就能被6整除，減去5就能被7整除，這個數(shù)最小是20。我的答案：3 9 一個數(shù)除以5余3，除以3余2，除以4余1.求該數(shù)的最小值53。我的答案：√

歐拉函數(shù)

（一）已完成 1 Zp是一個域那么可以得到φ(p)等于多少？ A、0.03 B、1.0 C、p D、p-1 我的答案： 2 φ(m)等于什么？ A、集合{1,2?m-1}中與m互為合數(shù)的整數(shù)的個數(shù) B、集合{1,2?m-1}中奇數(shù)的整數(shù)的個數(shù)

C、集合{1,2?m-1}中與m互素的整數(shù)的個數(shù) D、集合{1,2?m-1}中偶數(shù)的整數(shù)的個數(shù) 我的答案：C 3 Zm中所有的可逆元組成的集合記作什么？ A、Zm* B、Zm C、ZM D、Z* 我的答案：A 4 Z5的可逆元個數(shù)是 A、1.0 B、2.0 C、3.03 D、4.0 我的答案： 5 Z7的可逆元個數(shù)是 A、2.03 B、4.0 C、6.0 D、7.0 我的答案： 6 Z3的可逆元個數(shù)是 A、0.0 B、1.03 C、2.0 D、3.0 我的答案： 7 求取可逆元個數(shù)的函數(shù)φ(m)是高斯函數(shù)。我的答案：3 8 在Zm中，a是可逆元的充要條件是a與m互素。我的答案：√ 9 Zm中可逆元個數(shù)記為φ(m)，把φ(m)稱為歐拉函數(shù)。我的答案：√

歐拉函數(shù)

（二）已完成 1 當(dāng)m為合數(shù)時，令m=24，那么φ(24)等于多少？ A、2.0 B、7.0 C、8.0 D、10.0 我的答案：C 2 設(shè)p為素數(shù)，r為正整數(shù)，Ω={1，2,3,?pr}中與pr不互為素數(shù)的整數(shù)個數(shù)有多少個？ A、pr-1 B、p C、r D、pr 我的答案：A 3 φ(24)等于哪兩個素數(shù)歐拉方程的乘積？ A、φ(2)*φ(12)B、φ(2)*φ(4)C、φ(4)*φ(6)D、φ(3)*φ(8)我的答案：D 4 φ(9)= A、1.0 B、3.03 C、6.0 D、9.0 我的答案： 5 φ(4)= A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：B 6 φ(8)= A、2.0 B、4.0 C、6.0 D、8.0 我的答案：B 7 φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)我的答案：3 8 設(shè)p是素數(shù)，r是正整數(shù)，則φ(p^r)=(p-1)p^(r-1)。我的答案：√ 9 設(shè)p是素數(shù)，則φ(p)=p。我的答案：3

歐拉函數(shù)

（三）已完成 1 歐拉方程φ(m2)φ(m1)之積等于哪個環(huán)中可逆元的個數(shù)？ A、Zm1 Zm2 B、Zm1 C、Zm2 D、Zm1*m2 我的答案：A 2 Zm1*Zm2的笛卡爾積被稱作是Zm1和Zm2的什么？ A、算術(shù)積 B、集合 C、直和 D、平方積 我的答案： 3 設(shè)m=m1m2,且(m1,m2)=1,則φ(m)等于什么？ A、φ(m1)B、φ(m2)φ(m1)C、φ(m1)*φ(m1)D、φ(m2)*φ(m2)我的答案：B 4 φ(24)= A、2.03 B、4.0 C、8.0 D、12.0 我的答案： 5 φ(10)= A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 6 φ(12)= A、1.0 B、2.0 C、3.03 D、4.0 我的答案： 7 設(shè)m1，m2為素數(shù),則Zm1*Zm2是一個具有單位元的交換環(huán)。我的答案：√ 8 設(shè)m=m1m2，且（m1,m2）=1則φ(m)=φ(m1)φ(m2)。我的答案：√ 9 φ(24)=φ(4)φ(6)我的答案：3

歐拉函數(shù)

（四）已完成 1 有序元素對相等的映射是一個什么映射？ A、不完全映射 B、不對等映射 C、單射 D、散射 我的答案：C 2 若有Zm*到Zm1 Zm2的一個什么，則|Zm*|=|Zm1 Zm2*|成立 A、不對應(yīng)關(guān)系 B、互補 C、互素 D、雙射

我的答案：D 3 Φ(7）= A、Φ(1)Φ(6)B、Φ(2)Φ(5)3 C、Φ(2)Φ(9)D、Φ(3)Φ(4)我的答案： 4 Φ(6）= A、Φ(1)Φ(5)B、Φ(3)Φ(3)C、Φ(2)Φ(3)D、Φ(3)Φ(4)我的答案：C 5 Φ(3)Φ(4)= A、Φ(3)B、Φ(4)C、Φ(12)D、Φ(24)我的答案：C 6 如果m=m1m2,且（m1,m2）=1，有m|x-y,則m1|x-y,m2|x-y.我的答案：√ 7 Φ(N)是歐拉函數(shù)，若N＞2，則Φ(N)必定是偶數(shù)。我的答案：√ 8 Φ(4)=Φ(2)Φ(2)我的答案：3

歐拉函數(shù)

（五）已完成 1 a是Zm的可逆元的等價條件是什么？ A、σ（a）是Zm的元素 B、σ（a）是Zm1的元素 C、σ（a）是Zm2的元素

D、σ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元 我的答案：D 2 單射在滿足什么條件時是滿射？ A、兩集合元素個數(shù)相等 B、兩集交集為空集3 C、兩集合交集不為空集 D、兩集合元素不相等 我的答案： 3 若映射σ既滿足單射，又滿足滿射，那么它是什么映射？ A、不完全映射 B、雙射 C、集體映射 D、互補映射 我的答案：B 4 屬于單射的是 A、x → x^2 B、x → cosx C、x →x^4 ? x D、x →2x + 1 我的答案：D 5 不屬于單射的是 A、x → ln x B、x → e^x C、x →x^3 ? x D、x →2x + 1 我的答案：C 6 數(shù)學(xué)上可以分三類函數(shù)不包括 A、單射 B、滿射 C、雙射 D、反射

