第一篇：第四講：工程事故中的倫理問題

第四講：工程事故中的倫理問題

1、課程介紹、基本內(nèi)容與要求。

第四講包括工程事故中的倫理問題的講授與討論。

在這一講中，在總論部分，首先通過“挑戰(zhàn)者號”航天飛機(jī)失事事件和“溫州動車組追尾”事件這兩個(gè)典型案例及其他工程事故案例，介紹了什么是工程事故中的倫理問題。然后介紹了“工程”與“技術(shù)”的區(qū)別，工程的歷史和基本特征，中國文化語境對“工程”的理解，工程師的形成和演化，以及工程倫理的含義。

接下來，通過一些案例，專門討論了工程事故中的倫理責(zé)任問題，包括工程事故與工程風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系、為什么會有工程風(fēng)險(xiǎn)、對工程風(fēng)險(xiǎn)的感知、工程事故中的個(gè)體倫理責(zé)任和工程事故中的共同倫理責(zé)任。

在分論部分，分別介紹了工程設(shè)計(jì)中的倫理問題、工程實(shí)施中的倫理問題、工程使用中的倫理問題、工程事故帶來的環(huán)境倫理問題、工程事故帶來的社會倫理問題。

關(guān)于工程設(shè)計(jì)中的倫理問題，通過“三門峽工程”這一典型案例，說明工程設(shè)計(jì)中單純功利主義的方針和不民主的決策造成的嚴(yán)重后果，揭示其中體現(xiàn)的工程倫理問題及其社會影響。

關(guān)于工程實(shí)施中的倫理問題，通過分析“鳳凰沱江大橋垮塌”和“綦縣虹橋垮塌”典型案例，說明工程實(shí)施中的倫理問題的主要表現(xiàn)（包括隨意更改設(shè)計(jì)方案、在施工中偷工減料、降低質(zhì)量、不合理地縮短工期等違背工程倫理的現(xiàn)象）。

關(guān)于工程使用中的倫理問題，通過分析“美國花旗銀行大廈幸免于難”、“吉林化工廠爆炸事故”典型案例以及煤礦透水、瓦斯爆炸事故、尾礦潰壩事故等工程事故案例，說明工程使用中的倫理問題的主要表現(xiàn)為，當(dāng)發(fā)現(xiàn)工程使用中存在設(shè)備老化、違規(guī)操作、安全隱患嚴(yán)重等問題時(shí)，如果揭發(fā)和制止可能招致企業(yè)主管和同事的排斥，可能有損企業(yè)形象，在這種情況下能否堅(jiān)持倫理道德底線，采取必要的行動。

關(guān)于工程事故帶來的環(huán)境倫理問題，通過分析切爾諾貝利核電站爆炸事故和日本福島核電站爆炸事故典型案例，指出工程事故帶來的環(huán)境倫理問題實(shí)質(zhì)上是環(huán)境公平和環(huán)境正義在工程倫理中的具體體現(xiàn)。

關(guān)于工程事故帶來的社會倫理問題，通過分析“華夏第一祖龍”事件、美國和印度局部電網(wǎng)癱瘓事件等典型案例，指出工程事故帶來巨大經(jīng)濟(jì)損失和資源浪費(fèi)會引發(fā)社會資源如何公正分配的倫理問題，工程事故帶來社會生活的局部意外癱瘓會引發(fā)風(fēng)險(xiǎn)社會中責(zé)任如何合理分擔(dān)的倫理問題。

這一講最后一部分討論如何發(fā)揮工程倫理的作用問題，包括工程技術(shù)人員的道德自律和他律、工程倫理的實(shí)踐有效性（涉及工程倫理實(shí)踐中的解釋環(huán)節(jié)、操

作環(huán)節(jié)和對話環(huán)節(jié)）、工程人員道德行為的制度保障（涉及仲裁體制，表彰獎勵和宣傳、職業(yè)保障體制、經(jīng)濟(jì)救助和職業(yè)安排、建立工程人員的職業(yè)信譽(yù)登記咨詢體系等措施），以及工程倫理在工程職業(yè)認(rèn)證中的應(yīng)有作用。

學(xué)習(xí)這一講，首先要仔細(xì)收看網(wǎng)易視頻公開課第四講，然后根據(jù)PPT文檔，收看輔助學(xué)習(xí)的電影和案例視頻，閱讀指定的拓展閱讀文獻(xiàn)，然后完成規(guī)定的測試題。之后進(jìn)入“討論區(qū)”，參與開放性討論。對測試題的回答和參與開放式討論的情況，作為這一講作業(yè)考核的依據(jù)。

