www.004km.cn

動量守恒的十種模型精選訓(xùn)練

動量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的規(guī)律之一，它不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域，而且適用于微觀、高速領(lǐng)域。通過對最新高考題和模擬題研究，可歸納出命題的十種模型。

一．碰撞模型

【模型解讀】碰撞的特點是：在碰撞的瞬間，相互作用力很大，作用時間很短，作用瞬間位移為零，碰撞前后系統(tǒng)的動量守恒。無機械能損失的彈性碰撞，碰撞后系統(tǒng)的動能之和等于碰撞前系統(tǒng)動能之和，碰撞后合為一體的完全非彈性碰撞，機械能損失最大。

例1.如圖，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間。A的質(zhì)量為m，B、C的質(zhì)量都為M，三者均處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)使A以某一速度向右運動，求m和M之間應(yīng)滿足什么條件，才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性的。

針對訓(xùn)練題

1．如圖，水平地面上有兩個靜止的小物塊a和b，其連線與墻垂直；a和b相距l(xiāng)，b與墻之間也相距l(xiāng)；a的質(zhì)量為m，b的質(zhì)量為m。兩物塊與地面間的動摩擦因數(shù)均相同。現(xiàn)使a以初速度v0向右滑動。此后a與b發(fā)生彈性碰撞，但b沒有與墻發(fā)生碰撞。重力加速度大小為g。求物塊與地面間的動摩擦因數(shù)滿足的條件。

2．如圖所示，在水平光滑直導(dǎo)軌上，靜止著三個質(zhì)量為m＝1

kg的相同的小球A、B、C。現(xiàn)讓A球以v0＝2

m/s的速度向B球運動，A、B兩球碰撞后粘在一起繼續(xù)向右運動并與C球碰撞，C球的最終速度vC＝1

m/s。問：

3．如圖，小球a、b用等長細(xì)線懸掛于同一固定點O.讓球a靜止下垂，將球b向右拉起，使細(xì)線水平．從靜止釋放球b，兩球碰后粘在一起向左擺動，此后細(xì)線與豎直方向之間的最大偏角為60°.忽略空氣阻力，求：

4.水平光滑軌道AB與半徑為R=2m豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道平滑相接，質(zhì)量為m=0.2kg的小球從圖示位置C(C點與圓弧圓心的連線與豎直方向的夾角為60°)自靜止開始滑下，與放在圓弧末端B點的質(zhì)量為M=13kg的物體M相碰時，每次碰撞后反彈速率都是碰撞前速率的11/12，設(shè)AB足夠長，則m與M能夠發(fā)生多少次碰撞？

5.如圖所示，質(zhì)量均為M=lkg的A、B小車放在光滑水平地面上，A車上用輕質(zhì)細(xì)線懸掛質(zhì)量m=0.5kg的小球。B車處于靜止?fàn)顟B(tài)，A車以v0=2m/s的速度向右運動，兩車相撞后粘在一起向右運動。求：

6.如圖所示,在光滑的水平面上靜止著一個質(zhì)量為4m的木板B,B的左端靜止著一個質(zhì)量為2m的物塊A,已知A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ,現(xiàn)有質(zhì)量為m的小球以水平速度v0。飛來與A物塊碰撞后立即以大小為v0的速率彈回,在整個過程中物塊A始終未滑離木板B,且物塊A可視為質(zhì)點,求：

①相對B靜止后的速度；

②木板B至少多長?

7.在足夠長的光滑水平面上有一個寬度為L的矩形區(qū)域，只要物體在此區(qū)域內(nèi)就會受到水平向右的恒力F的作用。兩個可視為質(zhì)點的小球如圖所示放置，B球靜止于區(qū)域的右邊界，現(xiàn)將A球從區(qū)域的左邊界由靜止釋放，A球向右加速運動，在右邊界處與B球碰撞（碰撞時間極短）。若兩球只發(fā)生一次碰撞，且最終兩球的距離保持不變，求

二．爆炸模型

【模型解讀】爆炸是在極短時間內(nèi)完成的，爆炸時物體之間的相互作用力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)所受外力，系統(tǒng)動量守恒。在爆炸過程中，由于有其它形式的能量（炸藥的化學(xué)能）轉(zhuǎn)化為機械能，爆炸過程中系統(tǒng)動能一定增加。

例2．如圖所示，水平面上OM正中間有質(zhì)量分別為2m、m的兩物塊B、C（中間粘有炸藥），現(xiàn)點燃炸藥，B、C被水平彈開，物塊C運動到O點時與剛好到達(dá)該點速度為v0的小物塊A發(fā)生迎面正碰，碰后兩者結(jié)合為一體向左滑動并剛好在M點與B相碰，不計一切摩擦，三物塊均可視為質(zhì)點，重力加速度為g=10m/s2，求炸藥點燃后釋放的能量E．

針對訓(xùn)練題

1.一置于桌面上質(zhì)量為M的玩具炮，水平發(fā)射質(zhì)量為m的炮彈．炮可在水平方向自由移動．當(dāng)炮身上未放置其它重物時，炮彈可擊中水平地面上的目標(biāo)A；當(dāng)炮身上固定一質(zhì)量為M0的重物時，在原發(fā)射位置沿同一方向發(fā)射的炮彈可擊中水平地面上的目標(biāo)B．炮口離水平地面的高度為h．如果兩次發(fā)射時

“火藥”提供的機械能相等，求B、A兩目標(biāo)與炮彈發(fā)射點之間的水平距離之比。

2.有一炮豎直向上發(fā)射炮彈,炮彈的質(zhì)量為M=6.0kg(內(nèi)含炸藥的質(zhì)量可以忽略不計),射出時的初速度v0=60m/s。當(dāng)炮彈到達(dá)最高點時爆炸為沿水平方向運動的兩片,其中一片質(zhì)量為m=4.0kg?，F(xiàn)要求這一片不能落到以發(fā)射點為圓心、以R=600m為半徑的圓周范圍內(nèi),則剛爆炸完時兩彈片的總動能至少多大？(,忽略空氣阻力)

3從地面豎直向上發(fā)射一枚禮花彈，當(dāng)上升速度為30

m／s時，距地面高度為150

m，恰好此時禮花彈炸開，分裂成質(zhì)量相等的兩部分，其中一部分經(jīng)5

s落回發(fā)射點，求：

（1）另一部分炸開時的速度.(2)

另一部分落點位置和落回地面的時間。

4.如圖所示，在光滑水平面上，有一長L=2m的木板C，它的兩端各有一塊擋板，C的質(zhì)量mC＝5kg，在C的正中央并排放著兩個可視為質(zhì)點的物塊A和B，質(zhì)量分別是mA＝1kg，mB＝4kg，開始時A、B、C都靜止，A、B間夾有少量的塑膠炸藥，由于炸藥爆炸，使得A以6m／s的速度水平向左滑動，如果C的上表面光滑，物塊與擋板相碰后都粘合在擋板上，求：

5如圖所示，一條軌道固定在豎直平面內(nèi)，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O(shè)為圓心、R為半徑的一小段圓弧?？梢暈橘|(zhì)點的物塊A和B緊靠在一起，靜止于b處，A的質(zhì)量是B的3倍。兩物塊在足夠大的內(nèi)力作用下突然分離，分別向左、右始終沿軌道運動。B到d點時速度沿水平方向，此時軌道對B的支持力大小等于B所受重力的，A與ab段的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度g，求：

8.（10分）如圖所示，AB為光滑的斜面軌道，通過一小段光滑圓弧與光滑水平軌道BC相連接，小球乙靜止于水平軌道上。一個質(zhì)量大于小球乙的小球甲以水平速度v0與乙球發(fā)生彈性正碰，碰后乙球沿水平軌道滑向斜面軌道AB。求：在甲、乙發(fā)生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能達(dá)到最大高度的范圍（設(shè)斜面軌道足夠長，重力加速度為g）。

三．反沖模型

【模型解讀】物體的不同部分在內(nèi)力作用下向相反方向的運動，稱為反沖。反沖的特點是物體間相互作用的內(nèi)力大，在外力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)力情況下，可以認(rèn)為動量守恒。常見的反沖現(xiàn)象有：噴氣式飛機的運動，火箭的運動，放射性元素的衰變等。

例3.一個連同裝備總質(zhì)量為M=100kg的宇航員，在距離飛船x=45m處與飛船處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，宇航員背著裝有質(zhì)量為m0=0.5

kg氧氣的貯氣筒。筒上裝有可以使氧氣以v=50

m/s的速度噴出的噴嘴，宇航員必須向著返回飛船的相反方向放出氧氣，才能回到飛船，同時又必須保留一部分氧氣供途中呼吸用，宇航員的耗氧率為Q=2.5×10-4

kg/s，不考慮噴出氧氣對設(shè)備及宇航員總質(zhì)量的影響，則：

(1)瞬時噴出多少氧氣，宇航員才能安全返回飛船？

(2)為了使總耗氧量最低，應(yīng)一次噴出多少氧氣？返回時間又是多少？

針對訓(xùn)練題

一．選擇題

1．運送人造地球衛(wèi)星的火箭開始工作后，火箭做加速運動的原因是()

A．燃料燃燒推動空氣，空氣反作用力推動火箭

B．火箭發(fā)動機將燃料燃燒產(chǎn)生的氣體向后排出，氣體的反作用力推動火箭

C．火箭吸入空氣，然后向后排出，空氣對火箭的反作用力推動火箭

D．火箭燃料燃燒發(fā)熱，加熱周圍空氣，空氣膨脹推動火箭

2．靜止的實驗火箭，總質(zhì)量為M，當(dāng)它以對地速度為v0噴出質(zhì)量為Δm的高溫氣體后，火箭的速度為()

A.B．－

C.D．－

3．一小型火箭在高空繞地球做勻速圓周運動，若其沿運動方向的相反方向射出一物體P，不計空氣阻力，則()

A．火箭一定離開原來軌道運動

B．P一定離開原來軌道運動

C．火箭運動半徑可能不變

D．P運動半徑一定減小

【名師解析】：火箭射出物體P后，由反沖原理火箭速度變大，所需向心力變大，從而做離心運動離開原來軌道，半徑增大A項對，C項錯；P的速率可能減小，可能不變，可能增大，運動也存在多種可能性，所以B、D錯。

4．一裝有柴油的船靜止于水平面上，船前艙進(jìn)水，堵住漏洞后用一水泵把前艙的油抽往后艙，如圖所示。不計水的阻力，船的運動情況是

A．向前運動

B．向后運動

C．靜止

D．無法判斷

二．計算題

1．一火箭噴氣發(fā)動機每次噴出m＝200

g的氣體，噴出的氣體相對地面的速度v＝1

000

m/s。設(shè)此火箭初始質(zhì)量M＝300

kg，發(fā)動機每秒噴氣20次，在不考慮地球引力及空氣阻力的情況下，火箭發(fā)動機1

s末的速度是多大？

2．如圖所示，3.課外科技小組制作了一只水火箭，用壓縮空氣壓出水流使火箭運動。用壓縮空氣壓出水流使火箭運動。假如噴出的水流流量保持為2×10-4m3/s，噴出速度保持為對地10

m/s。啟動前火箭總質(zhì)量為1.4kg，則啟動2s末火箭的速度可以達(dá)到多少？已知火箭沿水平軌道運動阻力不計，水的密度是103kg/m3。

4平板車停在水平光滑的軌道上，平板車上有一人從固定在車上的貨廂邊沿水平方向順著軌道方向跳出，落在平板車上的A點，距貨廂水平距離為l=4

m，如圖所示。人的質(zhì)量為m，車連同貨廂的質(zhì)量為M=4

m，貨廂高度為h=1.25

m(g取10

m/s2)。求：

5.連同炮彈在內(nèi)的炮車停放在水平地面上，炮車質(zhì)量為M,炮膛中炮彈質(zhì)量為m,炮車與地面間的動摩擦因數(shù)為μ,炮筒的仰角為α,設(shè)炮彈以相對于炮筒的速度v0射出,那么炮車在地面上后退多遠(yuǎn)?