我的答案：D 7 映射σ是滿足乘法運算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。我的答案：√ 8 對任一集合X，X上的恒等函數(shù)為單射的。我的答案：√ 9 一個函數(shù)不可能既是單射又是滿射。我的答案：3

歐拉函數(shù)

（六）已完成 1 根據(jù)歐拉方程的算法φ(1800)等于多少？ A、180.0 B、480.0 C、960.0 D、1800.0 我的答案：B 2 歐拉方程φ(m)=φ(P1r1)?φ(Psrs)等于什么？ A、P1r1-1(P1-1)?Psrs-1(Ps-1)B、P1r1-1?Psrs-13 C、(P1-1)?(Ps-1)D、P1(P1-1)?Ps(Ps-1)我的答案： 3 設(shè)M=P1r1?Psrs,其中P1，P2?需要滿足的條件是什么？ A、兩兩不等的合數(shù) B、兩兩不等的奇數(shù) C、兩兩不等的素數(shù) D、兩兩不等的偶數(shù) 我的答案：C 4 不屬于滿射的是 A、x → x+1 B、x → x-1 C、x → x^2 D、x →2x + 13 我的答案： 5 屬于滿射的是 A、x → x^2 B、x → e^x C、x → cosx3 D、x →2x + 1 我的答案： 6 屬于雙射的是 A、x → x^2 B、x → e^x C、x → cosx3 D、x →2x + 1 我的答案： 7 φ(m)=φ(m1)φ(m2)成立必須滿足(m1,m2)=1.我的答案：√ 8 x → ln x不是單射。我的答案：3 9 既是單射又是滿射的映射稱為雙射。我的答案：√

環(huán)的同構(gòu)

（一）已完成 1 設(shè)環(huán)R到環(huán)R'有一個雙射σ且滿足乘法和加法運算，則稱σ為環(huán)R的什么？ A、異構(gòu)映射3 B、滿射 C、單射

D、同構(gòu)映射 我的答案：D 2 設(shè)p是奇素數(shù)，則Zp的非零平方元a,有幾個平方根？ A、2.0 B、3.0 C、4.0 D、和p大小有關(guān)3 我的答案： 3 環(huán)R與環(huán)S同構(gòu)，若R是整環(huán)則S A、可能是整環(huán) B、不可能是整環(huán) C、一定是整環(huán) D、不一定是整環(huán) 我的答案：C 4 環(huán)R與環(huán)S同構(gòu)，若R是域則S A、可能是域 B、不可能是域 C、一定是域

D、不一定是域3 我的答案： 5 環(huán)R與環(huán)S同構(gòu)，若R是除環(huán)則S A、可能是除環(huán)3 B、不可能是除環(huán) C、一定是除環(huán) D、不一定是除環(huán) 我的答案： 6 若存在c∈Zm,有c2=a，那么稱c是a的平方元。我的答案：3 7 同構(gòu)映射有保加法和除法的運算。我的答案：3 8 環(huán)R與環(huán)S同構(gòu)，則R、S在代數(shù)性質(zhì)上完全一致。我的答案：√

環(huán)的同構(gòu)

（二）已完成 1 二次多項式x2-a在Zp中至多有多少個根？ A、無窮多個 B、兩個 C、一個 D、不存在 我的答案：B 2 在Z77中，關(guān)于4的平方根所列出的同余方程組有幾個？ A、1個 B、2個 C、3個 D、4個

我的答案：D 3 在Z77中，4的平方根都有哪些？ A、1、2、6、77 B、2、-2 C、2、9、68、75 D、2、-

2、3、-3 我的答案：C 4 Z77中4的平方根有幾個 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 5 Z100中4的平方根有幾個 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 6 Z7中4的平方根有幾個 A、0.0 B、1.03 C、2.0 D、3.0 我的答案：B 7 在Z77中，6是沒有平方根的。我的答案：√ 8 二次多項式在Zp中至少有兩個根。我的答案：3 9 Z7和Z11的直和，與Z77同構(gòu)。我的答案：√

Z﹡m的結(jié)構(gòu)

（一）已完成 1 非空集合G中定義了乘法運算，如果G是一個群，則它需要滿足幾個條件？ A、6.0 B、5.0 C、4.03 D、3.0 我的答案： 2 當(dāng)群G滿足什么條件時，稱群是一個交換群？ A、乘法交換律 B、加法交換律 C、除法交換律 D、減法交換律 我的答案：A 3 Z12*只滿足哪種運算？ A、加法 B、乘法 C、減法 D、除法 我的答案：B 4 非空集合G中定義了乘法運算，如有有ea=ae=a對任意a∈G成立，則這樣的e在G中有幾個？

A、無數(shù)個 B、2個

C、有且只有1一個 D、無法確定 我的答案：C 5 群具有的性質(zhì)不包括 A、結(jié)合律 B、有單位元 C、有逆元 D、分配律 我的答案：D 6 群有幾種運算 A、一 B、二3 C、三 D、四

我的答案： 7 Z12*= A、{1,2,5,7} B、{1,5,9,11} C、{1,5,7,11} D、{3,5,7,11} 我的答案：C 8 在Z12*所有元素的逆元都是它本身。我的答案：√ 9 Z12*是保加法運算。我的答案：3 10 Z12*只有一種運算。我的答案：√

Z﹡m的結(jié)構(gòu)

（二）已完成 1 Zm*的結(jié)構(gòu)可以描述成什么？ A、階為φ(m)的交換群 B、階為φ(m)的交換環(huán) C、階為φ(m)的交換域 D、階為φ(m)的交換類 我的答案：A 2 若a∈Z9*，且為交換群，那么a的幾次方等于單位元？ A、1.0 B、3.0 C、6.0 D、任意次方 我的答案：C 3 Zm*是交換群，它的階是多少？ A、1.0 B、φ(m)C、2m D、m2 我的答案：B 4 Z9*的階為 A、2.0 B、3.03 C、6.0 D、9.0 我的答案： 5 Z12*的階為 A、2.0 B、4.0 C、6.0 D、8.0 我的答案：B 6 Z24*的階為 A、2.0 B、4.03 C、6.0 D、8.0 我的答案： 7 在群G中，對于一切m,n為正整數(shù)，則aman=amn.我的答案：3 8 Z5關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成一個群。我的答案：3 9 Zm*是一個交換群。我的答案：√

Z﹡m的結(jié)構(gòu)