2、教學(xué)和輔助學(xué)習(xí)的案例視頻：（1）網(wǎng)易視頻公開課第四講50分鐘

http://open.163.com/movie/2013/5/9/4/M8UUVA33K_M8VHEPF94.html（2）工程事故中的倫理問題PPT文檔（3）“挑戰(zhàn)者號”航天飛機(jī)事件的相關(guān)視頻 http://（4）“溫州動車組”事件的相關(guān)視頻

https://

3、拓展閱讀文獻(xiàn)：（1）技術(shù)決策倫理（閱讀王前主編《技術(shù)倫理通論》，中國人民大學(xué)出版社2011年版，第190-212頁）；

（2）工程倫理和環(huán)境倫理問題及相關(guān)案例（閱讀王前、楊慧民主編《科技倫理案例解析》，高等教育出版社2009年版，第101-136頁，第137-206頁）；（3）工程中的責(zé)任、工程風(fēng)險(xiǎn)、工程師與環(huán)境（閱讀查爾斯·E·哈里斯等《工程倫理——概念和案例》，北京理工大學(xué)出版社2006年版，第16-34頁，第115-136頁，第164-183頁）；

（4）工程倫理與社會責(zé)任（閱讀米切姆著《工程與哲學(xué)——?dú)v史的、哲學(xué)的和批判的視角》，人民出版社2013年版，第119-149頁）；

第二篇：第四講直線植樹問題

第四講直線植樹問題

【例題求解】

例一五一班同學(xué)參加春季植樹的活動，要在一條長100米的馬路一邊植上樹，每兩棵樹之間的間隔都是4米。請你幫五一班同學(xué)算一算他們一共要植樹多少棵？

例

二、學(xué)校要在兩幢教學(xué)樓之間栽楊樹，每隔5米栽一棵楊樹，兩端不栽樹，一共栽了32棵楊樹。兩幢教學(xué)樓相距多少米？

例三、一條小路，同學(xué)在路的兩邊植樹，每個(gè)五米種一棵樹（兩端都要種）一共種了20棵樹苗，小路全長多少米？

例四 將一根圓木鋸成5分米長的小段共需10分。已知每鋸下一小段需要2分，問：這根圓木長多少分米？

例五 大人上樓的速度是小孩上樓的3倍，小孩從一樓到四樓要9分鐘。問：大人從一樓到八樓要多少分鐘？

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、有一段江堤全長600米，從頭到尾每隔6米栽一棵水杉樹，可栽多少棵水杉樹？

2、鶴壁市新修的一段路，路長720米，每隔3米種1棵樹，兩端都種。兩邊一共可種多少棵樹？

3、王大爺要在兩棵樹相距5米的玉米苗之間每隔2分米補(bǔ)一棵玉米苗，一共要補(bǔ)多少棵玉米

苗？

4、一條路的路邊每隔25米有1根電線桿，連兩端共有20根。算一算，這條路有多長？

5、在一條公路的兩側(cè)栽樹，從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共栽了22棵，已知相鄰兩棵樹之間的距離是3米，你能求出這條路長多少密嗎？

6、木工師傅要把一根長10米的圓木鋸成6段，每鋸一段要用5分，木工師傅鋸?fù)赀@根圓木需

要幾分？

7、甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到5層時(shí)，乙恰好跑到3層，照這樣計(jì)算，甲跑到17層時(shí)，乙跑到多少層？

8、有兩名同學(xué)比賽爬樓梯，甲同學(xué)爬到第六層時(shí)，乙同學(xué)爬到第九層，當(dāng)甲同學(xué)爬到第十一層時(shí)，一同學(xué)應(yīng)爬到第幾層？

9、解放軍一個(gè)連244人，排成四路縱隊(duì)，已知隊(duì)伍前后前后每排相距2米。求這支隊(duì)伍長多少

米？

10、在旅游節(jié)的開幕式上，參加表演的彩車車隊(duì)共有80輛車人，每輛車長6米，兩輛車前后相隔5米，這個(gè)彩車車隊(duì)全長多少米？

【課后作業(yè)】

1、在一條長30米的走廊兩邊，每隔5米放1盆花，兩端都放。一共需要放多少盆花？

2、兩棵楊樹相隔600米，計(jì)劃在這兩棵樹之間栽59棵小樹，每兩棵樹間隔相等。問：栽完后，每兩棵樹之間的間隔是多少米？

3、在一段公路的一旁栽了98棵樹，兩端都栽，每兩棵樹之間相距15米。問：這段公路長多少

米？

4、木工師傅要把一段木料鋸成5小段，每鋸下一小段需要15分，他從上午8時(shí)10分開始工作，鋸?fù)陼r(shí)是幾時(shí)幾分？

5、豆豆爬樓梯，豆豆跑到4層時(shí)，用了60秒，照這樣計(jì)算，當(dāng)豆豆跑到第16層時(shí)，一共用了

多少秒？

第三篇：第四講平均數(shù)問題(教案)

