第一篇：第二章小結(jié)與復(fù)習(xí)1

第二章小結(jié)與復(fù)習(xí)（第一課時(shí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.使學(xué)生對本章的知識的知識更系統(tǒng)，更全面。

2.進(jìn)一步加深學(xué)生對本章基礎(chǔ)知識的理解及基本技能（主要是計(jì)算）的掌握 學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)：

本章基礎(chǔ)知識的歸納，總結(jié)，基礎(chǔ)知識的運(yùn)用 學(xué)習(xí)過程： 快樂自學(xué)：

閱讀教材P77，了解本章知識脈絡(luò)。

一、復(fù)習(xí)引入：

1．主要概念：

(1)關(guān)于單項(xiàng)式，你都知道什么?

(2)關(guān)于多項(xiàng)式，你又知道什么? 復(fù)習(xí)單項(xiàng)式的定義、單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)的定義，多項(xiàng)式的定義以及多項(xiàng)式的項(xiàng)、同類項(xiàng)、次數(shù)、升降冪排列等定義。(3)什么叫整式? ?單項(xiàng)式（定義系數(shù)次）數(shù)整式?多項(xiàng)式（項(xiàng)同類項(xiàng)次

升數(shù)降冪排列）?2．主要法則：

①在本章中，我們學(xué)習(xí)了哪幾個(gè)重要的法則?分別如何敘述? ②歸納總結(jié)：

?去（添）括號。整式的加減?合并同類項(xiàng)。?

二、探究新知：

1．例題：

例1：找出下列代數(shù)式中的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和整式。

x?y?z3，4xy，m1a2n2，x2+x+

1x，0，1x2?2x，m，―2.01×105

例2：指出下列單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)：ab，―x2，3xy5，?x535yz3。

注意事項(xiàng)：系數(shù)應(yīng)包括前面的“+”號或“―”號，次數(shù)是“指數(shù)之和”。

3223例3：指出多項(xiàng)式a―ab―ab+b―1是幾次幾項(xiàng)式，最高次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)各是什么？

例4：化簡，并將結(jié)果按x的降冪排列：

(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)；

(2)―［―(―x+)］―(x―1)；(3)―3(x2―2xy+y2)+ 121212(2x2―xy―2y2)。

注意事項(xiàng)：

(1)去括號(包括去多重括號)的問題；(2)數(shù)字與多項(xiàng)式相乘時(shí)分配律的使用問題。

三、小結(jié)：

學(xué)完本章后我的收獲是 還有沒解決的問題是 達(dá)標(biāo)檢測：

1.在,中，單項(xiàng)式有：.多項(xiàng)式有__________________________。

2.一種商品每件a元，按成本增加20%定出的價(jià)格是

3.已知-7x2ym是7次單項(xiàng)式則m=。

4.已知-5xmy3與4x3yn能合并，則mn =。

5.7-2xy-3x2y3+5x3y2z-9x4y3z2是 次 項(xiàng)式，其中最高次項(xiàng)是，最高次項(xiàng)的系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是，是按字母 作 冪排列。6.已知x－y=5,xy=3，則3xy-7x+7y=。7.已知A=3x+1,B=6x-3，則3A-B=。8.計(jì)算

①（a3-2a2+1）-2(3a2-2a+

1)②x-2(1-2x+x2)+3(-2+3x-x2)29.已知ab=3,a+b=4，求3ab－[2a-(2ab-2b)+3]的值。

10.若(x＋ax－2y＋7)―(bx―2x＋9 y－1)的值與字母x的取值無關(guān)，求a、b的值。

2211.求5ab-2[3ab-(4ab2+ab)]-5ab2的值，其中a=，b=-

12.如圖所示，由一些點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條“邊”（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n>1）個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S是多少？當(dāng)n=7，100時(shí)，S是多少？

15.如圖所示的規(guī)律擺下去，用S表示相應(yīng)的圖中的點(diǎn)數(shù)，請表示出第n個(gè)圖中的點(diǎn)數(shù)S。并計(jì)算第2013個(gè)圖中的點(diǎn)數(shù)。

選做、已知A?4x?5xy?y,B?x?3xy?5y，求：（1）A-5B的值；（2）-5A+2B的值。22228、已知x?y?2xy，求參考答案：

4x?5xy?4y的值。x?xy?y432 2、1.2a 3、5 4、5 5、12 5、11 4-9xyz

－9 7 x 升

6、－26 7、3x+6

8、

第二篇：集合復(fù)習(xí)與小結(jié)

集合復(fù)習(xí)與小結(jié) 教學(xué)目標(biāo)

鞏固集合、子、交、并、補(bǔ)的概念、性質(zhì)和記號及它們之間的關(guān)系．

教學(xué)重點(diǎn)

正確應(yīng)用其概念和性質(zhì)做題．

教學(xué)難點(diǎn)

正確應(yīng)用其概念和性質(zhì)做題．

教學(xué)過程 復(fù)備欄

本單元主要介紹了以下三個(gè)問題： 1．集合的含義與特征； 2．集合的表示與轉(zhuǎn)化； 3．集合的基本運(yùn)算．

一、集合的含義與表示（含分類）

1．具有共同特征的對象的全體,稱一個(gè)集合．

2．集合按元素的個(gè)數(shù)分為:有限集和無窮集兩類． 3．集合的表示．

二、集合表示法間的轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵也是看“四化” ．

三、集合的基本運(yùn)算

1．子集：AB定義為，對任意x∈A，有x∈B.表現(xiàn)圖為A在B中包含著.2．補(bǔ)集：CSA={x|x∈S,且x A}.表現(xiàn)圖為整體中去掉A余下的部分.3．交集：A∩B={x|x∈A,且x∈B}.表現(xiàn)圖示為A與B的公共部分.4．并集：A∪B={x|x∈A,或x∈B}.表現(xiàn)圖示為A與B合加在一起部分