（三）已完成 1 設(shè)G是n階交換群，對于任意a∈G，那么an等于多少？ A、na B、a2 C、a D、e 我的答案：D 2 Z9*中滿足7n=e的最小正整數(shù)是幾？ A、6.0 B、4.0 C、3.0 D、1.0 我的答案：C 3 群G中，對于任意a∈G，存在n,n為正整數(shù)使得an=e成立的最小的正整數(shù)稱為a的什么？ A、階 B、冪 C、域 D、根

我的答案：A 4 Z6中4的階是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：C 5 Z5*中2的階是 A、1.0 B、2.03 C、3.0 D、4.0 我的答案： 6 Z5*中3的階是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 7 如果G是n階的非交換群，那么對于任意a∈G，那么an=任意值。我的答案：3 8 設(shè)G是n階群，任意的a∈G，有a^n=e。我的答案：√ 9 在整數(shù)加群Z中，每個元素都是無限階。我的答案：3

歐拉定理循環(huán)群

（一）已完成 1 若整數(shù)a與m互素，則aφ(m)模m等于幾？ A、a B、2.0 C、1.0 D、2a 我的答案：C 2 Zm*是循環(huán)群，則m應(yīng)該滿足什么條件？ A、m=2,4,pr,2pr B、m必須為素數(shù) C、m必須為偶數(shù) D、m必須為奇素數(shù) 我的答案：A 3 Z9*的生成元是什么？ A、1、7 B、2、5 C、5、7 D、2、8 我的答案：B 4 群G中，如果有一個元素a使得G中每個元素都可以表示成a的什么形式時稱G是循環(huán)群？ A、對數(shù)和 B、指數(shù)積 C、對數(shù)冪3 D、整數(shù)指數(shù)冪 我的答案： 5 Z3*的生成元是 A、0.0 B、2.0 C、3.0 D、6.0 我的答案：B 6 Z2*的生成元是 A、1.0 B、2.03 C、3.0 D、4.0 我的答案： 7 Z4*的生成元是 A、0.0 B、2.0 C、3.0 D、6.0 我的答案：C 8 Z1*，Z2*，Z3*，Z5*，Z8*，Z9*，Z12*都是循環(huán)群。我的答案：3 9 Z9*是一個循環(huán)群。我的答案：√ 10 Z9*的生成元是3和7。我的答案：3

歐拉定理循環(huán)群

（二）已完成 1 Z對于什么的加法運算是一個群？ A、整數(shù) B、小數(shù) C、有理數(shù) D、無理數(shù) 我的答案：A 2 Zm*是具有可逆元，可以稱為Zm的什么類型的群？ A、結(jié)合群 B、交換群 C、分配群 D、單位群 我的答案：D 3 Z12的生成元不包括 A、1.0 B、5.0 C、7.0 D、9.0 我的答案：D 4 Z16的生成元是 A、2.0 B、8.0 C、11.0 D、14.0 我的答案：C 5 Z15的生成元是 A、5.0 B、10.0 C、12.0 D、13.0 我的答案：D 6 環(huán)R對于那種運算可以構(gòu)成一個群？ A、乘法 B、除法 C、加法 D、減法 我的答案：C 7 對于所有P，p為奇數(shù)，那么Zp就是一個域。我的答案：3 8 整數(shù)加群Z是有限循環(huán)群。我的答案：3 9 Zm*稱為Zm的單位群。我的答案：√

素數(shù)的分布

（一）已完成 1 素有總共有多少個？ A、4.0 B、21.0 C、1000.0 D、無數(shù)多個 我的答案：D 2 大于10小于100的整數(shù)中有多少個素數(shù)？ A、21.0 B、27.0 C、31.0 D、50.0 我的答案：A 3 對于a，a為大于10小于100的整數(shù)，a的素因素都有哪些？ A、2、3、7、9 B、2、3、5、7 C、1、2、3、5 D、5、7、9 我的答案：B 4 小于10的素數(shù)有幾個 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 5 不超過100的素數(shù)有幾個 A、24.0 B、25.0 C、26.0 D、27.0 我的答案：B 6 大于10而小于100的素數(shù)有幾個 A、20.0 B、21.0 C、22.0 D、23.0 我的答案：B 7 丘老師使用的求素數(shù)的方法叫做拆分法。我的答案：3 8 97是素數(shù)。我的答案：√ 9 87是素數(shù)。我的答案：3

第三篇：初高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的銜接

市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃優(yōu)秀論文

評選申報表

論文名稱：初高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的銜接

作者姓名：高鳳玲

聯(lián)系方式：***

通訊地址：武漢市蔡甸區(qū)實驗高中

工作單位：武漢市蔡甸區(qū)實驗高中

合作者姓名：

論文內(nèi)容分類：各學(xué)科類教育教學(xué)研究(J)

初高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的銜接

摘要：隨著新課改的深入發(fā)展，初、高中銜接問題越來越受到人們的重視，初高中知識點方面的銜接已成為社會熱點。本文旨在根據(jù)初高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展特征，結(jié)合現(xiàn)有的高中數(shù)學(xué)教材，在學(xué)生的思維層面進行銜接，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步形成數(shù)學(xué)觀念。關(guān)鍵詞：新課改 思維方式 銜接

近幾年來由于新課標(biāo)的實施，初高中教材都降低了難度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，教師都不敢降低難度，造成了高中數(shù)學(xué)實際難度沒有降低。因此，從一定意義上講，調(diào)整后的教材不僅沒有縮小初高中的教材內(nèi)容的難度差距，反而加大了。數(shù)學(xué)語言在抽象程度上發(fā)生突變，思維方法向理性層次躍遷，使相當(dāng)一部分成績中等及偏下的學(xué)生陷入困境，認為數(shù)學(xué)高不可攀，不可接近。再加上初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差距，中間又缺乏過渡過程，至使高中新生普遍適應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。針對此情況，教師要采用漸進式、螺旋上升式的方法做好思維方式的過渡。