平均數(shù)問題

一、知識要點(diǎn)

平均數(shù)在我們的生活中經(jīng)常被用到，比如我們經(jīng)常用各科成績的平均分?jǐn)?shù)來比較同學(xué)之間、班級之間成績的好壞。求各科成績的平均分?jǐn)?shù)就是求平均數(shù)。平均數(shù)問題不僅用在求平均分?jǐn)?shù)上，還應(yīng)用在很多方面。比如由同年齡不同地區(qū)兒童的平均身高、平均體重來分析兒童生長發(fā)育的情況等。

在求平均數(shù)時(shí)，必須知道兩個(gè)條件：（1）被均分事物的總數(shù)量；（2）要均分的總份數(shù)。它們之間的關(guān)系是：

總數(shù)量 =平均數(shù)×總份數(shù)

我們看到，對于平均數(shù)、總數(shù)量、總份數(shù)這三個(gè)量，只要知道其中的任意兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量。

二、例題

例

1、樂樂參加數(shù)學(xué)考試，前兩次的平均分?jǐn)?shù)是85分，后三次的平均分?jǐn)?shù)是90分，問樂樂前后幾次考試的平均分?jǐn)?shù)是多少？

分析：利用前兩次考試的平均分?jǐn)?shù)可以求出前兩次考試的總分?jǐn)?shù)，同理，也可以求出后三次考試的總分?jǐn)?shù)，然后用前后幾次考試的總分?jǐn)?shù)除以總次數(shù)就是所求的平均分?jǐn)?shù)。

解：（85×2+90×3）÷（2+3）

=440÷5

=88（分）

答：樂樂前后幾次考試的平均分?jǐn)?shù)是88分。

練一練：萍姐姐去爬山，上山時(shí)的速度是每小時(shí)2千米，下山時(shí)的速度是每小時(shí)6千米，那么，她在上下山全過程中的平均速度是每小時(shí)多少千米？

分析：平均速度=總路程÷總時(shí)間。顯然，萍姐姐上下山的平均速度，等于萍姐姐上下山的總路程除以上下山所用時(shí)間的總和。而題目中沒有給出爬山的路程，也無法求出爬山路程。為此，我們可以假設(shè)山路為12千米，則上下山的路程為2×12千米。

解：2×12÷（12÷2+12÷6）

=24÷（6+2）

=24÷8

=3（千米/時(shí)）

答：萍姐姐上下山的平均速度是每小時(shí)3千米。

問：萍姐姐上下山的平均速度，像下面這樣計(jì)算可以嗎？為什么？

（2+6）÷2=4（千米/時(shí)）

（變式練習(xí)）：小明從甲地到乙地一半時(shí)間騎自行車，一半時(shí)間步行。步行速度為每小時(shí)8千米；騎車速度為每小時(shí)24千米。求此人從甲地到乙地的平均速度。

分析：題目中沒有給出總共行了多少時(shí)間，也沒有給出甲地到乙地的距離。不妨假設(shè)總共行了2小時(shí)，那么所行路程就可以簡單地計(jì)算出，相應(yīng)的平均速度也可以求出來了。要是設(shè)共行

內(nèi)部資料 小時(shí)，6小時(shí)等，也同樣方便地算得同一結(jié)果。

解：（8×1+24×1）÷（1+1）=16（千米/時(shí)）答：此人從甲地到乙地的平均速度為16千米/時(shí).問：此題的平均速度可以像下面這樣計(jì)算嗎？為什么？

（8+24）÷2=16（千米/時(shí)）

例

2、已知八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是144，求這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)。

分析：八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的特點(diǎn)就是第一個(gè)和第八個(gè)的和、第二個(gè)和第七個(gè)的和、第三個(gè)和第六個(gè)的和、第四個(gè)和第五個(gè)的和都是相等的，也就是說，144是4個(gè)相同數(shù)的和。

解：每組數(shù)的和是：144÷4=36

中間兩個(gè)數(shù)是：（36－2）÷2=17

17+2=19

因此，這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別是：11、13、15、17、19、21、23、25.答：這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別是：11、13、15、17、19、21、23、25.練一練：5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是102，如果把這5個(gè)數(shù)從小到大排列，那么前3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是70，后3個(gè)數(shù)的和是390。問：中間的那個(gè)數(shù)是多少？

解：前3個(gè)數(shù)與后3個(gè)數(shù)的總和是：70×3+390=600；

5個(gè)數(shù)的和是：102×5=510；

中間那個(gè)數(shù)是：600－510=90

答：中間那個(gè)數(shù)是90.（變式練習(xí)）把自然數(shù)1，2，3，4，??，998，999分成三組，如果每一組數(shù)的平均數(shù)恰好相等，那么這三個(gè)平均數(shù)的和是多少？