四．子彈打木塊模型

【模型解讀】若木塊不固定，子彈打木塊過程中，子彈與木塊的作用力遠(yuǎn)大于木塊所受阻力，系統(tǒng)動量守恒。子彈打木塊過程中，子彈和木塊的位移不同，二者相互作用，導(dǎo)致系統(tǒng)機械能減小，減小的機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。對于子彈打木塊問題，若計算相互作用前后的速度，可利用動量守恒定律列方程解答；若涉及相互作用的時間，一般需要利用動量定理列方程解答；若涉及子彈打入木塊的深度，一般需要分別對子彈和木塊分別運用動量定理列方程解答。

例4

.如圖所示，在光滑水平地面上的木塊M緊挨輕彈簧靠墻放置。子彈m以速度v0沿水平方向射入木塊并在極短時間內(nèi)相對于木塊靜止下來，然后木塊壓縮勁度系數(shù)未知彈簧至彈簧最短．已知子彈質(zhì)量為m，木塊質(zhì)量是子彈質(zhì)量的9倍，即M=9m；彈簧最短時彈簧被壓縮了△x；勁度系數(shù)為k、形變量為x的彈簧的彈性勢能可表示為Ep=kx2。求：

針對訓(xùn)練題

1（8分）（2016高考海南物理）如圖，物塊A通過一不可伸長的輕繩懸掛在天花板下，初始時靜止；從發(fā)射器（圖中未畫出）射出的物塊B沿水平方向與A相撞，碰撞后兩者粘連在一起運動，碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由傳感器（圖中未畫出）測得。某同學(xué)以h為縱坐標(biāo)，v2為橫坐標(biāo)，利用實驗數(shù)據(jù)作直線擬合，求得該直線的斜率為k=1.92

×10-3s2/m。已知物塊A和B的質(zhì)量分別為mA=0.400kg和mB=0.100kg，重力加速度大小g=9.8m/s2。

2如圖所示，在固定的光滑水平桿上，套有一個質(zhì)量為m=0.5kg的光滑金屬圓環(huán)，輕繩一端拴在環(huán)上，另一端系著一個質(zhì)量為M=1.98kg的木塊，現(xiàn)有一質(zhì)量為m0=20g的子彈以v0=100m/s的水平速度射入木塊并留在木塊中（不計空氣阻力和子彈與木塊作用的時間，g取10m/s2）

求：

3.如圖所示，兩物塊A、B并排靜置于高h(yuǎn)=0.80m的光滑水平桌面上，兩物塊的質(zhì)量均為M=0.60kg。一顆質(zhì)量m=0.10kg的子彈C以v0=100m/s的水平速度從左面射入A物塊，子彈射穿A后接著射入B并留在B中，此時A、B都沒有離開桌面。已知物塊A的長度為0.27m，A離開桌面后，落地點到桌邊的水平距離s=2.0m。設(shè)子彈在物塊A、B

中穿行時受到的阻力保持不變，g取10m/s2。求：

4如圖所示，質(zhì)量為mB=2kg的平板車B上表面水平，開始時靜止在光滑水平面上，在平板車左端靜止著一塊質(zhì)量為mA=2kg的物體A，一顆質(zhì)量為m0=0.01kg的子彈以υ0=600m/s的水平初速度瞬間射穿A后，速度變?yōu)棣?=100m/s，已知A、B之間的動摩擦因數(shù)不為零，且A與B最終達(dá)到相對靜止．

5.如圖，一質(zhì)量為M的物快靜止在桌面邊緣，桌面離水平地面的高度為h。一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射入物塊后，以水平速度v0/2射出。重力加速度為g。

6.裝甲車和戰(zhàn)艦采用多層鋼板比采用同樣質(zhì)量的單層鋼板更能抵御穿甲彈的射擊．通過對一下簡化模型的計算可以粗略說明其原因．質(zhì)量為2m、厚度為2d的鋼板靜止在水平光滑桌面上．質(zhì)量為m的子彈以某一速度垂直射向該鋼板，剛好能將鋼板射穿．現(xiàn)把鋼板分成厚度均為d、質(zhì)量均為m的相同兩塊，間隔一段距離水平放置，如圖所示．若子彈以相同的速度垂直射向第一塊鋼板，穿出后再射向第二塊鋼板，求子彈射入第二塊鋼板的深度．設(shè)子彈在鋼板中受到的阻力為恒力，且兩塊鋼板不會發(fā)生碰撞不計重力影響．

五．人船模型

【模型解讀】人在船上靜止在水面，人在船上行走，船后退，若人船系統(tǒng)所受的合外力為零（不考慮船運動所受水的阻力），則人船系統(tǒng)動量守恒。由m1v1=m2v2，解得：=.。對于相互作用的整個過程，有=.。兩個原來靜止的物體發(fā)生相互作用時，若系統(tǒng)所受的合外力為零，都可視為人船模型。解答時，可畫出兩個物體位移關(guān)系圖，確定兩個物體的位移關(guān)系。

“人船模型”是動量守恒定律的拓展應(yīng)用，它把速度和質(zhì)量的關(guān)系推廣到質(zhì)量和位移的關(guān)系，這樣給我們提供了一種解題思路和解決問題的方法。人船問題的適用條件是：兩個物體組成的系統(tǒng)(當(dāng)有多個物體組成系統(tǒng)時，可以先轉(zhuǎn)化為兩個物體組成的系統(tǒng))動量守恒，系統(tǒng)的合動量為零。

這種模型中涉及兩種題型，一種題型是求解某物體在相互作用過程中通過的位移，此題型中需根據(jù)動量守恒、位移關(guān)系得到兩個關(guān)系求解，如在圖中，人從船頭走到船尾時由動量守恒可得：

再由圖中幾何關(guān)系有

可得人船的位移分別為

另一種題型是求某一時刻物體的速度，這種題型是先要由動量守恒求得兩物體的一個速度關(guān)系，再由能量守恒得到兩物體的另一個速度關(guān)系，從而求得物體的瞬時速度(或與瞬時速度相關(guān)的物理量)。

例5.如圖所示，質(zhì)量為m、半徑為r的小球，放在內(nèi)半徑為R，質(zhì)量為M=3m的大空心球內(nèi)，大球開始靜止在光滑水平面上，當(dāng)小球由圖中位置無初速度釋放后沿內(nèi)壁滾到最低點時，大球移動的距離為（）

【點評】對于人船模型問題，畫出示意圖可清晰兩物體之間的位移關(guān)系。

針對訓(xùn)練題

1．氣球質(zhì)量為200

kg，載有質(zhì)量為50

kg的人，靜止在空氣中距地面20

m高的地方，氣球下方懸一根質(zhì)量可忽略不計的繩子，此人想從氣球上沿繩慢慢下滑至地面，為了安全到達(dá)地面，則這繩長至少應(yīng)為多長？(不計人的高度)

2質(zhì)量為m的人站在質(zhì)量為M、長度為L的靜止小船的右端，小船的左端靠在岸邊，當(dāng)他向左走到船的左端時，船左端離岸多遠(yuǎn)？

3．質(zhì)量為m的木塊和質(zhì)量為M的鐵塊用細(xì)繩系在一起處于深水中靜止。剪斷細(xì)繩，木塊上浮，鐵塊下沉。當(dāng)木塊上浮距離h時（還沒有露出水面），鐵塊下沉的距離是多少？

4.如圖所示，質(zhì)量為M的小車靜止在光滑的水平地面上，車上裝有半徑為R的半圓形光滑軌道，現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球在軌道的邊緣由靜止釋放，當(dāng)小球滑至半圓軌道的最低位置時，小車移動的距離為多少？小球的速度大小為多少？

六．彈簧連接體模型

【模型解讀】兩個物體在相對運動過程中通過彈簧發(fā)生相互作用，系統(tǒng)動量守恒，機械能守恒。

例6..如圖所示，A、B兩物體的中間用一段細(xì)繩相連并有一壓縮的彈簧，放在平板小車C上后，A、B、C均處于靜止?fàn)顟B(tài)。若地面光滑，則在細(xì)繩被剪斷后，A、B從C上未滑離之前，A、B在C上向相反方向滑動的過程中

針對訓(xùn)練題

1.在相互平行且足夠長的兩根水平光滑的硬桿上，穿著三個半徑相同的剛性球A、B、C，三球的質(zhì)量分別為mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg，初狀態(tài)BC球之間連著一根輕質(zhì)彈簧并處于靜止，B、C連線與桿垂直并且彈簧剛好處于原長狀態(tài)，A球以v0=9m/s的速度向左運動，與同一桿上的B球發(fā)生完全非彈性碰撞（碰撞時間極短），求：

2.如圖甲所示，物塊A、B的質(zhì)量分別是mA=4.0kg和mB=3.0kg.用輕彈簧栓接，放在光滑的水平地面上，物塊B右側(cè)與豎直墻相接觸.另有一物塊C從t=0時以一定速度向右運動，在t=4s時與物塊A相碰，并立即與A粘在一起不再分開，物塊C的v-t圖象如圖乙所示.求：

3.光滑水平面上放著質(zhì)量mA

＝1

kg的物塊A與質(zhì)量為mB

＝2

kg的物塊B，A與B均可視為質(zhì)點，A靠在豎直墻壁上，A、B間夾一個被壓縮的輕彈簧（彈簧與A、B均不拴接），用手擋住B不動，此時彈簧彈性勢能為Ep＝

J．在A、B間系一輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩長度大于彈簧的自然長度，如圖所示．放手后B向右運動，繩在短暫時間內(nèi)被拉斷，之后B沖上與水平面相切的豎直半圓光滑軌道，其半徑R＝0.5

m，B恰能運動到最高點C．取g＝10

m/s2，求：

如圖所示，在光滑水平地面上，有一質(zhì)量為m1=4.0kg的平板小車，小車的右端有一固定的豎直擋板，擋板上固定一輕質(zhì)細(xì)彈簧。位于小車上A點處質(zhì)量m2＝1.0kg的木塊(可視為質(zhì)點)與彈簧的左端相接觸但不連接，此時彈簧與木塊間無相互作用力。木塊與A點左側(cè)的車面之間的動摩擦因數(shù)μ＝

0.40，木塊與A點右側(cè)的車面之間的摩擦可忽略不計?，F(xiàn)小車與木塊一起以v0＝

2.0m/s的初速度向右運動，小車將與其右側(cè)的豎直墻壁發(fā)生碰撞，已知碰撞時間極短，碰撞后小車以v

1＝

1.0m/s的速度反向彈回，已知重力加速度g取10m/s2，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求:

如圖所示，在光滑水平地面上有一固定的擋板，擋板上固定一個輕彈簧．現(xiàn)有一質(zhì)量M=3kg，長L=4m的小車AB(其中O為小車的中點，AO部分粗糙，OB部分光滑)，一質(zhì)量為m=1kg的小物塊(可視為質(zhì)點)，放在車的最左端，車和小物塊一起以v0=4m/s的速度在水平面上向右勻速運動，車撞到擋板后瞬間速度變?yōu)榱?，但未與擋板粘連．已知車OB部分的長度大于彈簧的自然長度，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，小物塊與車AO部分之間的動摩擦因數(shù)為μ0.3，重力加速度g=10m/s2．求：

七．物快木板疊放體模型

【模型解讀】木板放在光滑水平面上，物快在木板上運動，相互作用的是摩擦力，系統(tǒng)動量守恒。物快在木板上相對運動過程中，摩擦生熱，產(chǎn)生熱量Q=fs，式中s為二者相對運動路程。

例7.如圖所示，平板車P的質(zhì)量為M，小物快Q的質(zhì)量為m，大小不計，位于平板車的左端，系統(tǒng)原來靜止在光滑水平地面上．一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩長為R，一端懸于Q的正上方高為R處，另一端系一質(zhì)量也為m的小球(大小不計)．今將小球拉至懸線與豎直位置成60°角，由靜止釋放，小球到達(dá)最低點時與Q碰撞的時間極短，且無能量損失，已知Q離開平板車時速度大小是平板車速度的兩倍，Q與P之間的動摩擦因數(shù)為μ，M：m=4：1，重力加速度為g．求：

針對訓(xùn)練題

1.【黑龍江省牡丹江市第一中學(xué)2017屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試物理試題】如圖所示，質(zhì)量m=2kg的滑塊（可視為質(zhì)點），以v0=5m/s的水平初速度滑上靜止在光滑水平面的平板小車，若平板小車質(zhì)量M=3kg，長L=4.8m?；瑝K在平板小車上滑移1.5s后相對小車靜止。求：

一質(zhì)量為2m的物體P靜止于光滑水平地面上，其截面如圖所示。圖中ab為粗糙的水平面，長度為L；bc為一光滑斜面，斜面和水平面通過與ab和bc均相切的長度可忽略的光滑圓弧連接?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的木塊以大小為v0的水平初速度從a點向左運動，在斜面上上升的最大高度為h，返回后在到達(dá)a點前與物體P相對靜止。重力加速度為g。求：

3.如圖所示，在光滑水平面上有木塊A和B，mA=0.5kg，mB=0.4kg，它們的上表面是粗糙的。今有一鐵塊C，mC=0.1kg，以初速度v0＝10m/s沿兩木塊表面滑過，最后停止B上，此時B、C以共同速度v＝1.5m/s運動，求：

4.如圖所示,在光滑的水平面上靜止著一個質(zhì)量為4m的木板B,B的左端靜止著一個質(zhì)量為2m的物塊A,已知A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ,現(xiàn)有質(zhì)量為m的小球以水平速度v0。飛來與A物塊碰撞后立即以大小為v0的速率彈回,在整個過程中物塊A始終未滑離木板B,且物塊A可視為質(zhì)點,求：

①相對B靜止后的速度；

②木板B至少多長?