學(xué)好數(shù)學(xué)的正確途徑是掌握數(shù)學(xué)的思維方式。數(shù)學(xué)的思維方式是先觀察客觀現(xiàn)象，在紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象中抓住事物的主要特征，從而抽象出概念或建立模型，再運用自覺判斷、歸納、類比、聯(lián)想等方法進行探索，進而猜測可能有的規(guī)律，然后通過深入分析，邏輯推理、計算等方法進行論證，最終揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學(xué)思維方式直接影響到物理、化學(xué)、信息技術(shù)、經(jīng)濟等學(xué)科，它已滲透到社會生產(chǎn)、生活的方方面面，遵循這樣的思維模式本身也是一個不斷創(chuàng)新的過程，對我們來說，終身受益。

心理學(xué)研究表明，人的智力與能力發(fā)展具有年齡特征，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展也呈現(xiàn)年齡特征，要經(jīng)歷直觀行動思維、具體形象思維、抽象邏輯思維（包括辯證思維）等階段。小學(xué)階段處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段；整個中學(xué)階段以抽象邏輯思維占主導(dǎo)地位，但初中階段主要是以經(jīng)驗型為主的抽象性邏輯思維為主，高中階段主要是以理論型為主的抽象邏輯思維。其中，小學(xué)四年級（10~11歲）是從以具體形象成分為主要形式到以抽象邏輯成分為主要形式的轉(zhuǎn)折點；初中二年級（13~14歲）是從經(jīng)驗型向理論型發(fā)展的開始；高中二年級前后（16~17歲），思維和智力發(fā)展基本成熟。顯然，思維與智力發(fā)展的年齡特征，是考慮螺旋上升地安排教學(xué)內(nèi)容的重要依據(jù)。結(jié)合學(xué)生實際，根據(jù)學(xué)生發(fā)展的可能性，教師運用“最近發(fā)展區(qū)”理論，“建構(gòu)主義學(xué)習(xí)”理論，實現(xiàn)學(xué)生知識學(xué)習(xí)的順應(yīng)與同化，積極引導(dǎo)

學(xué)生向前發(fā)展。

在高一的教學(xué)中可以用“函數(shù)”作為素材（人教A版必修1），很好地實現(xiàn)思維方式的銜接，使學(xué)生感受到解決數(shù)學(xué)問題的思維方式，并在此過程中逐步向?qū)W生滲透以下數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想。教師在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)上還要注意有序性策略、過程性策略、變式策略的使用。

在初中階段，函數(shù)是描述變化的一種數(shù)學(xué)工具，用來表示某些問題中變量之間的關(guān)系，并解決一些實際問題。學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，還會用函數(shù)觀點看一元二次方程。用以圖識性、數(shù)形結(jié)合的思想研究了函數(shù)的最大、小值，函數(shù)的增減性，方程的根和函數(shù)圖象與x軸交點間的關(guān)系。而高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終。要求學(xué)生學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等具體的基本初等函數(shù)，結(jié)合實際問題，感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性，初步運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的簡單問題。學(xué)生還將學(xué)習(xí)利用函數(shù)的性質(zhì)求方程的近似解，體會函數(shù)與方程的有機聯(lián)系。對比教材內(nèi)容，不然發(fā)現(xiàn)高中教材的抽象性、邏輯性加強，新知識量多，難度加大，同時我們也發(fā)現(xiàn)必修1的教材安排上已體現(xiàn)知識循序漸進、螺旋式上升的特點。下面分五個部分進行說明。

1.函數(shù)概念

函數(shù)概念的教學(xué)要從實際背景和定義兩個方面幫助學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)。函數(shù)概念的引入一般有兩種方法，一種方法是先學(xué)習(xí)映射，再學(xué)習(xí)函數(shù)；另一種方法是通過具體實例，體會數(shù)集之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，即函數(shù)。考慮到多數(shù)高中學(xué)生的認知特點，為了有助于他們對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，建議采用后一種方式，從學(xué)生已掌握的具體函數(shù)和函數(shù)的描述性定義入手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己的生活經(jīng)歷和實際問題，嘗試列舉各種各樣的函數(shù)，構(gòu)建函數(shù)的一般概念。在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，易于抽象符號f(x)的理解。然后結(jié)合學(xué)生熟知的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)對概念加深理解。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，再通過對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)的研究，加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解。像函數(shù)這樣的核心概念需要多次接觸、反復(fù)體會、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，靈活應(yīng)用。

數(shù)學(xué)概念和原理（特別是那些核心概念）的形成過程是進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的最重要載體。教師要精心設(shè)計，有意識地安排從中領(lǐng)悟思想方法過程。數(shù)學(xué)思想方法重在“悟”，悟

就需要過程，有一個循序漸進、逐步逼近思想本質(zhì)的過程。

2.函數(shù)的基本性質(zhì)

這一部分教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上體現(xiàn)了以圖識性、數(shù)形結(jié)合的思想，基本按照“作圖觀察——理性思考——得出具體結(jié)論——一般化”的方式編寫。必修1中函數(shù)的基本性質(zhì)在初中函數(shù)的增減性與最大（?。┲档幕A(chǔ)上進一步深化出增（減）函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念，給出最大（?。┲档亩x。高中嚴(yán)密的邏輯性開始體現(xiàn)。學(xué)生接觸、學(xué)會推證函數(shù)單調(diào)性后，抽象意識增強，接著很自然過渡到奇偶性。通過函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性研究抽象函數(shù)相關(guān)問題，符號抽象性運算、邏輯推理可進一步加強。作函數(shù)的圖像也不僅僅是列表、描點、連線，還可利用單調(diào)性、奇偶性，進一步提高思維層次。

3.基本初等函數(shù)（Ⅰ）

通過函數(shù)概念與基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)，知道研究函數(shù)的一般方法與步驟，圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。再把一般方法運用到實際問題中，先抽象出指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念，再研究它們的圖像和性質(zhì)。數(shù)學(xué)的思維方式在不停的運用著，潛移默化地影響學(xué)生。指、對數(shù)函數(shù)中分類討論的思想必不可少，抽象邏輯思維很常見。

4.函數(shù)與方程

學(xué)生回顧二次函數(shù)圖象與x軸的交點和相應(yīng)的一元二次方程根的關(guān)系，由此推廣到一般函數(shù)，很自然給出零點概念，再深入研究函數(shù)的零點存在性問題。這一部分研究方法主要是特殊到一般，具體到抽象。用二分法求不可解方程的近似解體現(xiàn)了極限思想。討論不可解方程的根的個數(shù)又用到轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想。