分析：1，2，3，4，??，998，999是連續(xù)的自然數(shù)。從1開始的連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是什么特點(diǎn)呢？我們把上述問題先化小到“把1，2，3，4，??，9這九個(gè)自然數(shù)分成三組，如果每一組的數(shù)平均數(shù)恰好相等，那么每一組的平均數(shù)是多少？”因?yàn)槊恳唤M的平均數(shù)都相等，所以這個(gè)平均數(shù)應(yīng)該和總平均數(shù)相等。

這九個(gè)數(shù)的總平均數(shù)是：（1+2+3+4+?+9）÷9=45÷9=5，正好是這列數(shù)中間的一個(gè)數(shù)，可以用（1+9）÷2=5得到。由此可以推斷：從1開始的連續(xù)個(gè)自然數(shù)的平均數(shù)可以用（第一個(gè)數(shù)+最后一個(gè)數(shù)）÷2得到。如果是連續(xù)奇數(shù)個(gè)自然數(shù)，那么平均數(shù)就是這列數(shù)中間的那個(gè)數(shù)。

解：因?yàn)槊恳唤M的數(shù)平均數(shù)恰好相等，所以這個(gè)平均數(shù)應(yīng)該和總平均數(shù)相等，并且這個(gè)平均數(shù)應(yīng)該是：（1+999）÷2=500 三個(gè)平均數(shù)的和是500×3=1500 答：三個(gè)平均數(shù)的和是500×3=1500.例

3、有六個(gè)數(shù)排成一列，它們的平均數(shù)是27，前四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是23，后三個(gè)數(shù)是34，求第四個(gè)數(shù)是多少？

分析：前四個(gè)數(shù)與后三個(gè)數(shù)中，第四個(gè)數(shù)重復(fù)計(jì)算，所以這七個(gè)數(shù)的總和比六個(gè)數(shù)的和多的數(shù)就是第四個(gè)數(shù)。

解：23×4+34×3－27×6

=92＋102－162 內(nèi)部資料

=32 答：第四個(gè)數(shù)是32.練一練：阿呆、樂樂和丫丫3人，阿呆、樂樂的年齡之和是24歲，阿呆、丫丫的年齡和是20歲，樂樂、丫丫的年齡和是16歲。問：阿呆、樂樂和丫丫3人的平均年齡是多少歲？

解：由題目可知，24+20+16得到的數(shù)是2個(gè)阿呆、2個(gè)樂樂和2個(gè)丫丫的年齡之和，因此將該數(shù)除以2就得到阿呆、樂樂和丫丫三人的年齡之和。

（24+20+16）÷2÷3=10（歲）

答：阿呆、樂樂和丫丫3人的平均年齡是10歲。

（變式練習(xí)）丫丫期末考試語文、數(shù)學(xué)、常識平均成績是85分，外語成績公布后，她的平均成績提高了2分。問：丫丫外語考了多少分？

分析：要求出外語考了多少分，必須先分別求出3門功課和4門功課的總分?jǐn)?shù)。由三門功課平均分?jǐn)?shù)85分，可以求出三門功課的總分?jǐn)?shù)85×3=225（分），又由外語成績公布后，他的平均分提高了2分，可得他四門功課的總分?jǐn)?shù)是：（82+2）×4=348（分），因此，總分之差就是外語成績了。

解：（82+2）×4－85×3

=348－255

=93（分）

答：丫丫外語考了93分。

例

4、為了支援西部，1班班長小明和2班班長小紅帶了同樣多的錢買了同一種書44本，錢全部用完。小明要了26本書，小紅要了18本書?；匦：?，小明補(bǔ)給小紅28元。問：小明、小紅各帶了多少元？每本書的價(jià)格是多少？

分析：因?yàn)閮扇藥Я送瑯佣嗟腻X，剛好買了同一種書44本，因此，每人的錢恰好能買這種書的數(shù)目是：44÷2=22（本）。小明補(bǔ)為小紅的28元錢，是小明多買的書的價(jià)錢，也就是4本書的價(jià)錢。

解：每本書的價(jià)格為：28÷（26－44÷2）=7（元）

小明、小紅各帶的錢數(shù)：44×7÷2=154（元）

答：小明、小紅各帶了154元，每本書的價(jià)格為7元。

練一練：一個(gè)旅游團(tuán)租車出游，平均每人應(yīng)付車費(fèi)40元。后來又增加了8人，這樣每人應(yīng)付的車費(fèi)是35，問：租車費(fèi)是多少元？