5.質(zhì)量m1=1kg的木板放在光滑水平地面上，質(zhì)量m2=0.2kg的木塊置于木板的右端，木板與木塊之間的動摩擦因數(shù)μ=0.3.某時刻二者同時開始運動，木板的初速度v01=3m/s，水平向右；木塊的初速度v02=1m/s，水平向左；如圖所示。已知重力加速度g=10m/s2，小木塊可視為質(zhì)點。求：

6．如圖所示是固定在水平地面上的橫截面為“”形的光滑長直導(dǎo)軌槽，槽口向上（圖為俯視圖）．槽內(nèi)放置一個木質(zhì)滑塊，滑塊的左半部是半徑為R的半圓柱形光滑凹槽，木質(zhì)滑塊的寬度為2R，比“”形槽的寬度略?。F(xiàn)有半徑r（r＜＜R）的金屬小球以水平初速度v0=4m/s沖向滑塊，從滑塊的一側(cè)半圓形槽口邊緣進(jìn)入．已知金屬小球的質(zhì)量為m=1kg，木質(zhì)滑塊的質(zhì)量為M=3kg，整個運動過程中無機械能損失．求：

7.如圖，用兩根等長的細(xì)線分別懸掛兩個彈性球A、B，球A的質(zhì)量為2m，球B的質(zhì)量為9m，一顆質(zhì)量為m的子彈以速度vo水平射入球A，并留在其中，子彈與球A作用時間極短；設(shè)A、B兩球作用為對心彈性碰撞．求：

動量守恒的十種模型精選訓(xùn)練8

動量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的規(guī)律之一，它不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域，而且適用于微觀、高速領(lǐng)域。通過對最新高考題和模擬題研究，可歸納出命題的十種模型。

八．多次碰撞模型

【模型解讀】若放在光滑水平面上的凹槽中的物體以某一速度與其碰撞，則會發(fā)生多次碰撞。對于發(fā)生多次碰撞的系統(tǒng)，若只需計算二者相對靜止時的速度，則可根據(jù)初末狀態(tài)利用動量守恒定律列方程解得。

例8.在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物塊B，物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖所示，L為1.0m，凹槽與物塊的質(zhì)量均為m，兩者之間的動摩擦因數(shù)μ為0.05，開始時物塊靜止，凹槽以v0＝5m/s初速度向右運動，設(shè)物塊與凹槽槽壁碰撞過程中沒有能量損失，且碰撞時間不計。g取10m/s2。求：

針對訓(xùn)練題

1．如圖所示，在水平光滑直導(dǎo)軌上，靜止著三個質(zhì)量為m＝1

kg的相同的小球A、B、C。現(xiàn)讓A球以v0＝2

m/s的速度向B球運動，A、B兩球碰撞后粘在一起繼續(xù)向右運動并與C球碰撞，C球的最終速度vC＝1

m/s。問：

2.水平光滑軌道AB與半徑為R=2m豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道平滑相接，質(zhì)量為m=0.2kg的小球從圖示位置C(C點與圓弧圓心的連線與豎直方向的夾角為60°)自靜止開始滑下，與放在圓弧末端B點的質(zhì)量為M=13kg的物體M相碰時，每次碰撞后反彈速率都是碰撞前速率的11/12，設(shè)AB足夠長，則m與M能夠發(fā)生多少次碰撞？

3.甲乙兩車總質(zhì)量（包括人、車及砂袋）均為500kg，在光滑水平面上沿同一直線相向而行，兩車速度大小分別為v甲=3.8m/s，v乙=1.8m/s，為了不相撞，甲車上的人將編號分別為1、2、3···n，質(zhì)量分別為1kg、2kg、3kg······nkg的砂袋依次均為20m/s相對地的速度水平拋入乙車，試求：

（1）第幾號砂袋投入乙車后，乙車速度為零？

（2）至少第幾號砂袋投入乙車后，若兩車尚未相碰，則不會相撞？

46．如圖，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間。A的質(zhì)量為，B、C的質(zhì)量都為，三者都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)使A以某一速度向右運動，求和之間滿足什么條件才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性的。

4.雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大?，F(xiàn)將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始質(zhì)量為m0，初速度為v0，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙1。此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次變?yōu)閙2、m3……mn……（設(shè)各質(zhì)量為已知量）。不計空氣阻力。

（1）若不計重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考慮重力的影響，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的動能

vn′2；

5如圖，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間。A的質(zhì)量為，B、C的質(zhì)量都為，三者都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)使A以某一速度向右運動，求和之間滿足什么條件才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性的。

動量守恒的十種模型精選訓(xùn)練9

動量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的規(guī)律之一，它不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域，而且適用于微觀、高速領(lǐng)域。通過對最新高考題和模擬題研究，可歸納出命題的十種模型。

九．臨界模型

例9．如圖，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時刻小孩將冰塊以相對冰面3

m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h＝0.3

m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質(zhì)量為m1＝30

kg，冰塊的質(zhì)量為m2＝10

kg，小孩與滑板始終無相對運動。取重力加速度的大小g＝10

m/s2。

針對訓(xùn)練題

1.甲、乙兩小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲，甲和他的冰車質(zhì)量共為M=30kg，乙和他的冰車質(zhì)量也是30

kg，游戲時，甲推著一個質(zhì)量為m=15

kg的箱子，和他一起以大小為v0=2.0

m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來。為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處時，乙迅速把它抓住，若不計冰面的摩擦力，求：

(1)甲至少要以多大的速度（相對地面）將箱子推出，才能避免與乙相撞？

(2)甲推出箱子時對箱子做了多少功？

2.在光滑的冰面上靜止放置一截面為四分之一圓弧的半徑足夠大的光滑的自由曲面，一個坐在冰車上的小孩手扶一小球靜止在冰面上．某時刻小孩將小球以v0=2m/s的速度向曲面推出（如圖所示）．

3.如圖所示，4.如圖所示，甲車質(zhì)量m1=20kg，車上有質(zhì)量M=50kg的人，甲車（連同車上的人）從足夠長的斜坡上高h(yuǎn)=0.45m由靜止滑下，到水平面上后繼續(xù)向前滑動。此時質(zhì)量m2=50kg的乙車正以v0=1.8m/s的速度迎面滑來，為了避免兩車相撞，當(dāng)兩車相距適當(dāng)距離時，人從甲車跳到乙車上，求人跳出甲車的水平速度（相對地面）應(yīng)在什么范圍以內(nèi)？不計地面和斜坡的摩擦，取g=10m/s2。

5.人和冰車的總質(zhì)量為M，另一木球質(zhì)量為m，且M∶m＝31∶2．人坐在靜止于水平冰面的冰車上，以速度v(相對地面)將原來靜止的木球沿冰面推向正前方向的固定擋板，不計一切摩擦阻力，設(shè)小球與擋板的碰撞是彈性的，人接住球后，再以同樣的速度v(相對地面)將球推向擋板．求人推多少次后不能再接到球？

6.如圖所示，動量守恒的十種模型精選訓(xùn)練10

動量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的規(guī)律之一，它不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域，而且適用于微觀、高速領(lǐng)域。通過對最新高考題和模擬題研究，可歸納出命題的十種模型。

十．多體作用模型

【模型解讀】所謂多體作用模型是指系統(tǒng)中多個物體，相互作用，滿足系統(tǒng)動量守恒定律。

例10.列車載重時簡單地直接啟動有困難，司機常常先倒車再啟動前進(jìn)。在平直軌道上機車起動時的牽引力為F，機車后面掛接有49節(jié)車廂，設(shè)機車與每節(jié)車廂的質(zhì)量都為m，機車和每節(jié)車廂所受的阻力都為自身重力的k倍，倒車后各節(jié)車廂間掛鉤所留間隙為d，倒車掛鉤位置和列車前進(jìn)時掛鉤位置如圖所示。列車在平直軌道上啟動，求：

針對訓(xùn)練題

1.在光滑水平面上有n個完全相同的小物快（可看作質(zhì)點）沿一直線排列，相鄰兩物快間距均為s，開始物塊1以初速度v0向物塊2運動，碰撞后粘在一起，又向物塊3運動，碰撞后粘在一起，······，如此進(jìn)行碰撞。

（1）最后物塊n的速度vn多大？

（2）從物塊1開始運動計時，到物塊n剛開始運動，經(jīng)歷多長時間？每次碰撞所用時間不計。

2．一個質(zhì)量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質(zhì)量為m的因紐特狗站在該雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復(fù)地跳下、追趕并跳上雪橇。狗與雪橇始終沿一條直線運動。若狗跳離雪橇?xí)r雪橇的速度為v，則此時狗相對于地面的速度為v＋v′(其中v′為狗相對于雪橇的速度，v＋v′為代數(shù)和，若以雪橇運動的方向為正方向，則v為正值，v′為負(fù)值)。設(shè)狗總以速度v＋v′追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計。已知v的大小為5

m/s，v′的大小為4

m/s，M＝30

kg，m＝10

kg。

(1)求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小。

(2)求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數(shù)。

(供使用但不一定用到的對數(shù)值：lg2＝0.301，lg3＝0.477)

3.如圖所示，4.如圖所示，兩端帶有固定薄擋板的滑板C長為l，質(zhì)量為，與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，其光滑上表面上靜置著質(zhì)量分別為m、的物塊，A、B，A位于C的中點，現(xiàn)使B以水平速度2v向右運動，與擋板碰撞并瞬間粘連，不再分開，A、B可看做質(zhì)點，物塊A與B、C的碰撞都可視為彈性碰撞。已知重力加速度為g，求：

5.（10分）如圖，在光滑水平面上，有A、B、C三個物體，開始BC皆靜止且C在B上，A物體以v0=10m/s撞向B物體，已知碰撞時間極短，撞完后A靜止不動，而B、C最終的共同速度為4m/s．已知B、C兩物體的質(zhì)量分別為mB=4kg、mC=1kg，試求：

6．如圖，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間。A的質(zhì)量為，B、C的質(zhì)量都為，三者都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)使A以某一速度向右運動，求和之間滿足什么條件才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性的。

7.雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大?，F(xiàn)將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始質(zhì)量為m0，初速度為v0，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙1。此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次變?yōu)閙2、m3……mn……（設(shè)各質(zhì)量為已知量）。不計空氣阻力。

（1）若不計重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考慮重力的影響，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的動能

vn′2；

動量守恒的十種模型精選訓(xùn)練

動量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的規(guī)律之一，它不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域，而且適用于微觀、高速領(lǐng)域。通過對最新高考題和模擬題研究，可歸納出命題的十種模型。

一．碰撞模型

【模型解讀】碰撞的特點是：在碰撞的瞬間，相互作用力很大，作用時間很短，作用瞬間位移為零，碰撞前后系統(tǒng)的動量守恒。無機械能損失的彈性碰撞，碰撞后系統(tǒng)的動能之和等于碰撞前系統(tǒng)動能之和，碰撞后合為一體的完全非彈性碰撞，機械能損失最大。

例1.如圖，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間。A的質(zhì)量為m，B、C的質(zhì)量都為M，三者均處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)使A以某一速度向右運動，求m和M之間應(yīng)滿足什么條件，才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性的。

如果m＞M，第一次碰撞后A的速度小于C的速度，不可能與B發(fā)生碰撞；如果m＝M，第一次碰撞后A停止，C以A的速度向右運動，A不可能與B發(fā)生碰撞；所以只需考慮m＜M的情況。

第一次碰撞后，A反向運動與B發(fā)生碰撞后，A的速度vA2，B的速度vB1，同理

vA2＝

vA1=

A只與B、C各發(fā)生一次碰撞時有，vA2≤vC1

解得m2＋4mM－M2≥0……（６）

即m≥（－2）M，舍棄m≤－（－2）M）

則（－2）M≤m＜M。

【點評】解答時需要對m>M,m>M，m>M的情況進(jìn)行討論，得出可能的情況。對于彈性碰撞問題，需要運用動量守恒定律和機械能守恒定律列出相關(guān)方程聯(lián)立解得。對于三體各發(fā)生一次碰撞，要通過分析得出兩個物體碰撞后，兩物體速度需要滿足的條件。

針對訓(xùn)練題

1．如圖，水平地面上有兩個靜止的小物塊a和b，其連線與墻垂直；a和b相距l(xiāng)，b與墻之間也相距l(xiāng)；a的質(zhì)量為m，b的質(zhì)量為m。兩物塊與地面間的動摩擦因數(shù)均相同?，F(xiàn)使a以初速度v0向右滑動。此后a與b發(fā)生彈性碰撞，但b沒有與墻發(fā)生碰撞。重力加速度大小為g。求物塊與地面間的動摩擦因數(shù)滿足的條件。

【名師解析】　設(shè)物塊與地面間的動摩擦因數(shù)為μ。若要物塊a、b能夠發(fā)生碰撞，應(yīng)有

mv>μmgl

①

即μ<。

②

設(shè)在a、b發(fā)生彈性碰撞前的瞬間，a的速度大小為v1。由能量守恒定律得

mv＝mv＋μmgl

③

設(shè)在a、b碰撞后的瞬間，a、b的速度大小分別為v1′、v2′，由動量守恒和能量守恒有

mv1＝mv1′＋mv2′

④

mv＝mv1′2＋·mv2′2

⑤

聯(lián)立④⑤式解得

v2′＝v1

⑥

由題意，b沒有與墻發(fā)生碰撞，由功能關(guān)系可知

·mv2′2≤μ·gl

⑦

聯(lián)立③⑥⑦式，可得μ≥

⑧

聯(lián)立②⑧式，a與b發(fā)生碰撞、但沒有與墻發(fā)生碰撞的條件

≤μ<。

2．如圖所示，在水平光滑直導(dǎo)軌上，靜止著三個質(zhì)量為m＝1

kg的相同的小球A、B、C?，F(xiàn)讓A球以v0＝2

m/s的速度向B球運動，A、B兩球碰撞后粘在一起繼續(xù)向右運動并與C球碰撞，C球的最終速度vC＝1

m/s。問：

3．如圖，小球a、b用等長細(xì)線懸掛于同一固定點O.讓球a靜止下垂，將球b向右拉起，使細(xì)線水平．從靜止釋放球b，兩球碰后粘在一起向左擺動，此后細(xì)線與豎直方向之間的最大偏角為60°.忽略空氣阻力，求：

【名師解析】(1)設(shè)球b的質(zhì)量為m2，細(xì)線長為L，球b下落至最低點，但未與球a相碰時的速率為v，由機械能守恒定律得

m2gL＝m2v2

①

式中g(shù)為重力加速度的大?。O(shè)球a的質(zhì)量為m1，在兩球碰后的瞬間，兩球的共同速度為v′，以向左為正方向，由動量守恒定律得

m2v＝(m1＋m2)v′

②

設(shè)兩球共同向左運動到最高處時，細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，由機械能守恒定律得

(m1＋m2)v′2＝(m1＋m2)gL(1－cosθ)

③

聯(lián)立①②③式得＝－1

④

代入題給數(shù)據(jù)得＝－1.⑤

(2)兩球在碰撞過程中的機械能損失為

Q＝m2gL－(m1＋m2)gL

(1－cosθ)

⑥

聯(lián)立①⑥式，Q與碰前球b的最大動能Ek(Ek＝m2v2)之比為

＝1－(1－cosθ)

⑦

聯(lián)立⑤⑦式，并代入題給數(shù)據(jù)得＝1－.⑧

4.水平光滑軌道AB與半徑為R=2m豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道平滑相接，質(zhì)量為m=0.2kg的小球從圖示位置C(C點與圓弧圓心的連線與豎直方向的夾角為60°)自靜止開始滑下，與放在圓弧末端B點的質(zhì)量為M=13kg的物體M相碰時，每次碰撞后反彈速率都是碰撞前速率的11/12，設(shè)AB足夠長，則m與M能夠發(fā)生多少次碰撞？

5.（2016山西三模）如圖所示，質(zhì)量均為M=lkg的A、B小車放在光滑水平地面上，A車上用輕質(zhì)細(xì)線懸掛質(zhì)量m=0.5kg的小球。B車處于靜止?fàn)顟B(tài)，A車以v0=2m/s的速度向右運動，兩車相撞后粘在一起向右運動。求：

(i)兩車相碰撞過程中損失的機械能；

(ii)當(dāng)小球向右擺到最大髙度時,兩小車的速度

及小球的最大高度值。

6.(2017長春質(zhì)檢)如圖所示,在光滑的水平面上靜止著一個質(zhì)量為4m的木板B,B的左端靜止著一個質(zhì)量為2m的物塊A,已知A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ,現(xiàn)有質(zhì)量為m的小球以水平速度v0。飛來與A物塊碰撞后立即以大小為v0的速率彈回,在整個過程中物塊A始終未滑離木板B,且物塊A可視為質(zhì)點,求：

①相對B靜止后的速度；

②木板B至少多長?