5.函數(shù)模型與應(yīng)用

教師引導(dǎo)學(xué)生不斷地體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，體驗指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用。應(yīng)注意鼓勵學(xué)生運用現(xiàn)代教育技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題。例如，利用計算器、計算機畫出指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的圖象，探索、比較它們的變化規(guī)律，研究函數(shù)的性質(zhì)，求方程的近似解等。讓學(xué)生深切感受到數(shù)學(xué)是身邊的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是有用的數(shù)學(xué)，增強學(xué)習(xí)積極性。

教材中呈現(xiàn)出“具體——抽象與概括——具體”的順序符合學(xué)生思維活動順序，教師要

把教材提供的邏輯順序轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動順序，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平，設(shè)計恰當(dāng)?shù)恼n堂教學(xué)情境和數(shù)學(xué)思維活動過程，使學(xué)生大致經(jīng)歷原數(shù)學(xué)研究活動的進程，學(xué)生的思維活動充分展開，讓學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)和新知識之間充分的相互作用。

參考文獻

【1】曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（第二版）(M).北京：北京師范大學(xué)出版社，2006 【2】朱占奎.初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的幾個問題.http://wenku.baidu.com/view/0abc5ff7f61fb7360b4c6578.html 【3】高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)http://wenku.baidu.com/view/27b9fb25aaea998fcc220e69.html 【4】初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)

http://wenku.baidu.com/view/f327fded998fcc22bcd10d09.html

第四篇：改變情感思維方式

改變情感思維方式 ——從《怒海潛將》觀后感談起

丁亮

李偉科

組織學(xué)生看了電影《怒海潛將》，觀影后我讓學(xué)生復(fù)述故事的內(nèi)容。所有的同學(xué)都能回答影片講述了美國第一位黑人船長卡爾的故事，怎樣引導(dǎo)學(xué)生將粗象的觀影情感化成細膩的語言文字呢？我改變原有的思維模式，和學(xué)生進行了這樣的一場對話。

師：你們喜歡故事里面的哪一個人物？不喜歡哪一個人物？為什么？

生1：我們喜歡卡爾，因為他很堅強，很努力，特別是他被截肢后還能堅持完成訓(xùn)練，完成不可能完成的任務(wù)，我很感動。

生2：我不喜歡山岱，雖然他是優(yōu)秀的潛水員，但他酗酒，而且總是為難卡爾。

生3：我喜歡卡爾的妻子，感覺她很優(yōu)秀，幫助卡爾過了海軍潛水員的文化考試，而且還得了94分。

師：如果卡爾不能在水里完成組裝任務(wù)，會怎樣？ 生：他會被趕出海軍學(xué)校，回到家鄉(xiāng)，種地。

師：是的，在種族歧視極其嚴(yán)重的社會環(huán)境下，卡爾最后不能堅持9個多小時，完成不可能完成的組裝任務(wù)，那么他將回到家鄉(xiāng)，重復(fù)父輩們的生活，我們也就看不到這么精彩的電影了！

師：如果你是首席士官山岱，你會那樣對卡爾嗎？

生：如果我是山岱，我也會那樣對卡爾，因為他是黑人。我希望我們白人是這批隊員中最優(yōu)秀的。

師：是的，山岱不是對士兵們不夠好，只是對卡爾不夠好，他不是壞人，只是一開始不夠愛卡爾罷了。而后面的結(jié)果也證明了，他不是壞人，但他酗酒，這一點的確不可愛。（做個小鬼臉）

師：卡爾最后為什么能成為首席士官？ 生：因為他堅強，因為他勇敢，因為他有毅力。師：除了自身的因素，還有別的嗎？

生1：他有一個好父親，他的父親希望他有不一樣的生活。生2：他最后得到了山岱的幫助。

生3：他有一個很漂亮，很有文化的女朋友，幫助他學(xué)習(xí)。師：同學(xué)們說得很好?？栔阅軌虺晒Γ驗樗艿搅肆己玫募彝ソ逃?，有一位特有人生想法的父親，所以他從小就有夢想。那同學(xué)們想不想將來也成為這樣優(yōu)秀的父親呢？

生：（大笑）

師：除了有良好的家庭教育，卡爾還遇到了他人生中的伴侶。這位姑娘幫助卡爾完成了學(xué)業(yè)，默默地支持著他完成人生的夢想。試想一想，他遇到的愛人是一個除了漂亮什么都不會的女人他會成功嗎？

生：（不好意思的笑）

師：其實每個人的成功都離不開另一半的理解、支持與付出。能夠相伴到老的一定是理解你，支持你，懂你的人，他/她不一定漂亮，但一定足夠睿智。你們希望遇到這樣的伴侶嗎？又或者你們想成為別人這樣的伴侶嗎？ 生：（害羞的笑）

師：這樣的愛情，總有一天，你們都會遇到的，過早的嘗試，就是一場尷尬的糟糕的戀愛，像你們看到鏡頭里兩人接吻一樣尷尬。老師希望你們到了能夠戀愛的年齡，都能夠戀愛，都能夠找到終生的伴侶。記住，一定要到適當(dāng)?shù)哪挲g哦！

生：（很認真的思考著）

師：我們說過，山岱最初不愛卡爾，折磨卡爾，但在卡爾失去雙腿后，是誰又給了卡爾信念呢？是的，是他。很多時候，敵人都是我們自己假想的，其實，他只不過是一個強有力的對手罷了。所以一個人的成長離不開強有力的對手，希望你們能將對手變成自己的朋友，因為成功離不開朋友的幫助。

師：下面請同學(xué)們想一想，如果卡爾在被折磨，被羞辱，失去一條腿之后，放棄又會怎樣？

生：他就不可能成為美國歷史上的第一位黑人船長了。師：說得很好。如果卡爾自己放棄，就算有父親的鼓勵，有山岱的幫助，有女友的支持，他還是不能成功的。是誰決定了他成為一個國家的歷史人物？

生：是他自己。

師：很好。就算所有的人都不愛他，都不給他機會，這也沒能夠改變卡爾愛自己，就是因為愛自己，他才可能尋找自己希望擁有的東西。如果將來，有一天，你們覺得全世界都不愛你了，你該怎么辦？

生：愛自己。師：是的，愛自己。沒有一個人能夠阻止你愛自己，如果你覺得別人不夠愛你，你要加倍的珍愛自己；如果別人不給你機會，你要加倍的給自己機會；如果，你真的愛自己，就會為了自己找到自己需要的東西，沒有人可以阻止卡爾想當(dāng)潛水員的夢想，沒有人可以阻止他當(dāng)上首席士官長，也沒有人能夠阻止你們的夢想對不對？