解：后來增加的8人所付的總費(fèi)用為：35×8=280（元）

增加8人后，每人應(yīng)付的車費(fèi)減少了：40－35=5（元）

后來增加的8人所付的總費(fèi)用應(yīng)與原人數(shù)所少付的總費(fèi)用相等，因此：

原有人數(shù)為：280÷5=56（人）

租車費(fèi)為：40×56=2240（元）答：租車費(fèi)為2240元。

（變式練習(xí)）今年前5個(gè)月，小明共存錢21元，從6月起，他每月儲蓄6元錢，那么從哪個(gè)月起小明的平均儲蓄超過5元？ 內(nèi)部資料 解：前5個(gè)月，小明每月平均存錢：21÷5=4.2（元）

若要平均儲蓄超過5元，則需要從后幾個(gè)月的儲蓄中挪出一部分給前5個(gè)月，且需要挪（5－4.2）×5=4（元）；而從5月起，每個(gè)月儲蓄6元錢，6－5=1（元），即每個(gè)月可以拿出1元補(bǔ)給前5個(gè)月，4÷1=4（個(gè)），所以從5+4+1=10月起，小明的平均儲蓄超過5元。

例

5、某商場食品部將10千克巧克力糖，12千克奶糖，8千克水果糖合成一種混合糖。已知巧克力糖每千克18元，奶糖每千克12元，水果糖每千克6元，求混合糖平均每千克多少元？

解：混合糖的總價(jià)錢是：10×18+12×12+8×6=372（元）

混合糖重：10+12+8=30（千克）

混合糖平均每千克的價(jià)錢是：327÷30=12.4（元）答：混合糖每千克的價(jià)錢是12.4千克。

練一練：牛奶糖每千克17.8元，巧克力糖每千克21元，牛奶糖5千克與巧克力糖多少千克混合后，平均每千克19元？

解：每千克牛奶糖的價(jià)錢比混合后每千克的價(jià)錢少：19－17.8=1.2（元）

5千克牛奶糖的價(jià)錢比混合后5千克的價(jià)錢少：1.2×5=6（元）

每千克巧克力糖的價(jià)錢比混合后每千克的價(jià)錢多：21－19=2（元）

要想混合后平均每千克19元，則需要巧克力糖：6÷2=3（千克）答：需要巧克力糖3千克。

（變式練習(xí)）商店用相同的費(fèi)用，買進(jìn)甲、乙兩袋不同的糖果，已知甲袋糖果每千克需要6元，乙袋糖果每千克需要4元，如果把兩袋糖果混合在一起，那么這種混合糖每千克的成本是多少元？

解：假設(shè)商店分別用了12元買來甲、乙兩袋糖果，則

甲袋糖果有：12÷6=2（千克）

乙袋糖果有：12÷4=3（千克）

混合糖每千克的成本：12×2÷（2＋3）=4.8（元）答：這種混合糖每千克的成本是4.8元。

內(nèi)部資料

第四篇：第四講四點(diǎn)共圓問題

第四講四點(diǎn)共圓問題

“四點(diǎn)共圓”問題在數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題一般有兩種形式：一是以“四點(diǎn)共圓”作為證題的目的，二是以“四點(diǎn)共圓”作為解題的手段，為解決其他問題鋪平道路.判定“四點(diǎn)共圓”的方法，用得最多的是統(tǒng)編教材《幾何》二冊所介紹的兩種（即P89定理和P93例3），由這兩種基本方法推導(dǎo)出來的其他判別方法也可相機(jī)采用.“四點(diǎn)共圓”作為證題目的例1．給出銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC′及其延長線交于M，N.以AC為直徑的圓與

AC邊的高BB′及其延長線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共圓.(第19屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克)

分析：設(shè)PQ，MN交于K點(diǎn)，連接AP，AM.欲證M，N，P，Q四點(diǎn)共圓，須證 AMK·KN＝PK·KQ，Q即證(MC′-KC′)(MC′+KC′)C′＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′)

2222或MC′-KC′=PB′-KB′.不難證明 AP=AM，從而有 B2222AB′+PB′=AC′+MC′.2222故 MC′-PB′=AB′-AC′

2222=(AK-KB′)-(AK-KC′)

22=KC′-KB′.②

由②即得①，命題得證.O例2．A、B、C三點(diǎn)共線，O點(diǎn)在直線外，O1O1，O2，O3分別為△OAB，△OBC，△OCA的外心.求證：O，O1，O2，O2O3四點(diǎn)共圓.3(第27屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)

A分析：作出圖中各輔助線.易證O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.觀察△OBC及其外接圓，立得∠BC

OO2O1=11∠OO2B=∠OCB.觀察△OCA及其外接圓，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.22

由∠OO2O1=∠OO3O1?O，O1，O2，O3共圓.利用對角互補(bǔ)，也可證明O，O1，O2，O3四點(diǎn)共圓，請同學(xué)自證.以“四點(diǎn)共圓”作為解題手段