②設(shè)A在B上滑過的距離為L，由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律得

2μmgL=2mv12-

(2m+4m)

v22

解得：

L=。

7.（10分）（2016東北四市模擬）在足夠長的光滑水平面上有一個寬度為L的矩形區(qū)域，只要物體在此區(qū)域內(nèi)就會受到水平向右的恒力F的作用。兩個可視為質(zhì)點的小球如圖所示放置，B球靜止于區(qū)域的右邊界，現(xiàn)將A球從區(qū)域的左邊界由靜止釋放，A球向右加速運動，在右邊界處與B球碰撞（碰撞時間極短）。若兩球只發(fā)生一次碰撞，且最終兩球的距離保持不變，求

二．爆炸模型

【模型解讀】爆炸是在極短時間內(nèi)完成的，爆炸時物體之間的相互作用力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)所受外力，系統(tǒng)動量守恒。在爆炸過程中，由于有其它形式的能量（炸藥的化學(xué)能）轉(zhuǎn)化為機械能，爆炸過程中系統(tǒng)動能一定增加。

例2．如圖所示，水平面上OM正中間有質(zhì)量分別為2m、m的兩物塊B、C（中間粘有炸藥），現(xiàn)點燃炸藥，B、C被水平彈開，物塊C運動到O點時與剛好到達(dá)該點速度為v0的小物塊A發(fā)生迎面正碰，碰后兩者結(jié)合為一體向左滑動并剛好在M點與B相碰，不計一切摩擦，三物塊均可視為質(zhì)點，重力加速度為g=10m/s2，求炸藥點燃后釋放的能量E．

【點評】凡是內(nèi)力瞬時做功，使系統(tǒng)機械能瞬時增大的都可以歸納為爆炸模型。在“爆炸”過程中，動量守恒，內(nèi)力瞬時做功等于系統(tǒng)增大的機械能。

針對訓(xùn)練題

1.一置于桌面上質(zhì)量為M的玩具炮，水平發(fā)射質(zhì)量為m的炮彈．炮可在水平方向自由移動．當(dāng)炮身上未放置其它重物時，炮彈可擊中水平地面上的目標(biāo)A；當(dāng)炮身上固定一質(zhì)量為M0的重物時，在原發(fā)射位置沿同一方向發(fā)射的炮彈可擊中水平地面上的目標(biāo)B．炮口離水平地面的高度為h．如果兩次發(fā)射時

“火藥”提供的機械能相等，求B、A兩目標(biāo)與炮彈發(fā)射點之間的水平距離之比。

【名師解析】：由動量守恒定律和能量守恒定律得：

解得：

炮彈射出后做平拋，有：

解得目標(biāo)A距炮口的水平距離為：

同理，目標(biāo)B距炮口的水平距離為：

解得：

2.有一炮豎直向上發(fā)射炮彈,炮彈的質(zhì)量為M=6.0kg(內(nèi)含炸藥的質(zhì)量可以忽略不計),射出時的初速度v0=60m/s。當(dāng)炮彈到達(dá)最高點時爆炸為沿水平方向運動的兩片,其中一片質(zhì)量為m=4.0kg?，F(xiàn)要求這一片不能落到以發(fā)射點為圓心、以R=600m為半徑的圓周范圍內(nèi),則剛爆炸完時兩彈片的總動能至少多大？(,忽略空氣阻力)

本題考查反沖模型的動量守恒問題，炮彈射出后根據(jù)豎直上拋規(guī)律計算出初速度，再由射出過程中系統(tǒng)動量守恒可計算出相關(guān)速度和物理量

設(shè)炮彈止升到達(dá)最高點的高度為H,根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律,有：

解得，=180m

設(shè)質(zhì)量為M的彈片剛爆炸后，其中質(zhì)量為m的一塊的速度為,另一塊的速度為,根據(jù)動量守恒定律,有：

設(shè)質(zhì)量為的彈片運動的時間為,根據(jù)平拋運動規(guī)律,有：

解得，v=100m/s,V=200m/s

炮彈剛爆炸后,兩彈片的總動能

……1分

代入數(shù)值得………1分

從地面豎直向上發(fā)射一枚禮花彈，當(dāng)上升速度為30

m／s時，距地面高度為150

m，恰好此時禮花彈炸開，分裂成質(zhì)量相等的兩部分，其中一部分經(jīng)5

s落回發(fā)射點，求：

（1）另一部分炸開時的速度.(2)

另一部分落點位置和落回地面的時間。

（2）另一部分做豎直上拋運動，落回到拋出點。

由-

h=v2t2-gt22，解得：t2=s。

舍棄負(fù)值，得t2=s。

4.如圖所示，在光滑水平面上，有一長L=2m的木板C，它的兩端各有一塊擋板，C的質(zhì)量mC＝5kg，在C的正中央并排放著兩個可視為質(zhì)點的物塊A和B，質(zhì)量分別是mA＝1kg，mB＝4kg，開始時A、B、C都靜止，A、B間夾有少量的塑膠炸藥，由于炸藥爆炸，使得A以6m／s的速度水平向左滑動，如果C的上表面光滑，物塊與擋板相碰后都粘合在擋板上，求：

（2）炸藥爆炸，A、B獲得的速度大小分別為vA、vB．以向左為正方向，有：

mAvA-mBvB=0，解得：vB=1.5m/s，方向向右

炸藥爆炸后，炸藥對A、B物體做的總功是

W=mAvA2-mBvB2=22.5J

(3)然后A向左運動，與擋板相撞并合成一體，共同速度大小為vAC，由動量守恒，有：

mAvA=（mA+mC）vAC，解得：vAC=1m/s

此過程持續(xù)的時間為：t1=

=1/6s。

此后，設(shè)經(jīng)過t2時間B與擋板相撞并合成一體，則有：

L/2=vACt2+vB（t1+t2），解得：t2=0.3s

所以，板C的總位移為：xC=vACt2=0.3m，方向向左

答案：（1）板C的速度是0

（2）炸藥爆炸后，炸藥對A、B物體做的總功是22.5J。

（3）板C的位移大小是0.3m，方向向左．

如圖所示，一條軌道固定在豎直平面內(nèi)，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O(shè)為圓心、R為半徑的一小段圓弧?？梢暈橘|(zhì)點的物塊A和B緊靠在一起，靜止于b處，A的質(zhì)量是B的3倍。兩物塊在足夠大的內(nèi)力作用下突然分離，分別向左、右始終沿軌道運動。B到d點時速度沿水平方向，此時軌道對B的支持力大小等于B所受重力的，A與ab段的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度g，求：

（ii）碰撞過程中系統(tǒng)機械能損失：⑥

解得：

8.（10分）如圖所示，AB為光滑的斜面軌道，通過一小段光滑圓弧與光滑水平軌道BC相連接，小球乙靜止于水平軌道上。一個質(zhì)量大于小球乙的小球甲以水平速度v0與乙球發(fā)生彈性正碰，碰后乙球沿水平軌道滑向斜面軌道AB。求：在甲、乙發(fā)生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能達(dá)到最大高度的范圍（設(shè)斜面軌道足夠長，重力加速度為g）。

當(dāng)M遠(yuǎn)大于m時，當(dāng)M=m時，（1分）

由乙球碰后，滑上斜面過程中機械能守恒得：

（2分）

解得：

所以有：

v0＜v2＜2v0

＜h＜

（2分）

三．反沖模型

【模型解讀】物體的不同部分在內(nèi)力作用下向相反方向的運動，稱為反沖。反沖的特點是物體間相互作用的內(nèi)力大，在外力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)力情況下，可以認(rèn)為動量守恒。常見的反沖現(xiàn)象有：噴氣式飛機的運動，火箭的運動，放射性元素的衰變等。

例3.一個連同裝備總質(zhì)量為M=100kg的宇航員，在距離飛船x=45m處與飛船處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，宇航員背著裝有質(zhì)量為m0=0.5

kg氧氣的貯氣筒。筒上裝有可以使氧氣以v=50

m/s的速度噴出的噴嘴，宇航員必須向著返回飛船的相反方向放出氧氣，才能回到飛船，同時又必須保留一部分氧氣供途中呼吸用，宇航員的耗氧率為Q=2.5×10-4

kg/s，不考慮噴出氧氣對設(shè)備及宇航員總質(zhì)量的影響，則：

(1)瞬時噴出多少氧氣，宇航員才能安全返回飛船？

(2)為了使總耗氧量最低，應(yīng)一次噴出多少氧氣？返回時間又是多少？

【名師解析】

(1)由題述可知所求的噴出氧氣的質(zhì)量m應(yīng)有一個范圍，若m太小，宇航員獲得的速度也小，雖貯氣筒中剩余的氧氣較多，但由于返回飛船所用的時間太長，將無法滿足他途中呼吸所用，若m太大，宇航員獲得的速度雖然大了，而筒中氧氣太少，也無法滿足其呼吸作用，所以m對應(yīng)的最小和最大兩個臨界值都應(yīng)是氧氣恰好用完的情況，設(shè)瞬間噴氣m

kg時，宇航員恰能安全返回，根據(jù)動量守恒定律可得：

mv=MV

①

宇航員勻速返回的時間為

t=x/V

②

貯氣筒中氧氣的總質(zhì)量：m0≥m+Qt

③

代入數(shù)據(jù)可得0.05

kg≤m≤0.45

kg

(2)當(dāng)總耗氧量最低時，宇航員安全返回，共消耗氧氣△m，則△m=m+Qt

④

由①②④可得

△m=+m=+m

當(dāng)m

=，即m=0.15

kg時，△m有極小值，故總耗氧量最低時，應(yīng)一次噴出m=0.15

kg的氧氣。

將m=0.15

kg代入①②兩式可解得返回時間：t=600

s。

【點評】若向前瞬時噴出微量氣體，根據(jù)動量定理，則受到一個向后的瞬時作用力，具有一個瞬時加速度，獲得一個速度后退。若向前持續(xù)噴出氣體，則速度一個向后的持續(xù)力，具有持續(xù)的加速度。

針對訓(xùn)練題

一．選擇題

1．運送人造地球衛(wèi)星的火箭開始工作后，火箭做加速運動的原因是()

A．燃料燃燒推動空氣，空氣反作用力推動火箭

B．火箭發(fā)動機將燃料燃燒產(chǎn)生的氣體向后排出，氣體的反作用力推動火箭

C．火箭吸入空氣，然后向后排出，空氣對火箭的反作用力推動火箭

D．火箭燃料燃燒發(fā)熱，加熱周圍空氣，空氣膨脹推動火箭

2．靜止的實驗火箭，總質(zhì)量為M，當(dāng)它以對地速度為v0噴出質(zhì)量為Δm的高溫氣體后，火箭的速度為()

A.B．－

C.D．－

【名師解析】：取火箭及氣體為系統(tǒng)，則氣流在向外噴氣過程中滿足動量守恒定律，由動量守恒定律得0＝Δmv0＋(M－Δm)v

解得v＝－v0，所以B選項正確。

3．一小型火箭在高空繞地球做勻速圓周運動，若其沿運動方向的相反方向射出一物體P，不計空氣阻力，則()

A．火箭一定離開原來軌道運動

B．P一定離開原來軌道運動

C．火箭運動半徑可能不變

D．P運動半徑一定減小

【名師解析】：火箭射出物體P后，由反沖原理火箭速度變大，所需向心力變大，從而做離心運動離開原來軌道，半徑增大A項對，C項錯；P的速率可能減小，可能不變，可能增大，運動也存在多種可能性，所以B、D錯。

4．一裝有柴油的船靜止于水平面上，船前艙進(jìn)水，堵住漏洞后用一水泵把前艙的油抽往后艙，如圖所示。不計水的阻力，船的運動情況是

A．向前運動

B．向后運動

C．靜止

D．無法判斷

二．計算題

1．一火箭噴氣發(fā)動機每次噴出m＝200

g的氣體，噴出的氣體相對地面的速度v＝1

000

m/s。設(shè)此火箭初始質(zhì)量M＝300

kg，發(fā)動機每秒噴氣20次，在不考慮地球引力及空氣阻力的情況下，火箭發(fā)動機1

s末的速度是多大？

【名師解析】：以火箭和它在1

s內(nèi)噴出的氣體為研究對象，系統(tǒng)動量守恒。設(shè)火箭1

s末的速度為v′，1

s內(nèi)共噴出質(zhì)量為20m的氣體，以火箭前進(jìn)的方向為正方向。

由動量守恒定律得(M－20m)v′－20mv＝0，解得v′＝＝

m/s≈13.5

m/s。

答案：13.5

m/s

2．如圖5－4所示，一對雜技演員(都視為質(zhì)點)蕩秋千(秋千繩處于水平位置)從A點由靜止出發(fā)繞O點下擺，當(dāng)擺到最低點B時，女演員在極短時間內(nèi)將男演員沿水平方向推出，然后自己剛好能回到高處A。求男演員落地點C與O點的水平距離x。已知男演員質(zhì)量m1和女演員質(zhì)量m2之比＝2，秋千的質(zhì)量不計，秋千的擺長為R，C點比O點低5R。