生：（鼓掌）

師：最后一個問題，你們愿意給自己一個創(chuàng)造歷史的機會嗎？ 生：愿意

師：相信你們當(dāng)中將來會出現(xiàn)卡爾式的英雄男人或者英雄女人。你們相信嗎？

改變以往的讓學(xué)生談感想的方式之后，我發(fā)現(xiàn)，這一堂課的內(nèi)容豐富多了，很多學(xué)生都有的新的觸動與想法，寫出來的文字有了真正的深度。其實要想改變學(xué)生的情感思維方式，教師首先要改變自己的情感思維方式，給學(xué)生適當(dāng)?shù)那楦幸龑?dǎo)，讓學(xué)生明白道理的同時能夠有更深入的人生思考。也許不能一下子改變，但我們教師可以努力，慢慢地去滲透，慢慢地改變。

第五篇：經(jīng)濟學(xué)思維方式讀后感

《經(jīng)濟學(xué)的思維方式》讀后感

自去年11月收到書至今已有3個多月，其間我斷斷續(xù)續(xù)地閱讀了美國保羅〃海恩的《經(jīng)濟學(xué)的思維方式》，利用寒假終于在開學(xué)前讀完。這本書總體而言，深入淺出，回避了高深的數(shù)學(xué)模型，從身邊簡單的事例出發(fā)，語言淺顯易懂，深刻闡述了經(jīng)濟學(xué)的基本原理和分析框架。雖然以前讀大學(xué)時，我也讀過一些經(jīng)濟學(xué)書籍，比如《政治經(jīng)濟學(xué)》、《西方經(jīng)濟學(xué)》、《宏觀經(jīng)濟學(xué)》、《微觀經(jīng)濟學(xué)》等，但《經(jīng)濟學(xué)的思維方式》完全不同于前述經(jīng)濟學(xué)著作，它探究的應(yīng)該不僅僅是經(jīng)濟學(xué)，更主要的應(yīng)該是經(jīng)濟學(xué)背后的思維方式。我理解，經(jīng)濟學(xué)思維方式的核心就是研究經(jīng)濟資源的配置效率，即權(quán)衡預(yù)期的額外成本和預(yù)期的額外收益之后進行理性選擇與決策，經(jīng)濟學(xué)稱之為節(jié)約，即有經(jīng)濟效率。經(jīng)濟分析的本質(zhì)就是邊際分析。經(jīng)濟學(xué)思維方式無處不在，學(xué)習(xí)和運用好經(jīng)濟學(xué)思維方式，能夠促進人們更有效地學(xué)習(xí)、工作和生活，提高理性決策的水平。

一、機會成本不容忽視

該書進一步加深了我對成本相關(guān)概念的理解。關(guān)于成本概念，美國會計學(xué)會（AAA）所屬成本與標(biāo)準(zhǔn)委員會是這樣定義的：成本是指為達到特定目的而發(fā)生或與應(yīng)發(fā)生的價值犧牲，它可用貨幣單位加以衡量。可見，成本不僅是指耗費已經(jīng)發(fā)生的實際成本，而且還包括可能發(fā)生的預(yù)計成本，以及進行預(yù)測決策所需的固定成本、變動成本、邊際成本和機會成本等。成本與我們的行為選擇相關(guān)，不同的行為選 擇就會有不同的成本，成本天然地與某個個體的選擇和決策相關(guān)，這就是經(jīng)濟學(xué)的思維方式告訴我們的現(xiàn)實。比如從一個城市到另外一個城市，乘坐飛機需要2小時，乘坐火車需要18小時，我們發(fā)現(xiàn)一個律師會選擇乘坐飛機，而外出打工的農(nóng)民工則選擇乘坐火車，乘坐火車的成本對他們有什么不同嗎？對于農(nóng)民工可能只是火車的票價，對于律師則要加上坐火車多花費的16小時他可能取得的收益，假設(shè)一個律師一小時收費可達200元，坐火車對律師而言將是成本極高的行為?？梢娡恍袨閷Σ煌娜擞胁煌某杀?，成本是對某個具體主體而言的成本，對于律師他需要對因坐火車多花的16小時賦予的價值3200元計入乘坐火車的成本，所以他理性性選擇了乘坐飛機。又如，飛機取代了馬車，不是因為飛機的“技術(shù)”比馬車更先進，而是因為在長距離運輸方面，飛機的“機會成本”比馬車更便宜。至于短距離的交通，比如到鄰街買一瓶醬油，馬車就顯然比飛機合算。同樣，航天飛機的技術(shù)雖然比飛機更先進，但由于它的成本太高，所以人們不會坐航天飛機越洋。不管怎么選擇，都只是取決于成本，而不是技術(shù)。這就是機會成本的力量。

魚，我所欲也；熊掌，亦我所欲也。二者不可兼得，舍魚而取熊掌也。選擇做一件事，必然會放棄另外一件事，那個被放棄的機會所帶來的可能收益在經(jīng)濟學(xué)上被稱為“機會成本”。機會成本就是用來衡量取得一個機會必然舍棄的另一個機會的相當(dāng)價值。雖然人人在行動上都按照這個規(guī)律去做事，但自覺地理解這個概念的人，卻并不很多——甚至很少。一件事情的成本，并不是為了做這件事直接付出的代價，而是因為做這件事而不得不放棄的其他事情中，價格最貴的那個。說起來有些繞，舉例解釋一下就清楚了。你晚上去看電影，成本不僅僅是那張電影票和來回交通費，更主要的成本是，如果去看 2 電影，那你晚上就不能做別的事情了。那晚上你可能做的其他事情，其中最重要的那個，再加上電影票等費用，才是你看電影的全部成本。如果那晚你本來可以和巴菲特一起吃飯聊天的，那么，你看電影的成本就很高了，高到很少有人能承受，因此，現(xiàn)實中，我們不會見到有人為了看電影而放棄和巴菲特共進晚餐。機會成本這個概念中，包含有“比較”的含義。理解了機會成本這個經(jīng)濟學(xué)概念以后，人們在思考問題時，就會具備一種經(jīng)濟學(xué)的思維方式：如果一個方案被否定了，被取消了，那么，取而代之的是什么？這個替代方案，和原來那個方案相比，是更好了，還是更差了？ 沒有理解機會成本概念的人，往往不具備這種“比較”的意識。他們的“常識性”思維是這樣的：某種方案有許多弊端，那么，就應(yīng)該取消它，這樣，就消除了弊端。我稱這種人為線性思維者。他們的思維只能沿著一條線進行，從不左顧右盼。機會成本，或者說“比較”的意識，之所以重要，是因為世界上的任何事務(wù)，都是利弊兼?zhèn)涞模魏畏桨?，必然兼具成本和收益。人們要想得到這個收益，就必須付出那個成本。想要在人群中生活，就必須忍受別人的存在。想要中大獎，就必須買彩票并準(zhǔn)備好不中彩。想要看電影，就得對著銀幕呆呆地看上一兩個小時。沒辦法讓成本為零。當(dāng)然，人們可以通過制度變革、技術(shù)創(chuàng)新等手段來減少成本、增加收益。世界就是這樣變得越來越好的。