這種情況不僅題目多，而且結(jié)論變幻莫測，可大體上歸納為如下幾個(gè)方面.(1)證角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分別在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.求證：∠DMA＝∠CKB.CD（第二屆袓沖之杯初中競賽）

分析：易知A，B，M，K四點(diǎn)共圓.連接KM，有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC KM

＝180°，∴∠CMK+∠KDC＝180°.AB故C，D，K，M四點(diǎn)共圓?∠CMD＝∠DKC.但已證∠AMB＝∠BKA，∴∠DMA＝∠CKB.(2)證線垂直 例4．⊙O過△ABC頂點(diǎn)A，C，且與AB，BC交于K，N(K與N不同).△ABC外接圓和△BKN外接圓相交于B和

BM.求證：∠BMO=90°.(第26屆IMO第五題)分析：這道國際數(shù)學(xué)競賽題，曾使許多選手望而卻步.共圓”，問題是不難解決的.連接OC，OK，MC，MK，延長BM到G.易得∠GMC=

∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+

∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°?C，O，K，M四點(diǎn)共圓.在這個(gè)圓中，由

OC=OK? OC∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.(3)判斷圖形形狀

例5．四邊形ABCD內(nèi)接于圓，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的內(nèi)心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)選拔試題)

分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得

11∠ADB=90°+ 22

∠ACB=∠AIDB?A，B，ID，IC四點(diǎn) ∠AICB=90°+

共圓.同理，A，D，IB，IC四點(diǎn)共圓.此時(shí) IBAC1∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC，2

1∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，2

∴∠AICID+∠AICIB A1(∠ABC+∠ADC)2

1=360°-×180°=270°.2=360°-故∠IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個(gè)內(nèi)角皆為90°.該四邊形必為矩形.(4)計(jì)算

2例6．正方形ABCD的中心為O，面積為1989㎝.P為正方形內(nèi)

一點(diǎn)，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=__________

(1989，全國初中聯(lián)賽)CD分析：答案是PB=42㎝.怎樣得到的呢？

連接OA，OB.易知O，P，A，B

四點(diǎn)共圓，有∠APB=∠AOB=90°.222故PA+PB=AB=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.BA(5)其他

例7．設(shè)有邊長為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個(gè)面積最小的，并

求出這兩個(gè)面積(須證明你的論斷).(1978，全國高中聯(lián)賽)

分析：設(shè)△EFG為正方形ABCD 的一個(gè)內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)至少必落在正方形的三EA條邊上，所以不妨令F，GD·作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點(diǎn)共圓?∠KDE=∠KGE=60°.同

理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個(gè)正 FGK三角形，K必為一個(gè)定點(diǎn).CB

又正三角形面積取決于它的邊長，當(dāng)KF丄AB時(shí)，邊長為1，這時(shí)邊長最小，而面積S=

也最4

小.當(dāng)KF通過B點(diǎn)時(shí)，邊長為2·2?3，這時(shí)邊長最大，面積S=23-3也最大.例8．NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS于M，P為ANB上異于N的任一點(diǎn)，PS交AB于R，PM的延長線

交⊙O于Q.求證：RS＞MQ.(1991，江蘇省初中競賽)

分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長線交⊙O于Q′.連接

MQ′，SQ′.易證N，M，R，P四點(diǎn)共圓，從而，∠SNQ′=∠MNR=

∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根據(jù)圓的軸對稱性質(zhì)可知Q與Q′關(guān)于NS成軸對稱?MQ′=MQ.又易證M，S，Q′，R四點(diǎn)共圓，且RS是這個(gè)圓的直徑（∠RMS=90°)，MQ′是一條弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.練習(xí)題

1.⊙O1交⊙O2 于A，B兩點(diǎn)，射線O1A交⊙O2 于C點(diǎn)，射線O2A

交⊙O1 于D點(diǎn).求證：點(diǎn)A是△BCD的內(nèi)心.(提示：設(shè)法證明C，D，O1，B四點(diǎn)共圓，再證C，D，B，O2

四點(diǎn)共圓，從而知C，D，O1，B，O2五點(diǎn)共圓.)

2.△ABC為不等邊三角形.∠A及其外角平分線分別交對邊中垂線于A1，A2；同樣得到B1，B2，C1，C2.求證：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：設(shè)法證∠ABA1與∠ACA1互補(bǔ)造成A，B，A1，C四點(diǎn)共圓；再證A，A2，B，C四點(diǎn)共圓，從而知A1，A2都是△ABC的外接圓上，并注意∠A1AA2=90°.)