3.課外科技小組制作了一只水火箭，用壓縮空氣壓出水流使火箭運動。用壓縮空氣壓出水流使火箭運動。假如噴出的水流流量保持為2×10-4m3/s，噴出速度保持為對地10

m/s。啟動前火箭總質(zhì)量為1.4kg，則啟動2s末火箭的速度可以達(dá)到多少？已知火箭沿水平軌道運動阻力不計，水的密度是103kg/m3。

【名師解析】

“水火箭”噴出水流做反沖運動．設(shè)火箭原來總質(zhì)量為M，噴出水流的流量為Q，水的密度為ρ，噴出水流的速度為v，火箭的反沖速度為v′，由動量守恒定律得

(M-ρQt)v’=ρQtv，火箭啟動2

s末的速度為

v′＝＝4

m/s。

平板車停在水平光滑的軌道上，平板車上有一人從固定在車上的貨廂邊沿水平方向順著軌道方向跳出，落在平板車上的A點，距貨廂水平距離為l=4

m，如圖所示。人的質(zhì)量為m，車連同貨廂的質(zhì)量為M=4

m，貨廂高度為h=1.25

m(g取10

m/s2)。求：

5.連同炮彈在內(nèi)的炮車停放在水平地面上，炮車質(zhì)量為M,炮膛中炮彈質(zhì)量為m,炮車與地面間的動摩擦因數(shù)為μ,炮筒的仰角為α,設(shè)炮彈以相對于炮筒的速度v0射出,那么炮車在地面上后退多遠(yuǎn)?

【名師解析】：在發(fā)炮瞬間，炮車與炮彈組成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒．，所以．

發(fā)炮后，炮車受地面阻力作用而做勻減速運動，利用運動學(xué)公式，其中，所以．

四．子彈打木塊模型

【模型解讀】若木塊不固定，子彈打木塊過程中，子彈與木塊的作用力遠(yuǎn)大于木塊所受阻力，系統(tǒng)動量守恒。子彈打木塊過程中，子彈和木塊的位移不同，二者相互作用，導(dǎo)致系統(tǒng)機械能減小，減小的機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。對于子彈打木塊問題，若計算相互作用前后的速度，可利用動量守恒定律列方程解答；若涉及相互作用的時間，一般需要利用動量定理列方程解答；若涉及子彈打入木塊的深度，一般需要分別對子彈和木塊分別運用動量定理列方程解答。

例4

.如圖所示，在光滑水平地面上的木塊M緊挨輕彈簧靠墻放置。子彈m以速度v0沿水平方向射入木塊并在極短時間內(nèi)相對于木塊靜止下來，然后木塊壓縮勁度系數(shù)未知彈簧至彈簧最短．已知子彈質(zhì)量為m，木塊質(zhì)量是子彈質(zhì)量的9倍，即M=9m；彈簧最短時彈簧被壓縮了△x；勁度系數(shù)為k、形變量為x的彈簧的彈性勢能可表示為Ep=kx2。求：

（2）設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，根據(jù)題述，彈簧最短時彈簧被壓縮了△x，其彈性勢能可表示為Ep=k(△x)2

木塊壓縮輕彈簧過程，由機械能守恒定律，(m+M)v2=Ep

解得：彈簧的勁度系數(shù)k=.【點評】此題涉及兩個模型，子彈打木塊模型和輕彈簧模型。子彈打木塊模型，一定有機械能損失，損失的機械能等于系統(tǒng)動能之差，也等于子彈所受阻力乘以子彈打入木塊的深度（若子彈從木塊穿出，則損失的機械能等于子彈所受阻力乘以木塊長度）。

針對訓(xùn)練題

1（8分）（2016高考海南物理）如圖，物塊A通過一不可伸長的輕繩懸掛在天花板下，初始時靜止；從發(fā)射器（圖中未畫出）射出的物塊B沿水平方向與A相撞，碰撞后兩者粘連在一起運動，碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由傳感器（圖中未畫出）測得。某同學(xué)以h為縱坐標(biāo)，v2為橫坐標(biāo)，利用實驗數(shù)據(jù)作直線擬合，求得該直線的斜率為k=1.92

×10-3s2/m。已知物塊A和B的質(zhì)量分別為mA=0.400kg和mB=0.100kg，重力加速度大小g=9.8m/s2。

【名師解析】

（2）（8分）

（i）設(shè)物塊A和B碰撞后共同運動的速度為,由動量守恒定律有

①

在碰撞后A和B共同上升的過程中，由機械能守恒定律有

②

聯(lián)立①②式得

③

由題意得

④

代入題給數(shù)據(jù)得

⑤

評分參考：第（i）問7分，①②式各2分，③④⑤式各1分；第（ii）問1分，⑦式1分。

如圖所示，在固定的光滑水平桿上，套有一個質(zhì)量為m=0.5kg的光滑金屬圓環(huán)，輕繩一端拴在環(huán)上，另一端系著一個質(zhì)量為M=1.98kg的木塊，現(xiàn)有一質(zhì)量為m0=20g的子彈以v0=100m/s的水平速度射入木塊并留在木塊中（不計空氣阻力和子彈與木塊作用的時間，g取10m/s2）

求：

①子彈射入木塊過程，系統(tǒng)的動量守恒，取向右方向為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：則有：m0v0=（m0+M）v

得：v=1m/s

機械能只在該過程有損失，損失的機械能為?△E=m0v02-

(m0+M)

v2?=99J

3.如圖所示，兩物塊A、B并排靜置于高h(yuǎn)=0.80m的光滑水平桌面上，兩物塊的質(zhì)量均為M=0.60kg。一顆質(zhì)量m=0.10kg的子彈C以v0=100m/s的水平速度從左面射入A物塊，子彈射穿A后接著射入B并留在B中，此時A、B都沒有離開桌面。已知物塊A的長度為0.27m，A離開桌面后，落地點到桌邊的水平距離s=2.0m。設(shè)子彈在物塊A、B

中穿行時受到的阻力保持不變，g取10m/s2。求：

(1)子彈射穿物塊A后，A以速度vA沿桌面水平向右勻速運動，離開桌面后做平拋運動

t=0.40s

A離開桌邊的速度

=5.0m/s

設(shè)子彈射入物塊B后，子彈與B的共同速度為vB，子彈與兩物塊作用過程系統(tǒng)動量守恒：

B離開桌邊的速度=10m/s

（2）設(shè)子彈離開A時的速度為，子彈與物塊A作用過程系統(tǒng)動量守恒：

解得：m/s

子彈在物塊B中穿行的過程中，由能量守恒

①

子彈在物塊A中穿行的過程中，由能量守恒

②

由①②解得m

?

本題考查動量守恒與能量守恒的應(yīng)用，物塊A被子彈射穿后做平拋運動飛出桌面，由平拋運動規(guī)律可求得平拋運動的初速度及子彈射穿后木塊的速度，在子彈射穿木塊過程中系統(tǒng)動量守恒，子彈射進(jìn)木塊B中，木塊B向右加速，使得A、B分離，如果以子彈、木塊A、B為一個系統(tǒng)，內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動量始終守恒，初狀態(tài)為AB靜止，末狀態(tài)為子彈與B共速，列式可求得B的速度，再以子彈和木塊A為研究對象，動量守恒可求得子彈飛出后的速度，此時AB速度相同，再以子彈和B為一個系統(tǒng)，系統(tǒng)動能的減小量完全轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，系統(tǒng)的內(nèi)能為阻力乘以相對距離及打進(jìn)物體B的深度，由此可求解。

如圖所示，質(zhì)量為mB=2kg的平板車B上表面水平，開始時靜止在光滑水平面上，在平板車左端靜止著一塊質(zhì)量為mA=2kg的物體A，一顆質(zhì)量為m0=0.01kg的子彈以υ0=600m/s的水平初速度瞬間射穿A后，速度變?yōu)棣?=100m/s，已知A、B之間的動摩擦因數(shù)不為零，且A與B最終達(dá)到相對靜止．

（1）

（2）對A、B組成的系統(tǒng)研究，根據(jù)動量守恒定律得：

mAvA=（mA+mB）v1

代入數(shù)據(jù)得：2×2.5=（2+2）v1

解得：v1=1.25m/s．

（3）對B，取向右方向為正，根據(jù)動量定理得：

μmBgt=mBv1

解得：μ=

=0.5。

5.如圖，一質(zhì)量為M的物快靜止在桌面邊緣，桌面離水平地面的高度為h。一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射入物塊后，以水平速度v0/2射出。重力加速度為g。

（2）設(shè)物塊下落到地面所面時間為t，落地點距桌面邊緣的水平距離為s，則

⑤

s=Vt

⑥

由②⑤⑥得S=

⑦

6.裝甲車和戰(zhàn)艦采用多層鋼板比采用同樣質(zhì)量的單層鋼板更能抵御穿甲彈的射擊．通過對一下簡化模型的計算可以粗略說明其原因．質(zhì)量為2m、厚度為2d的鋼板靜止在水平光滑桌面上．質(zhì)量為m的子彈以某一速度垂直射向該鋼板，剛好能將鋼板射穿．現(xiàn)把鋼板分成厚度均為d、質(zhì)量均為m的相同兩塊，間隔一段距離水平放置，如圖所示．若子彈以相同的速度垂直射向第一塊鋼板，穿出后再射向第二塊鋼板，求子彈射入第二塊鋼板的深度．設(shè)子彈在鋼板中受到的阻力為恒力，且兩塊鋼板不會發(fā)生碰撞不計重力影響．

【名師解析】

質(zhì)量為m的子彈以某一速度V垂直射向該鋼板，剛好能將鋼板射穿且鋼板和子彈獲得速度為V，則由系統(tǒng)動量守恒和摩擦力做功等于系統(tǒng)動能的減少得：

mv=（m+2m）v…①

…②

質(zhì)量為m的子彈以某一速度V垂直射穿第一塊鋼板，獲得速度V1，鋼板速度V2

則由系統(tǒng)動量守恒和摩擦力做功等于系統(tǒng)動能的減少

mv=mv1+mv2…③

…④

質(zhì)量為m的子彈以速度V1垂直射向第二塊鋼板在第二塊鋼板中進(jìn)入深度d，公共速度V3，則由系統(tǒng)動量守恒和摩擦力做功等于系統(tǒng)動能的減少

mv1=2mv3…⑤

…⑥

聯(lián)立以上六式化簡得

答：子彈射入第二塊鋼板的深度

五．人船模型

【模型解讀】人在船上靜止在水面，人在船上行走，船后退，若人船系統(tǒng)所受的合外力為零（不考慮船運動所受水的阻力），則人船系統(tǒng)動量守恒。由m1v1=m2v2，解得：=.。對于相互作用的整個過程，有=.。兩個原來靜止的物體發(fā)生相互作用時，若系統(tǒng)所受的合外力為零，都可視為人船模型。解答時，可畫出兩個物體位移關(guān)系圖，確定兩個物體的位移關(guān)系。

“人船模型”是動量守恒定律的拓展應(yīng)用，它把速度和質(zhì)量的關(guān)系推廣到質(zhì)量和位移的關(guān)系，這樣給我們提供了一種解題思路和解決問題的方法。人船問題的適用條件是：兩個物體組成的系統(tǒng)(當(dāng)有多個物體組成系統(tǒng)時，可以先轉(zhuǎn)化為兩個物體組成的系統(tǒng))動量守恒，系統(tǒng)的合動量為零。

這種模型中涉及兩種題型，一種題型是求解某物體在相互作用過程中通過的位移，此題型中需根據(jù)動量守恒、位移關(guān)系得到兩個關(guān)系求解，如在圖中，人從船頭走到船尾時由動量守恒可得：

再由圖中幾何關(guān)系有

可得人船的位移分別為

另一種題型是求某一時刻物體的速度，這種題型是先要由動量守恒求得兩物體的一個速度關(guān)系，再由能量守恒得到兩物體的另一個速度關(guān)系，從而求得物體的瞬時速度(或與瞬時速度相關(guān)的物理量)。

例5.如圖所示，質(zhì)量為m、半徑為r的小球，放在內(nèi)半徑為R，質(zhì)量為M=3m的大空心球內(nèi)，大球開始靜止在光滑水平面上，當(dāng)小球由圖中位置無初速度釋放后沿內(nèi)壁滾到最低點時，大球移動的距離為（）

【點評】對于人船模型問題，畫出示意圖可清晰兩物體之間的位移關(guān)系。

針對訓(xùn)練題

1．氣球質(zhì)量為200

kg，載有質(zhì)量為50

kg的人，靜止在空氣中距地面20

m高的地方，氣球下方懸一根質(zhì)量可忽略不計的繩子，此人想從氣球上沿繩慢慢下滑至地面，為了安全到達(dá)地面，則這繩長至少應(yīng)為多長？(不計人的高度)

【名師解析】(此題為豎直方向上的“人船模型”)