我們在做任何事情之前，都要仔細考慮一下機會成本，仔細權(quán)衡一下這種選擇是否就是最好的對策。如果事實證明這是最好的選擇的話，其機會成本就最低。按照經(jīng)濟學(xué)的思維方式，機會成本作為一項行為的成本是人們賦予次優(yōu)機會的價值，人們在選擇這一行為時以次優(yōu)機會為代價。但機會成本是無形的，在現(xiàn)實決策中容易被忽視。例 3 如，企業(yè)業(yè)績評價在19世紀(jì)以利潤為主要衡量指標(biāo)，在20世紀(jì)初至70年代，以投資回報率、凈資產(chǎn)收益率與每股盈利為主要衡量標(biāo)準(zhǔn)，直到20世紀(jì)80年代才轉(zhuǎn)為追求價值最大化，開始以經(jīng)濟增加值（EVA）為衡量標(biāo)準(zhǔn)。企業(yè)業(yè)績必須從股東的角度來衡量，股東追求的是超過股東投入部分的價值最大化。而利潤最大化與效益最大化無法衡量股東的價值。EVA由于考慮了股東的機會成本，能夠更有效地衡量當(dāng)期經(jīng)營者創(chuàng)造的股東價值。EVA的核心理念是：股東投資有機會成本，企業(yè)只有利潤高于資本成本才能為股東創(chuàng)造價值。企業(yè)有利潤不一定創(chuàng)造了經(jīng)濟增加值，而企業(yè)產(chǎn)生了經(jīng)濟增加值一定是贏利的。世上沒有免費的午餐，企業(yè)在衡量業(yè)績、投資等決策中應(yīng)充分考慮機會成本。書中提到，經(jīng)濟效率的概念就是權(quán)衡預(yù)期的額外成本和預(yù)期的額外收益，而邊際收益或邊際成本就是額外的收益或成本。所有的機會成本都是邊際成本，所有邊際成本都是機會成本。因此，不考慮機會成本，就無法進行邊際收益和邊際成本的權(quán)衡與分析，從而無法理性決策，工作就缺乏效率。

二、沉沒成本與決策無關(guān)

如果一項開支已經(jīng)付出而且不論做出何種選擇都不能收回，這類支出在經(jīng)濟學(xué)上稱為沉沒成本。沉沒就是指已經(jīng)發(fā)生無法收回，它是歷史成本的一部分，不可恢復(fù)。按照經(jīng)濟學(xué)的思維方式，沉沒成本是與經(jīng)濟決策無關(guān)的。沉沒成本是歷史的一部分，因為它不能代表未來的選擇機會。決策過程中唯一重要的成本是邊際成本，即額外的成本，除了邊際收益和邊際成本，其他的都不重要。書中尤其強調(diào)別把邊際 成本和平均成本搞混，這一點很重要。經(jīng)濟學(xué)的思維方式告訴我們，如果你是理性的決策者，那就不應(yīng)該在決策時考慮沉沒成本，因為決策是要往前看，是你當(dāng)前應(yīng)該怎樣選擇，沉沒成本已經(jīng)成為歷史，已經(jīng)與當(dāng)前無關(guān)了，不應(yīng)該作為當(dāng)前我們決策時考慮的因素。道理似乎非常簡單，但做到假設(shè)過去是零成本的心態(tài)其實很難。比如，賭博，賭徒總是在輸錢后想著如何翻本，結(jié)果越賭越輸，輸?shù)镁狻Ｆ鋵嵼數(shù)舻腻X已經(jīng)淪為沉沒成本，是否繼續(xù)賭博的決策不應(yīng)與此相關(guān)，而應(yīng)該基于對輸贏概率的判斷，但人們是非理性的，輸?shù)迷蕉嘣綈勖半U。其原因就是你基于沉沒成本來衡量輸贏影響了眼前的判斷和決策。

按照經(jīng)濟學(xué)的思維方式，我們要慎重對待具有高沉沒成本的領(lǐng)域。比如，具有明顯規(guī)模效益和龐大硬件投入的資本密集型產(chǎn)業(yè)，如能源、通訊、汽車、交通等，其超額回報可謂誘人，但其驚人的初始投入使許多投資者望而卻步，高沉沒成本嚇跑了潛在的投資者，才使得現(xiàn)有參與者能夠保持壟斷地位，獲得壟斷利潤。對于個人來講高沉沒成本的選擇有哪些呢?職業(yè)和婚姻應(yīng)該首當(dāng)其沖,因此在面對這些問題的選擇時我們需要格外慎重和理性。