3.設(shè)點(diǎn)M在正三角形三條高線上的射影分別是M1，M2，M3(互不重合).求證：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點(diǎn)，過A點(diǎn)作PC的垂線交過B所作AB的垂線于Q點(diǎn).求證：PD丄QD.(提示：證B，Q，E，P和B，D，E，P分別共圓)

5.AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高.從A引EF的垂線l1，從B引FD的垂線l2，從C引DE的垂線l3.求證：l1，l2，l3三線共點(diǎn).(提示：過B作AB的垂線交l1于K，證：A，B，K，C四點(diǎn)共圓)

第五篇：第四講盈虧問題教案

第四講：盈虧問題

第一課時(shí)

教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)例1 教學(xué)目標(biāo)：初步感知盈虧問題，了解解決盈虧問題的一般方法。重點(diǎn)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。教學(xué)過程：

一、導(dǎo)入，初步感知盈虧問題。

在日常生活中，我們常常要分配東西。已知兩種分配方法，按一種方法分配，東西有余（稱作“盈”），而按另一種方法分配，東西不足（稱作“虧”），求參加分配的人數(shù)及被分配的總量。我們稱這樣的算術(shù)應(yīng)用題為盈虧問題。解盈虧問題，常常通過比較法。

例如：學(xué)校春游，租了幾條船讓學(xué)生劃，每條船坐3人，有16人沒船劃，如果每條船坐5人，則有一條船上差4人，問共有學(xué)生多少人？共租了多少條船？

在題目中，無論如何分配，學(xué)生的人數(shù)與船的條數(shù)是不變的。比較兩種分配方法，第一種和第二種分配方法中人數(shù)一多一少相差4＋16=20（人）。相差的原因在于兩種方法的分配數(shù)不同，兩次分配每條船相差 5－3=2（人）。每條船相差2人，那么多少條船會相差20人？ 由此可求出船的條數(shù)，20÷2=10（條），所以學(xué)生總?cè)藬?shù)可列式計(jì)算：3×10＋16=46（人）

或列式5×10-4=46（人）算出。

列綜合算式：

（4＋16）÷（5－3）=10（條）

3×10＋16=46（人）

答：共有學(xué)生46人，共租了10條船。

二、通過分析，我們知道解盈虧問題的關(guān)鍵在于確定兩次分配數(shù)的差與盈虧的總額（盈數(shù)＋虧數(shù)）。解題時(shí)要注意：（1）要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析，確定用盈虧總額÷兩次分配數(shù)之差得到的是題目中的哪個(gè)量，不能張冠李戴。

（2）兩種分配方法不一定總是一“盈”一“虧”，還可能是兩個(gè)都“盈”，兩個(gè)都“虧”，或者是一個(gè)“不盈不虧”，另一個(gè)“盈”或“虧”等情況。

二、教學(xué)例1

1、出示例題

例1：學(xué)校春游，租了幾條船讓學(xué)生劃，每條船坐3人，則有20人沒船劃，如果每條船坐5人，恰恰安排好，問共有學(xué)生多少人？共租了多少條船？

2、學(xué)生嘗試解答。

3、說一說題中的兩種分配方法 第一種分配“盈”20人 第二種分配“不盈虧”

4、分析與解

盈虧總額為20＋0=20，又可知每條船相差5－3=2（人），所以： 有船：20÷（5－3）=10（條）有學(xué)生：5×10=50（人）

答：共有學(xué)生50人，共租了10條船。

三、及時(shí)練習(xí)

學(xué)雷鋒小組參加植樹活動，如果每人栽5棵，還剩12棵樹；如果每人栽7棵，就缺4棵樹。問這個(gè)小組有多少人？一共要栽多少棵樹？

四、質(zhì)疑

說一說你在本節(jié)課遇到的困難，師生共同解惑。

五、課堂小結(jié)

1、提問：這節(jié)課你學(xué)到了什么？

2、引導(dǎo)學(xué)生說一說解決盈虧問題的關(guān)鍵和方法。

第二課時(shí)

教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)例2 教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，熟練的解決盈虧問題。重點(diǎn)難點(diǎn)：弄清盈虧。

教學(xué)過程：

一、說一說，你知道盈虧問題有多少。

二、提問：盈虧問題里的兩種分配方法一定是一盈一虧嗎？

三、出示例2 例

2、學(xué)校春游，租了幾條船讓學(xué)生劃，每條船坐3人，則空2人的位置，如果每條船坐5人，則空出16人的位置，問共有學(xué)生多少人？共租了多少條船？

1、學(xué)生讀題，說一說兩種分配方法有什么不一樣。

2、學(xué)生獨(dú)立完成解決問題?？凑l做得又對又快。

3、請學(xué)生說解題過程，教師板書

有船：

（16－2）÷（5－3）=7（條）有學(xué)生： 3×7-2=19（人）

答：共有學(xué)生19人，共租了7條船。

四、鞏固練習(xí)