下滑過程人和氣球組成的系統(tǒng)總動量為零且守恒，以向下為正方向，設(shè)m1、m2分別為人和氣球的質(zhì)量，v1、v2分別為人和氣球的平均速度大小，則

m1v1－m2v2＝0，m1x1－m2x2＝0，x1＝20

m，x2＝＝5

m，繩長l＝x1＋x2＝25

m。

答案：25

m

2．質(zhì)量為m的人站在質(zhì)量為M、長度為L的靜止小船的右端，小船的左端靠在岸邊，當(dāng)他向左走到船的左端時，船左端離岸多遠(yuǎn)？

3．質(zhì)量為m的木塊和質(zhì)量為M的鐵塊用細(xì)繩系在一起處于深水中靜止。剪斷細(xì)繩，木塊上浮，鐵塊下沉。當(dāng)木塊上浮距離h時（還沒有露出水面），鐵塊下沉的距離是多少？

把木塊和鐵塊看作一個系統(tǒng)，所受浮力與重力相等，在豎直方向合外力為零，滿足動量守恒定律。可視為豎直方向的人船模型，mh-MH=0，解得：H=mh/M。

4.如圖所示，質(zhì)量為M的小車靜止在光滑的水平地面上，車上裝有半徑為R的半圓形光滑軌道，現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球在軌道的邊緣由靜止釋放，當(dāng)小球滑至半圓軌道的最低位置時，小車移動的距離為多少？小球的速度大小為多少？

六．彈簧連接體模型

【模型解讀】兩個物體在相對運動過程中通過彈簧發(fā)生相互作用，系統(tǒng)動量守恒，機械能守恒。

例6..如圖所示，A、B兩物體的中間用一段細(xì)繩相連并有一壓縮的彈簧，放在平板小車C上后，A、B、C均處于靜止?fàn)顟B(tài)。若地面光滑，則在細(xì)繩被剪斷后，A、B從C上未滑離之前，A、B在C上向相反方向滑動的過程中

【點評】此題涉及A、B、C三個物體，解答三體問題，正確選擇研究對象，明確外力和內(nèi)力是關(guān)鍵。彈簧彈力對A、B組成的系統(tǒng)和A、B、C組成的系統(tǒng)都是內(nèi)力；A、B與C之間的摩擦力對A、B組成的系統(tǒng)是外力，對A、B、C組成的系統(tǒng)是內(nèi)力。

針對訓(xùn)練題

1.【河北定州中學(xué)2016-2017學(xué)年第一學(xué)期高三物理周練試題（一）】在相互平行且足夠長的兩根水平光滑的硬桿上，穿著三個半徑相同的剛性球A、B、C，三球的質(zhì)量分別為mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg，初狀態(tài)BC球之間連著一根輕質(zhì)彈簧并處于靜止，B、C連線與桿垂直并且彈簧剛好處于原長狀態(tài)，A球以v0=9m/s的速度向左運動，與同一桿上的B球發(fā)生完全非彈性碰撞（碰撞時間極短），求：

【參考答案】（1）；（2）；（3）零。

（1）A、B發(fā)生完全非彈性碰撞，根據(jù)動量守恒定律有：

碰后A、B的共同速度

損失的機械能

考點：動量守恒定律的應(yīng)用，彈性碰撞和完全非彈性碰撞。

【名師點睛】A、B發(fā)生彈性碰撞，碰撞的過程中動量守恒、機械能守恒，結(jié)合動量守恒定律和機械能守恒定律求出A球與B球碰撞中損耗的機械能．當(dāng)B、C速度相等時，彈簧伸長量最大，彈性勢能最大，結(jié)合B、C在水平方向上動量守恒、能量守恒求出最大的彈性勢能．彈簧第一次恢復(fù)原長時，由系統(tǒng)的動量守恒和能量守恒結(jié)合解答

2.（2016貴陽花溪清華四模）如圖甲所示，物塊A、B的質(zhì)量分別是mA=4.0kg和mB=3.0kg.用輕彈簧栓接，放在光滑的水平地面上，物塊B右側(cè)與豎直墻相接觸.另有一物塊C從t=0時以一定速度向右運動，在t=4s時與物塊A相碰，并立即與A粘在一起不再分開，物塊C的v-t圖象如圖乙所示.求：

③12s，B離開墻壁，之后A、B、C及彈簧組成的系統(tǒng)動量和機械能守恒，且當(dāng)A.C與B速度相等時，彈簧彈性勢能最大.得Ep=9J。

3.光滑水平面上放著質(zhì)量mA

＝1

kg的物塊A與質(zhì)量為mB

＝2

kg的物塊B，A與B均可視為質(zhì)點，A靠在豎直墻壁上，A、B間夾一個被壓縮的輕彈簧（彈簧與A、B均不拴接），用手擋住B不動，此時彈簧彈性勢能為Ep＝

J．在A、B間系一輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩長度大于彈簧的自然長度，如圖所示．放手后B向右運動，繩在短暫時間內(nèi)被拉斷，之后B沖上與水平面相切的豎直半圓光滑軌道，其半徑R＝0.5

m，B恰能運動到最高點C．取g＝10

m/s2，求：

⑵設(shè)彈簧恢復(fù)到自然長度時B的速度為v1，取水平向右為正方向，有

I＝mBvB－mBv1

解得：I＝－4

N·s，其大小為4N·s

⑶設(shè)繩斷后A的速度為vA，取水平向右為正方向，有

mBv1＝mBvB＋mAvA

解得：W＝8

J。

4.如圖所示，在光滑水平地面上，有一質(zhì)量為m1=4.0kg的平板小車，小車的右端有一固定的豎直擋板，擋板上固定一輕質(zhì)細(xì)彈簧。位于小車上A點處質(zhì)量m2＝1.0kg的木塊(可視為質(zhì)點)與彈簧的左端相接觸但不連接，此時彈簧與木塊間無相互作用力。木塊與A點左側(cè)的車面之間的動摩擦因數(shù)μ＝

0.40，木塊與A點右側(cè)的車面之間的摩擦可忽略不計?，F(xiàn)小車與木塊一起以v0＝

2.0m/s的初速度向右運動，小車將與其右側(cè)的豎直墻壁發(fā)生碰撞，已知碰撞時間極短，碰撞后小車以v

1＝

1.0m/s的速度反向彈回，已知重力加速度g取10m/s2，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求:

(1)小車撞墻后彈簧的最大彈性勢能；

(2)要使木塊最終不從小車上滑落，則車面A點左側(cè)粗糙部分的長度應(yīng)滿足什么條件?

?

?

?

（2）根據(jù)題意，木塊被彈簧彈出后滑到A點左側(cè)某處與小車具有相同的速度v’

時，木塊將不會從小車上滑落,此過程中，二者組成的系統(tǒng)動量守恒，故有v’

=v=0.40m/s，⑤

木塊在A點右側(cè)運動過程中，系統(tǒng)的機械能守恒，而在A點左側(cè)相對滑動過程中將克服摩擦阻力做功，設(shè)此過程中滑行的最大相對位移為L，根據(jù)功能關(guān)系有

μm2gL=

m1v12+m2v02－（m1+m2）v’2，⑥

解得L=0.90m，⑦

即車面A點左側(cè)粗糙部分的長度應(yīng)大于0.90m。

5.如圖所示，在光滑水平地面上有一固定的擋板，擋板上固定一個輕彈簧．現(xiàn)有一質(zhì)量M=3kg，長L=4m的小車AB(其中O為小車的中點，AO部分粗糙，OB部分光滑)，一質(zhì)量為m=1kg的小物塊(可視為質(zhì)點)，放在車的最左端，車和小物塊一起以v0=4m/s的速度在水平面上向右勻速運動，車撞到擋板后瞬間速度變?yōu)榱悖磁c擋板粘連．已知車OB部分的長度大于彈簧的自然長度，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，小物塊與車AO部分之間的動摩擦因數(shù)為μ0.3，重力加速度g=10m/s2．求：

（2）設(shè)小物塊離開彈簧時的速度為v1，有Ep=mv12，⑤

對小物塊，根據(jù)動量定理

I=-

mv1-

mv

⑥

由⑤⑥式并代入數(shù)據(jù)得I=-4kg·m/s，⑦

彈簧對小物塊的沖量大小為4kg·m/s，方向水平向左。⑧

（3）小物塊滑過O點和小車相互作用，根據(jù)動量守恒

mv1=(m+M)v2，⑨

由能量守恒定律，μmgx=mv12+

(m+M)v22，⑩

小物塊最終停在小車上距A的距離

xA=L/2-x

⑾

由⑦⑧⑨式并代入數(shù)據(jù)得xA=1.5m

⑿

七．物快木板疊放體模型

【模型解讀】木板放在光滑水平面上，物快在木板上運動，相互作用的是摩擦力，系統(tǒng)動量守恒。物快在木板上相對運動過程中，摩擦生熱，產(chǎn)生熱量Q=fs，式中s為二者相對運動路程。

例7.如圖所示，平板車P的質(zhì)量為M，小物快Q的質(zhì)量為m，大小不計，位于平板車的左端，系統(tǒng)原來靜止在光滑水平地面上．一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩長為R，一端懸于Q的正上方高為R處，另一端系一質(zhì)量也為m的小球(大小不計)．今將小球拉至懸線與豎直位置成60°角，由靜止釋放，小球到達(dá)最低點時與Q碰撞的時間極短，且無能量損失，已知Q離開平板車時速度大小是平板車速度的兩倍，Q與P之間的動摩擦因數(shù)為μ，M：m=4：1，重力加速度為g．求：

（2）小球與物塊Q相撞時，沒有能量損失，滿足動量守恒，機械能守恒，則有：

mv0=mv1+mvQ

mv02=mv12+mvQ2

由以上兩式解得v1=0，vQ=v0=

小物塊Q在平板車上滑行的過程中，滿足動量守恒，設(shè)Q離開平板車時平板車的速度為v，則有：mvQ=Mv+m·2v又知M∶m=4∶1

聯(lián)立解得小物塊Q離開平板車時平板車的速度為：v=vQ=。

（3）小物塊Q在平板車P上滑動的過程中，部分動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，知：μmgL=mvQ2-Mv2-m·(2v)2，解得平板車P的長度為：L=.【點評】此題涉及三個物體三個過程，分別為小球由靜止擺到最低點的機械能守恒過程，小球與小物快的碰撞過程（動量守恒，動能守恒），小物塊Q在平板車上滑行的過程（動量守恒，機械能不守恒）。對于多物體多過程問題，要根據(jù)題述物理過程，正確選擇系統(tǒng)和過程，運用相關(guān)物理規(guī)律列方程解答。

針對訓(xùn)練題

1.如圖所示，質(zhì)量m=2kg的滑塊（可視為質(zhì)點），以v0=5m/s的水平初速度滑上靜止在光滑水平面的平板小車，若平板小車質(zhì)量M=3kg，長L=4.8m?；瑝K在平板小車上滑移1.5s后相對小車靜止。求：

ⅱ.設(shè)當(dāng)滑塊剛滑到平板小車的右端時，兩者恰有共同速度，為v2

由動量守恒定律：

解得：

考點：考查了動量守恒，動能定理

【名師點睛】以滑塊與小車組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)所受合外力為零，由動量守恒定律可以求出它們共同運動時的速度，對滑塊由動量定理可以求出動摩擦因數(shù)．根據(jù)能量守恒定律求出滑塊的最大初速度．

2.一質(zhì)量為2m的物體P靜止于光滑水平地面上，其截面如圖所示。圖中ab為粗糙的水平面，長度為L；bc為一光滑斜面，斜面和水平面通過與ab和bc均相切的長度可忽略的光滑圓弧連接?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的木塊以大小為v0的水平初速度從a點向左運動，在斜面上上升的最大高度為h，返回后在到達(dá)a點前與物體P相對靜止。重力加速度為g。求：

（2）

木塊返回與物體P第二次達(dá)到共同速度與第一次相同（動量守恒）全過程能量守恒得：?mv02=

(m+2m)

v2+

f(2L-s)

聯(lián)立解得：s=L。

3.如圖所示，在光滑水平面上有木塊A和B，mA=0.5kg，mB=0.4kg，它們的上表面是粗糙的。今有一鐵塊C，mC=0.1kg，以初速度v0＝10m/s沿兩木塊表面滑過，最后停止B上，此時B、C以共同速度v＝1.5m/s運動，求：

【名師解析】

（1）由動量守恒定律，mC

v0＝mA

vA+（mB

+

mC）v

解得：vA＝0.5m/s。

（2）由動量守恒定律，mC

v0＝（mB

+mA）

vA+

mCvC

解得：vC＝5.5m/s。

4.(2017長春質(zhì)檢)如圖所示,在光滑的水平面上靜止著一個質(zhì)量為4m的木板B,B的左端靜止著一個質(zhì)量為2m的物塊A,已知A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ,現(xiàn)有質(zhì)量為m的小球以水平速度v0。飛來與A物塊碰撞后立即以大小為v0的速率彈回,在整個過程中物塊A始終未滑離木板B,且物塊A可視為質(zhì)點,求：

①相對B靜止后的速度；

②木板B至少多長?