世界上沒有“成本價”這回事。傳統(tǒng)上是這樣理解“成本價”的：假設(shè)中國電信鋪設(shè)固網(wǎng)花了1000億元人民幣，那么這是成本。把這成本分?jǐn)偟矫糠昼姷耐ㄔ挿?wù)上，那就是每分鐘的通話成本。不妨假設(shè)那是1毛錢，這1毛錢就是通話服務(wù)的“成本價”。有些專家認為，如果中國電信收取用戶的資費低于1毛錢的成本價，它就要涉嫌“傾銷”或“不正當(dāng)競爭”了，但這樣理解是錯的。經(jīng)濟分析應(yīng)該這樣： 早在中國電信的投資上馬以前，即在項目的策劃階段，那1000億元人民幣的確是成本，因為成本就是最大的代價。這筆錢如果不用來鋪設(shè)固網(wǎng)，還可以用來做別的事情。所以，在投資實施前，鋪設(shè)固網(wǎng)的成本，就是那些本來可以做而沒有做成的事情。但是，一旦固網(wǎng)竣工，那么固網(wǎng)本身就不再是中國電信提供通話服務(wù)的成本！為什么？因為固網(wǎng)除了提供通話服務(wù)外，不能轉(zhuǎn)作他用，所以用戶利用固網(wǎng)打電話是無成本的！正因為這樣，中國電信的收費底線，接近于零。中國電信當(dāng)然想漫天要價了，實際上就是這樣，中國電信的資費依然很高，至今名列世界前茅。這么高的資費，跟成本是沒有什么關(guān)系的。但同時也要明白，它收費的底線遠遠沒有那么高，相反，是接近于零！這跟當(dāng)初的成本一樣沒什么關(guān)系。只要用戶肯給一丁點錢，中國電信就愿意給你打電話，因為線路已經(jīng)鋪好，不能轉(zhuǎn)作他用，閑著也是閑著！那么，實際的資費是怎樣定出來的呢？答案是：用戶能承受多少，廠商就索取多少。中國電信是根據(jù)用戶的需求來制定資費標(biāo)準(zhǔn)的。這就是價格理論的神來之筆：廠商對最終用戶的收費高低，取決于最終用戶的需求有多強烈，而與廠商既往的生產(chǎn)成本無關(guān)。一旦掌握了經(jīng)濟學(xué)的基本原理，我們就可以知道，中國電信話費還有很大的降價空間，但能否真正的降價取決于全國人民的需求，自從手機普及后，人民對固定電話的需求一直再降，所以中國電信話費的下降趨勢已經(jīng)形成，不可逆轉(zhuǎn)。

經(jīng)濟學(xué)的思維方式對當(dāng)前的財務(wù)工作有很大啟示。反思生活中，讓沉沒成本參與當(dāng)前決策的例子不勝枚舉。跳出沉沒成本的陷阱，需 要良好的自省和向前的生活態(tài)度，培養(yǎng)豁達大度的品質(zhì)，正視沉沒成本，理性與沉沒成本說再見，截斷錯誤，輕裝上陣，這就是經(jīng)濟學(xué)的思維方式帶給我們的智慧。比如，某公司在決策某項業(yè)務(wù)是否應(yīng)該繼續(xù)開展，假設(shè)為開展該項業(yè)務(wù)，公司前期已進行工程設(shè)備投資并形成資產(chǎn)1000萬元，資產(chǎn)使用年限為10年，則每年折舊費用為100萬元，假設(shè)該業(yè)務(wù)當(dāng)年收入為150萬元，新增的成本費用為80萬元。從歷史全成本概念出發(fā)，該項業(yè)務(wù)為虧損業(yè)務(wù)（收入150-折舊費用100-新增成本費用80=-30萬元），可能會給出虧損業(yè)務(wù)不宜開展的決策建議，顯然這是錯誤的建議。因為資本投入已經(jīng)成為沉沒成本，在未來的決策中不應(yīng)考慮。而采用邊際分析法，由于該業(yè)務(wù)邊際收入150萬元大于邊際成本80萬元，該項業(yè)務(wù)應(yīng)該繼續(xù)開展。因此相關(guān)分析人員應(yīng)盡快轉(zhuǎn)變思維方式，研究如何進行邊際收入和邊際成本的分析，這才是對未來決策有用的信息，而歷史完全成本的分析只能用于事后的回顧和相關(guān)考核、評價。

任何時候你都不應(yīng)該這么想：若早知如此，我當(dāng)時本來是會這么做的，那么我現(xiàn)在就這么做吧。相反，你應(yīng)該這么想才對：無論過去怎么樣，在現(xiàn)有的情況下，繼續(xù)做下去是否值得——這叫“不究既往”原則。它適用于人生的任何決策。

《經(jīng)濟學(xué)思維方式》是一本面面俱到的書，內(nèi)容既涵蓋經(jīng)濟學(xué)自創(chuàng)立以來涉及的所有課題，也涵蓋了我們生活中所遇到的幾乎所有經(jīng)濟問題。個體行為群體合作，交換，產(chǎn)權(quán)，游戲規(guī)則，構(gòu)成了《經(jīng)濟學(xué)的思維方式》的立論基礎(chǔ)。而散落于書前書中書尾大量的真知灼見，又使整本書充滿了智慧的光芒。這些我眼里的真知灼見包括但不限 于：其一，社會經(jīng)濟現(xiàn)狀是個體選擇和群體合作的無意結(jié)果，這個結(jié)果并不為我們掌控，其中卻包含了每個個體的參與，為個體的理性選擇所促成。其二，明晰的產(chǎn)權(quán)是市場經(jīng)濟健康運行的前提。個人對私產(chǎn)的完全處置權(quán)和必要的游戲規(guī)則，構(gòu)成了健康經(jīng)濟環(huán)境兩個不可缺少的方面。其三，工作和收益是根據(jù)能力和需求進行分配的，這種分配又是在人們普遍理解和接受的游戲規(guī)則之下進行。其四，政府政策并不總是由公共利益引導(dǎo)的，而往往受到特殊利益的支配。其五，交換——貿(mào)易是另一種形式的生產(chǎn)方式。其六，“財富是指人們認為有價值的任何東西。”這個定義說明財富具有很大的主觀性，不等同于實物和貨幣。等等。

隨著《經(jīng)濟學(xué)的思維方式》草草讀完，一個關(guān)于經(jīng)濟社會生活新理念在我的心里得以初步顯現(xiàn)，它對于我今后的工作生活必定大有助益。我覺得為這種閱讀花費時間，是非常值得的！如果人人都能學(xué)習(xí)一些經(jīng)濟學(xué)的基本原理，學(xué)會用經(jīng)濟學(xué)的思維方式考慮問題，社會會更和諧，工作會更有價值，生活會更有趣味。今后我將在進一步深入學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，著重思考如何在工作中運用好這些好的理念和原理，真正將經(jīng)濟學(xué)的思維方式融入實際工作中，努力為單位發(fā)展創(chuàng)造更大的價值。