1、學(xué)校用一批書獎勵“三好學(xué)生”，若每人獎5本，則多80本；若每人獎7本，則多20本。共有多少名“三好學(xué)生”？多少本書？

2、四

（一）班學(xué)生參加植樹，分成若干組，如果10人一組，正好分完，如果12人一組，差10人。參加植樹的有多少人？

3、一幼兒園給小朋友分糖果，如果每個(gè)小朋友分10顆，則有兩個(gè)小朋友沒有分到，如果每個(gè)小朋友分8顆，則剛好分完，有多少顆糖果？多少個(gè)小朋友？

五、課堂小結(jié)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己有哪些進(jìn)步。

第三課時(shí)

教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)例3 教學(xué)目標(biāo)：較復(fù)雜盈虧問題的求解。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

1、學(xué)會分析這一類型題的數(shù)量間的關(guān)系。

2、能靈活運(yùn)用盈虧問題的解題方法來解決問題。教學(xué)過程：

一、教學(xué)例3 例

3、用繩子測池水深，繩子兩折時(shí)，多余60厘米，繩子三折時(shí)，還差40厘米，求繩長和池水深。

1、學(xué)生讀題，教師用實(shí)物演示兩折、三折。

2、小組討論交流

3、小組匯報(bào)想法

4、分析與解

繩子二折時(shí)，繩子多余的長度是

60×2=120（厘米）

繩子三折時(shí)，繩子不夠的長度是

40×3=120（厘米）所以“盈虧總額”為120＋120=240（厘米）。根據(jù)盈虧問題計(jì)算公式： 池水深：（120＋120）÷（3－2）=240（厘米）繩長：（240＋60）×2=600（厘米）

5、你知道還可以怎樣求繩長嗎？

6、小組交流

解決這道題要注意什么？

7、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法

二、及時(shí)練習(xí)

1、用一根繩子測量橋的高度，如果繩子兩折時(shí)，多5米；如果繩子3折時(shí)，差4米，求繩子長和橋高？

3、一根繩吊一重物測水深，水面上還留6米，如果把這根繩子對折起來，再接上3米的繩子，可達(dá)水底。問繩子和水深各是多少米？

三、自編一道這一類型的題，同桌之間相互解答。

第四課時(shí)

教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)例

4、例5 教學(xué)目標(biāo)：較復(fù)雜盈虧問題的求解。

重點(diǎn)難點(diǎn)：在題目沒有直接清楚的告訴盈虧的情況下弄清盈虧。并準(zhǔn)確熟練的解答。教學(xué)過程：

一、教學(xué)例4 學(xué)校組織乘汽車外出旅游，如果每車坐65人，則有15人乘不上車。如果每車多坐5人，恰好多余了一輛車。問一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生？ 分析與解

每車多坐5人，也就是每車坐5＋65=70（人），恰好多余一輛車，說明還差一輛車的人，即70人。

因而，原問題轉(zhuǎn)化為： 如果每車坐65人，則有15人乘不上車，如果每車坐70人，則還差70人。求有多少輛汽車？有多少學(xué)生？

轉(zhuǎn)化成了典型的盈虧問題

（15＋70）÷（70－65）=17（輛）65×17＋15=1120（人）

答：一共有17輛汽車，1120名學(xué)生。

二、及時(shí)練習(xí)

1、某校有若干個(gè)學(xué)生寄宿學(xué)校，若每一間宿舍住6人，則多出34人；若每間宿舍住7人，則多出4間宿舍。問宿舍有多少間？寄宿學(xué)生有多少人？

2、學(xué)校分配學(xué)生宿舍。如果每個(gè)房間住6人，則少2間宿舍；如果每個(gè)宿舍住9人，則空出2個(gè)房間。問學(xué)生宿舍有多少間？住宿學(xué)生有多少人？

三、學(xué)生聽故事，解決問題。例5 解放軍某部調(diào)動一批戰(zhàn)士分乘一批車輛趕往汛地抗洪。原計(jì)劃每輛汽車乘32人，則多出5人，他們被安排乘坐在其中的某輛車上，行進(jìn)中由于緊急任務(wù)調(diào)走一輛車，這時(shí)只好重新只能派每輛車乘35人，這樣多出7人，他們被安排在其中某輛車上。問原來有多少輛車？共派出多少名戰(zhàn)士？

1、組討論交流

2、學(xué)生列式解答

3、說一說解題過程。汽車數(shù)：（35－7＋5）÷（35－32）=11（輛）戰(zhàn)士數(shù)：32×11＋5=357（人）

答：原來有11輛車，有戰(zhàn)士357人。

四、課堂小結(jié)

談?wù)劚竟?jié)課的收獲。