5.(2017唐山第一次調(diào)研)

質(zhì)量m1=1kg的木板放在光滑水平地面上，質(zhì)量m2=0.2kg的木塊置于木板的右端，木板與木塊之間的動摩擦因數(shù)μ=0.3.某時刻二者同時開始運動，木板的初速度v01=3m/s，水平向右；木塊的初速度v02=1m/s，水平向左；如圖所示。已知重力加速度g=10m/s2，小木塊可視為質(zhì)點。求：

6．（2017天津靜海一中質(zhì)檢）如圖所示是固定在水平地面上的橫截面為“”形的光滑長直導(dǎo)軌槽，槽口向上（圖為俯視圖）．槽內(nèi)放置一個木質(zhì)滑塊，滑塊的左半部是半徑為R的半圓柱形光滑凹槽，木質(zhì)滑塊的寬度為2R，比“”形槽的寬度略小．現(xiàn)有半徑r（r＜＜R）的金屬小球以水平初速度v0=4m/s沖向滑塊，從滑塊的一側(cè)半圓形槽口邊緣進(jìn)入．已知金屬小球的質(zhì)量為m=1kg，木質(zhì)滑塊的質(zhì)量為M=3kg，整個運動過程中無機械能損失．求：

【名師解析】（1）設(shè)滑離時小球和滑塊的速度分別為v1和v2，選擇向右為正方向，由動量守恒：

mv0=mv1+Mv2

又

得v1=﹣2m/s，v2=2m/s

即金屬小球和木質(zhì)滑塊的速度的大小均為2m/s

7.如圖，用兩根等長的細(xì)線分別懸掛兩個彈性球A、B，球A的質(zhì)量為2m，球B的質(zhì)量為9m，一顆質(zhì)量為m的子彈以速度vo水平射入球A，并留在其中，子彈與球A作用時間極短；設(shè)A、B兩球作用為對心彈性碰撞．求：

（i）子彈與A球作用過程中，子彈和A球系統(tǒng)損失的機械能；

（ii）B球被碰撞后，從最低點運動到最高點過程中，合外力對B球沖量的大?。?/p>

根據(jù)擺動過程中動量的變化用動量定理有：I=△P=0﹣9mv2=﹣

所以合外力對B球沖量大小為，方向向左．

答：（1）子彈與A球作用過程中，子彈和A球系統(tǒng)損失的機械能為；

（2）B球被碰撞后，從最低點運動到最高點過程中，合外力對B球沖量的大小為．

動量守恒的十種模型精選訓(xùn)練8

動量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的規(guī)律之一，它不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域，而且適用于微觀、高速領(lǐng)域。通過對最新高考題和模擬題研究，可歸納出命題的十種模型。

八．多次碰撞模型

【模型解讀】若放在光滑水平面上的凹槽中的物體以某一速度與其碰撞，則會發(fā)生多次碰撞。對于發(fā)生多次碰撞的系統(tǒng)，若只需計算二者相對靜止時的速度，則可根據(jù)初末狀態(tài)利用動量守恒定律列方程解得。

例8.在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物塊B，物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖所示，L為1.0m，凹槽與物塊的質(zhì)量均為m，兩者之間的動摩擦因數(shù)μ為0.05，開始時物塊靜止，凹槽以v0＝5m/s初速度向右運動，設(shè)物塊與凹槽槽壁碰撞過程中沒有能量損失，且碰撞時間不計。g取10m/s2。求：

（3）設(shè)凹槽與物塊碰撞前的速度分別為v1、v2，碰撞后的速度分別為v1’、v2’，有

mv1+mv2=

mv1’+mv2’，mv12+mv22=

mv1’

2+mv2’

2，聯(lián)立解得：v1’=

v2，v2’=

v1。

即每碰撞一次凹槽與物塊發(fā)生一次速度交換，在同一坐標(biāo)系上兩者的速度圖線如圖所示。根據(jù)碰撞次數(shù)可分為13段。凹槽、物塊的v-t圖線在兩條連續(xù)的勻變速直線運動圖線間轉(zhuǎn)換，故可用勻變速直線運動規(guī)律求時間。則

v=v0+at，a=-μg，解得：t=5s。

凹槽的v-t圖線所包圍的陰影部分面積即為凹槽的位移大小s2。（等腰三角形面積共分13份，第一份面積為0.5L，其余每份面積均為L）。

s2=()t+6.5L，s2=12.75m。

【點評】對于兩個物體的多次碰撞模型，一般涉及動量守恒定律、動能定理等知識點，難度較大。對于限定路徑上的往返相對運動問題，若求相對靜止的位置或碰撞次數(shù)，關(guān)鍵是利用動能定理求出相對運動的路程。

針對訓(xùn)練題

1．(2016·云南名校統(tǒng)考)如圖所示，在水平光滑直導(dǎo)軌上，靜止著三個質(zhì)量為m＝1

kg的相同的小球A、B、C?，F(xiàn)讓A球以v0＝2

m/s的速度向B球運動，A、B兩球碰撞后粘在一起繼續(xù)向右運動并與C球碰撞，C球的最終速度vC＝1

m/s。問：

(2)A、B兩球與C球碰撞同樣滿足動量守恒定律，則有

2mv1＝mvC＋2mv2

相碰后A、B兩球的速度v2＝0.5

m/s

兩次碰撞損失的動能ΔEk＝mv－(2m)v－mv＝1.25

J。

2.水平光滑軌道AB與半徑為R=2m豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道平滑相接，質(zhì)量為m=0.2kg的小球從圖示位置C(C點與圓弧圓心的連線與豎直方向的夾角為60°)自靜止開始滑下，與放在圓弧末端B點的質(zhì)量為M=13kg的物體M相碰時，每次碰撞后反彈速率都是碰撞前速率的11/12，設(shè)AB足夠長，則m與M能夠發(fā)生多少次碰撞？

3.甲乙兩車總質(zhì)量（包括人、車及砂袋）均為500kg，在光滑水平面上沿同一直線相向而行，兩車速度大小分別為v甲=3.8m/s，v乙=1.8m/s，為了不相撞，甲車上的人將編號分別為1、2、3···n，質(zhì)量分別為1kg、2kg、3kg······nkg的砂袋依次均為20m/s相對地的速度水平拋入乙車，試求：

（1）第幾號砂袋投入乙車后，乙車速度為零？

（2）至少第幾號砂袋投入乙車后，若兩車尚未相碰，則不會相撞？

【名師解析】（1）以乙車和投入乙車的砂袋為系統(tǒng)，設(shè)乙車原來速度方向為正方向，第k號砂袋投入乙車后，乙車速度為零，則有

M

v乙-（m1+

m2+

m3+···+

mk）v0=（M+m1+

m2+

m3+···+

mk）v’乙，m1+

m2+

m3+···+

mk

=1+2+3+···+k=（1+k）k

v’乙=0

聯(lián)立解得：k=9.即第9號砂袋投入乙車后，乙車速度為零。

46．【2015·全國新課標(biāo)Ⅰ·35（2）】如圖，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間。A的質(zhì)量為，B、C的質(zhì)量都為，三者都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)使A以某一速度向右運動，求和之間滿足什么條件才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性的。

【參考答案】

【名師解析】設(shè)A運動的初速度為

A向右運動與C發(fā)生碰撞，根據(jù)彈性碰撞可得

可得

要使得A與B發(fā)生碰撞，需要滿足，即

A反向向左運動與B發(fā)生碰撞過程，彈性碰撞

整理可得

由于，所以A還會向右運動，根據(jù)要求不發(fā)生第二次碰撞，需要滿足

即

整理可得

解方程可得

【考點定位】

彈性碰撞

【名師點睛】對于彈性碰撞的動量守恒和能量守恒要熟知，對于和一個靜止的物體發(fā)生彈性碰撞后的速度表達(dá)式要熟記，如果考場來解析，太浪費時間。

7.雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大?，F(xiàn)將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始質(zhì)量為m0，初速度為v0，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙1。此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次變?yōu)閙2、m3……mn……（設(shè)各質(zhì)量為已知量）。不計空氣阻力。

（1）若不計重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考慮重力的影響，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的動能

vn′2；

（2）若考慮重力的影響，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運動，碰撞瞬間動量守恒。

a．

第1次碰撞前，v12

=

v02+2gl，解得v1=。

第1次碰撞后，m0v1=m1v1′，解得

v1′

=

v1=。

b.第2次碰撞前

v22

=

v1’2+2gl，解得v22=()2

v02+()2gl。

第2次碰撞后，m1v2=m2v2′，解得v2’2=

v02+2gl。

同理，第3次碰撞后v3’2=

v02+2gl。

…………

第n次碰撞后，vn’2=()2

v02+2gl。

動能：mnvn’2=（m02v02+2gl)。

【2015·全國新課標(biāo)Ⅰ·35（2）】如圖，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間。A的質(zhì)量為，B、C的質(zhì)量都為，三者都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)使A以某一速度向右運動，求和之間滿足什么條件才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性的。

【參考答案】

【名師解析】設(shè)A運動的初速度為

A向右運動與C發(fā)生碰撞，根據(jù)彈性碰撞可得

可得

要使得A與B發(fā)生碰撞，需要滿足，即

A反向向左運動與B發(fā)生碰撞過程，彈性碰撞

整理可得

由于，所以A還會向右運動，根據(jù)要求不發(fā)生第二次碰撞，需要滿足

即

整理可得

解方程可得

【考點定位】

彈性碰撞

【名師點睛】對于彈性碰撞的動量守恒和能量守恒要熟知，對于和一個靜止的物體發(fā)生彈性碰撞后的速度表達(dá)式要熟記，如果考場來解析，太浪費時間。

5.雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大。現(xiàn)將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始質(zhì)量為m0，初速度為v0，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙1。此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次變?yōu)閙2、m3……mn……（設(shè)各質(zhì)量為已知量）。不計空氣阻力。

（1）若不計重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考慮重力的影響，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的動能

vn′2；

（2）若考慮重力的影響，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運動，碰撞瞬間動量守恒。

a．

第1次碰撞前，v12

=

v02+2gl，解得v1=。

第1次碰撞后，m0v1=m1v1′，解得

v1′

=

v1=。

b.第2次碰撞前

v22

=

v1’2+2gl，解得v22=()2

v02+()2gl。

第2次碰撞后，m1v2=m2v2′，解得v2’2=

v02+2gl。

同理，第3次碰撞后v3’2=

v02+2gl。

…………

第n次碰撞后，vn’2=()2

v02+2gl。

動能：mnvn’2=（m02v02+2gl)。

動量守恒的十種模型精選訓(xùn)練9

動量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的規(guī)律之一，它不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域，而且適用于微觀、高速領(lǐng)域。通過對最新高考題和模擬題研究，可歸納出命題的十種模型。

九．臨界模型

例9．如圖，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時刻小孩將冰塊以相對冰面3

m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h＝0.3

m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質(zhì)量為m1＝30

kg，冰塊的質(zhì)量為m2＝10

kg，小孩與滑板始終無相對運動。取重力加速度的大小g＝10

m/s2。

(ⅰ)求斜面體的質(zhì)量；

(ⅱ)通過計算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？

(ⅱ)設(shè)小孩推出冰塊后的速度為v1，由動量守恒定律有m1v1＋m2v0＝0

④

代入數(shù)據(jù)得v1＝－1

m/s

⑤

設(shè)冰塊與斜面體分離后的速度分別為v2和v3，由動量守恒和機械能守恒定律有

m2v0＝m2v2＋m3v3

⑥

m2v＝m2v＋m3v

⑦

聯(lián)立③⑥⑦式并代入數(shù)據(jù)得v2＝－1

m/s

⑧

由于冰塊與斜面體分離后的速度與小孩推出冰塊后的速度相同且處在后方，故冰塊不能追上小孩。

針對訓(xùn)練題

1.甲、乙兩小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲，甲和他的冰車質(zhì)量共為M=30kg，乙和他的冰車質(zhì)量也是30

kg，游戲時，甲推著一個質(zhì)量為m=15

kg的箱子，和他一起以大小為v0=2.0

m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來。為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處時，乙迅速把它抓住，若不計冰面的摩擦力，求：

(1)甲至少要以多大的速度（相對地面）將箱子推出，才能避免與乙相撞？

(2)甲推出箱子時對箱子做了多少功？

【名師解析】：(1)設(shè)三個物體的共同速度為v，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒，有(M+m)v0-Mv0=(M+m+M)v

設(shè)箱子被推出的速度為v＇，根據(jù)箱、乙二者動量守恒有：mv＇-Mv0=(M+m)v

=5.2

m/s

(2)根據(jù)動能定理，甲對箱子所做的功為：

2.在光滑的冰面上靜止放置一截面為四分之一圓弧的半徑足夠大的光滑的自由曲面，一個坐在冰車上的小孩手扶一小球靜止在冰面上．某時刻小孩將小球以v0=2m/s的速度向曲面推出（如圖所示）．已知小孩和冰車的總質(zhì)量為m1=40kg，小球質(zhì)量為m2=2kg，曲面質(zhì)量為m3=10kg．試求小孩將球推出后還能否再接到球，若能，則求出再接到球后人的速度，若不能，則求出球再滑回水平面上的速度．

【名師解析】　人推球過程，水平方向上動量守恒：0=m2v0-m1v1，代入數(shù)據(jù)得：v1=0.1m/s

球和曲面相互作用時，水平方向動量守恒：m2v0=-m2v2+m3v3，機械能守恒：m2v02=

m2v22+

m3v32，得：v2=m/s

∵v2＞v1，所以人能再接住球．

人接球過程（以向右為正），由動量守恒有：m1v1+m2v2=（m1+m2）v共，∴v共=

m/s．

3.（10分）（2016河南平頂山新鄉(xiāng)許昌三模）如圖所示，AB為光滑的斜面軌道，通過一小段光滑圓弧與光滑水平軌道BC相連接，小球乙靜止于水平軌道上。一個質(zhì)量大于小球乙的小球甲以水平速度v0與乙球發(fā)生彈性正碰，碰后乙球沿水平軌道滑向斜面軌道AB。求：在甲、乙發(fā)生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能達(dá)到最大高度的范圍（設(shè)斜面軌道足夠長，重力加速度為g）。

當(dāng)M遠(yuǎn)大于m時，當(dāng)M=m時，（1分）

由乙球碰后，滑上斜面過程中機械能守恒得：

（2分）

解得：

所以有：

v0＜v2＜2v0

＜h＜

（2分）

4.如圖所示，甲車質(zhì)量m1=20kg，車上有質(zhì)量M=50kg的人，甲車（連同車上的人）從足夠長的斜坡上高h(yuǎn)=0.45m由靜止滑下，到水平面上后繼續(xù)向前滑動。此時質(zhì)量m2=50kg的乙車正以v0=1.8m/s的速度迎面滑來，為了避免兩車相撞，當(dāng)兩車相距適當(dāng)距離時，人從甲車跳到乙車上，求人跳出甲車的水平速度（相對地面）應(yīng)在什么范圍以內(nèi)？不計地面和斜坡的摩擦，取g=10m/s2。

【名師解析】

甲車（包括人）滑下斜坡后速度：v甲=“2gh=3“

m/s,在人跳離甲車和人跳上乙車過程中各自動量守恒，設(shè)人跳離甲車和跳上乙車后，兩車速度分別為v甲′和v乙′，則：

（M+m1)v甲=Mv+m1v甲′?????????①?

Mv-m2v0=(M+m2)v乙′??????????????②?

恰不發(fā)生相撞的條件為：v甲′=±v乙′???????③?

從①得：v甲′=

從②得：v乙′=

當(dāng)v甲′=v乙′時，有=時，得v=3.8m/s。

當(dāng)v甲′=－v乙′時，有=－時，得v=4.8m/s

所以，人跳離甲車的速度（對地）應(yīng)滿足3.8

m/s≤v≤4.8

m/s。

5.人和冰車的總質(zhì)量為M，另一木球質(zhì)量為m，且M∶m＝31∶2．人坐在靜止于水平冰面的冰車上，以速度v(相對地面)將原來靜止的木球沿冰面推向正前方向的固定擋板，不計一切摩擦阻力，設(shè)小球與擋板的碰撞是彈性的，人接住球后，再以同樣的速度v(相對地面)將球推向擋板．求人推多少次后不能再接到球？

【名師解析】

設(shè)第1次推球后人的速度為v1，有0＝Mv1－mv，第1次接球后人的速度為v1′，有mv1′＋mv＝(M＋m)v1′；

第2次推球(M＋m)v1′＝Mv2－mv，第2次接球Mv2＋mv＝(M＋m)v2′……

第n次推球

(M＋m)vn－1′＝Mvn－mv，可得vn＝，當(dāng)vn≥v時人便接不到球，可得n≥8.25，取n＝9．

本題也可以利用動量定理求解．以人和球及冰車為研究對象，擋板改變該系統(tǒng)動量，球每碰一次擋板，系統(tǒng)動量改變量為2mv，方向同接球的反方向．設(shè)推n次(球與擋板碰n－1次)后，有(n－1)2mv＝Mvn－mv，n＝8.25，取n＝9．

6.如圖所示，是一個豎直放置的內(nèi)壁光滑的圓筒，從圓筒底部可以以某一初速度沿圓筒軸線OO′豎直向上發(fā)射質(zhì)量為m1的小球，小球恰好不會射出圓筒。在圓筒的某一高度處有一環(huán)型卡，現(xiàn)將一質(zhì)量為m2能沿筒向上移動的貼壁圓蓋放在環(huán)型卡上，從圓筒底部發(fā)射的小球與貼壁圓蓋相撞，若碰撞時間極短，且沒有機械能損失。要想使得碰后貼壁圓蓋不會飛出圓筒，試定量求出發(fā)射小球的質(zhì)量m1與貼壁圓蓋的質(zhì)量m2滿足的條件。

【名師解析】

設(shè)小球與貼壁圓蓋碰撞前的速度為v0，碰撞后小球、貼壁圓蓋速度分別v1、v2由于碰撞時間極短，小球與貼壁圓蓋組成的系統(tǒng)相撞前后動量守恒：

m1v0=m1v1+m2v2

①

由于沒有機械能損失，小球與貼壁圓蓋組成的系統(tǒng)相撞前后動能守恒：

②

解之得：v2=v0

③

由于碰撞前的小球，碰撞后的貼壁圓蓋均在做豎直上拋運動，由豎直上拋運動的規(guī)律可知：貼壁圓蓋要不飛出圓筒，速度必須滿足：v2≤v0

④

即：v0≤v0

⑤

m1≤m2

⑥

動量守恒的十種模型精選訓(xùn)練10

動量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的規(guī)律之一，它不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域，而且適用于微觀、高速領(lǐng)域。通過對最新高考題和模擬題研究，可歸納出命題的十種模型。

十．多體作用模型

【模型解讀】所謂多體作用模型是指系統(tǒng)中多個物體，相互作用，滿足系統(tǒng)動量守恒定律。

例10.列車載重時簡單地直接啟動有困難，司機常常先倒車再啟動前進(jìn)。在平直軌道上機車起動時的牽引力為F，機車后面掛接有49節(jié)車廂，設(shè)機車與每節(jié)車廂的質(zhì)量都為m，機車和每節(jié)車廂所受的阻力都為自身重力的k倍，倒車后各節(jié)車廂間掛鉤所留間隙為d，倒車掛鉤位置和列車前進(jìn)時掛鉤位置如圖所示。列車在平直軌道上啟動，求：

（1）機車掛接第1節(jié)車廂時的速度；

（2）機車帶動第49節(jié)車廂時列車的速度，并說明倒車起動的優(yōu)點。

（2）1、2一起前進(jìn)d個的過程，由動能定理，（F-2kmg）d=mv2‘2-mv22，解得v2‘2=(-3kg)d。

1、2整體掛接車廂3的過程，由動量守恒定律，2m

v2‘=3mv3，1、2、3一起前進(jìn)d個的過程，由動能定理，（F-3kmg）d=mv3‘2-mv32，解得v3‘2=(-6kg)d。

同理可得：v49‘2=(-kg)d。

最后掛接過程，由動量守恒定律，49m

v49‘=50mv50，解得：v50=。

即機車帶動第49節(jié)車廂時列車的速度為。

要使全部車廂都能啟動，要求v50,>0，即F>kmg.若直接啟動，則F>50kmg.所以倒車啟動時所需牽引力明顯比直接啟動要小，倒車更容易是列車啟動。

針對訓(xùn)練題

1.在光滑水平面上有n個完全相同的小物快（可看作質(zhì)點）沿一直線排列，相鄰兩物快間距均為s，開始物塊1以初速度v0向物塊2運動，碰撞后粘在一起，又向物塊3運動，碰撞后粘在一起，······，如此進(jìn)行碰撞。

（1）最后物塊n的速度vn多大？

（2）從物塊1開始運動計時，到物塊n剛開始運動，經(jīng)歷多長時間？每次碰撞所用時間不計。

（2）從物塊1開始運動，到與物塊碰撞，需要時間t1=。

物塊1與物塊2碰撞，由動量守恒定律，mv0=2mv1，解得：v1=v0/2。

物塊1、2粘在一起向物塊3運動，需要時間t2=

=2。

同理，物塊1、2、3粘在一起向物塊4運動，需要時間t3=

=3。

以此類推，n-1個物塊粘在一起向物塊n運動，需要時間tn=

=（n-1）。

從物塊1開始運動計時，到物塊n剛開始運動，共需要時間

t=

t1+

t2=+···+tn=（1+2+3+（n-1））=（n-1）。

2．一個質(zhì)量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質(zhì)量為m的因紐特狗站在該雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復(fù)地跳下、追趕并跳上雪橇。狗與雪橇始終沿一條直線運動。若狗跳離雪橇?xí)r雪橇的速度為v，則此時狗相對于地面的速度為v＋v′(其中v′為狗相對于雪橇的速度，v＋v′為代數(shù)和，若以雪橇運動的方向為正方向，則v為正值，v′為負(fù)值)。設(shè)狗總以速度v＋v′追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計。已知v的大小為5

m/s，v′的大小為4

m/s，M＝30

kg，m＝10

kg。

(1)求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小。

(2)求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數(shù)。

(供使用但不一定用到的對數(shù)值：lg2＝0.301，lg3＝0.477)

(2)方法一：設(shè)雪橇運動的方向為正方向。狗第(n－1)次跳下雪橇后雪橇的速度為vn－1，則狗第(n－1)次跳上雪橇后的速度vn－1′滿足Mvn－1＋mv＝(M＋m)vn－1′，這樣，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度為vn滿足

Mvn＋m(vn＋v′)＝(M＋m)vn－1′，解得

vn＝(v－v′)－n－1。

狗追不上雪橇的條件是vn≥v，可化為n－1≤，最后可求得n≥1＋。

代入數(shù)據(jù)，得n≥3.41，狗最多能跳上雪橇3次。

雪橇最終的速度大小為v4＝5.625

m/s。

答案：(1)2

m/s(2)5.625

m/s　3次

3.【陜西省西安中學(xué)2016屆高三第一次仿真考試?yán)砜凭C合試題】如圖所示，光滑平臺上有兩個剛性小球A和B，質(zhì)量分別為2m和3m，小球A以速度向右運動并與靜止的小球B發(fā)生碰撞（碰撞過程中不損失機械能），小球B飛出平臺后經(jīng)時間t剛好掉入裝有沙子向左運動的小車中，小車與沙子的總質(zhì)量為m，速度為，小車行駛的路面近似看做是光滑的，求：

①碰撞后小球A和小球B的速度；

②小球B掉入小車后的速度。

【參考答案】①，；②

②

B球掉入沙車的過程中系統(tǒng)水平方向動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律的：，解得：。

考點：動量守恒定律

【名師點睛】本題考查了求速度問題，分析清楚物體運動過程，應(yīng)用動量守恒定律與機械能守恒定律即可正確解題。

4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2017屆高三入學(xué)考試?yán)砜凭C合物理試題】如圖所示，兩端帶有固定薄擋板的滑板C長為l，質(zhì)量為，與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，其光滑上表面上靜置著質(zhì)量分別為m、的物塊，A、B，A位于C的中點，現(xiàn)使B以水平速度2v向右運動，與擋板碰撞并瞬間粘連，不再分開，A、B可看做質(zhì)點，物塊A與B、C的碰撞都可視為彈性碰撞。已知重力加速度為g，求：

（i）B與C上擋板碰撞后的速度以及B、C碰撞后C在水平面上滑動時的加速度大?。?/p>

（ii）A與C上擋板第一次碰撞后A的速度大小。

【參考答案】（i）（ii）

【名師解析】（1）B、C碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：

解得：；

對BC，由牛頓第二定律得：，解得：；

考點：考查了動量守恒定律，能量守恒定律的應(yīng)用

【名師點睛】本題的關(guān)鍵要分析清楚物體運動過程，抓住彈性碰撞的規(guī)律：遵守動量守恒定律和能量守恒定律，結(jié)合牛頓第二定律研究．

5.【廣西南寧二中、柳州高中、玉林高中2017屆高三8月聯(lián)考理科綜合】（10分）如圖，在光滑水平面上，有A、B、C三個物體，開始BC皆靜止且C在B上，A物體以v0=10m/s撞向B物體，已知碰撞時間極短，撞完后A靜止不動，而B、C最終的共同速度為4m/s．已知B、C兩物體的質(zhì)量分別為mB=4kg、mC=1kg，試求：

（i）A物體的質(zhì)量為多少？

（ii）A、B間的碰撞是否造成了機械能損失？如果造成了機械能損失，則損失是多少？

【參考答案】（i）2kg

（ii）碰撞確實損失了機械能，損失量為50J

【名師解析】（i）由整個過程系統(tǒng)動量守恒

mAv0=

（mB+mC）v

代入數(shù)據(jù)得：mA=

2kg

（ii）設(shè)B與A碰撞后速度為u，在B與C相互作用的時間里，BC系統(tǒng)動量守恒

mBu=（mB+mC）v

得u

=

5m/s

A與B的碰撞過程中，碰前系統(tǒng)動能為：mAv02=×4×100=100J

碰后系統(tǒng)動能為：mBvu2=×4×25=50J

所以碰撞確實損失了機械能，損失量為50J

考點：動量守恒定律及能量守恒定律

【名師點睛】本題考查動量守恒定律以及機械能守恒定律的應(yīng)用，要注意非彈性碰撞時會產(chǎn)生能量損失，要注意由功能關(guān)系求解。

6．【2015·全國新課標(biāo)Ⅰ·35（2）】如圖，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間。A的質(zhì)量為，B、C的質(zhì)量都為，三者都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)使A以某一速度向右運動，求和之間滿足什么條件才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性的。

【參考答案】

A反向向左運動與B發(fā)生碰撞過程，彈性碰撞

整理可得

由于，所以A還會向右運動，根據(jù)要求不發(fā)生第二次碰撞，需要滿足

即

整理可得

解方程可得

【考點定位】

彈性碰撞

【名師點睛】對于彈性碰撞的動量守恒和能量守恒要熟知，對于和一個靜止的物體發(fā)生彈性碰撞后的速度表達(dá)式要熟記，如果考場來解析，太浪費時間。

7.雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大?，F(xiàn)將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始質(zhì)量為m0，初速度為v0，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙1。此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次變?yōu)閙2、m3……mn……（設(shè)各質(zhì)量為已知量）。不計空氣阻力。

（1）若不計重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考慮重力的影響，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的動能

vn′2；

（2）若考慮重力的影響，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運動，碰撞瞬間動量守恒。

a．

第1次碰撞前，v12

=

v02+2gl，解得v1=。

第1次碰撞后，m0v1=m1v1′，解得

v1′

=

v1=。

b.第2次碰撞前

v22

=

v1’2+2gl，解得v22=()2

v02+()2gl。

第2次碰撞后，m1v2=m2v2′，解得v2’2=

v02+2gl。

同理，第3次碰撞后v3’2=

v02+2gl。

…………

第n次碰撞后，vn’2=()2

v02+2gl。

動能：mnvn’2=（m02v02+2gl)。