附表：集合的三種運(yùn)算： 運(yùn)算類型 交

集 并

集 補(bǔ)

集 定

義

由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．

設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）記作，即 CSA=

韋 恩 圖 示

性 質(zhì) AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB(CSA)(CSB)=CS(AB)(CSA)(CSB)=CS(AB)A(CSA)=U A(CSA)=Φ．

容斥原理有限集A的元素個(gè)數(shù)記作card(A).對于兩個(gè)有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)-card(A∩B)．

四、例題選講

例1 定義集合A-B={x|x∈A,且xB}，則當(dāng)A∩B=時(shí)，A-B=_________；A∩B不空時(shí)呢？ 解：（1）A；（2）CU(A∩B).例2 給出下列說法：

（1）方程+|y+2|=0的解集為{-2,2}；

（2）集合{y|y=x2-1,x∈R}與集合{y|y=x-1,x∈R}的公共元組成的集合為{0，-1}；（3）區(qū)間（-∞，1）與（a，+∞）無公共元素.其中正確的個(gè)數(shù)為___________.解：對于（1），解集應(yīng)為有序?qū)崝?shù)對，錯(cuò)； 對于（2）{y|y=x2-1,x∈R}=與集合

{y|y=x-1,x∈R}=R，公共元素不只0與-1兩個(gè)，錯(cuò)；

對于（3）區(qū)間（-∞，1）與（a，+∞）無公共元素取決于1與a的大小，錯(cuò).故正確的個(gè)數(shù)是0.例3 已知集合M={x|x=3m+1,m∈Z}，N={y|y=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N，則x0，y0與集合M、N的關(guān)系是

.解：方法一：變?yōu)槲淖置枋龇?/p>

M={被3除余數(shù)為1的整數(shù)}，N={被3除余數(shù)為2的整數(shù)}，余數(shù)為1×余數(shù)為2→余數(shù)為2，故x0y0∈N,x0y0M．

方法二：變?yōu)榱信e法M={?,-2,1,4,7,10,13,},N={?,-1,2,5,8,11,?} M中一個(gè)元素與N中一個(gè)元素相乘一定在N中，故x0y0∈N,x0y0M 方法三：直接驗(yàn)證）

設(shè)x0=3m+1,y0=3n+2,則x0y0=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2, 故x0y0∈N,x0y0M．

例4 已知集合A={x|=1}是單元素集，用列舉法表示a的取值集合B 解：集合B表示方程=1有等根或僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)a的取值集合． ⑴有等根時(shí)有：x2-x-2-a=0①且x2-2≠0②；

①△=1-4(-a-2)=0, a=-9/4,此時(shí)x=1/2適合條件②，故a=-9/4滿足條件； ⑵僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，x+a是x2-2的因式，而 =，∴a=±.當(dāng)a=時(shí),x=1+,滿足條件； 當(dāng)a=時(shí),x=1也滿足條件． 綜上，．

五、回顧小結(jié)

本節(jié)課對集合一章進(jìn)行了總結(jié)，要在理解集合相關(guān)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會運(yùn)用集合語言描述數(shù)學(xué)對象，更為清晰地表達(dá)數(shù)學(xué)思想.六．布置作業(yè)

教后反思

第三篇：向量小結(jié)與復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)教案第五章平面向量（第23課時(shí)）課題：5.13向量小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）

教學(xué)目的：

1.熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律；2.能根據(jù)向量性質(zhì)特點(diǎn)構(gòu)造向量；

3.熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用；4.熟練向量求解的坐標(biāo)化思路.5.認(rèn)識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；

6.認(rèn)識向量的工具性作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用意識

.教學(xué)重點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用；構(gòu)造向量法的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造向量法的適用題型特點(diǎn)的把握

授課類型：復(fù)習(xí)課

課時(shí)安排：1課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)式

針對向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，通過非坐標(biāo)形式解法與坐標(biāo)化解法的比較來加深學(xué)生對于向量坐標(biāo)表示的認(rèn)識，同時(shí)要加強(qiáng)學(xué)生選擇建立坐標(biāo)系的意識.對于“構(gòu)造向量法”的應(yīng)用，本節(jié)例題選擇了本章的重點(diǎn)內(nèi)容數(shù)量積的坐標(biāo)表示，目的要使學(xué)生把握坐標(biāo)表示的數(shù)量積性質(zhì)的形式特點(diǎn)，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的解題技巧，提高解題能力教學(xué)過程：

一、講解范例：

例1利用向量知識證明下列各式

22(1)x＋y≥

2xy

22(2)｜x｜＋｜y｜≥2x·y

分析：(1)題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系.(2)題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求證.證明：(1)設(shè)a＝（x，y），b＝（y，x）則a·b＝xy＋yx＝2

xy

222222｜a｜·｜b｜＝x?y?x?y?x?y

又a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ(其中θ為a，b夾角)

≤｜a｜·｜b

｜

22∴x＋y≥2xy

(2)設(shè)x，y的夾角為θ，則x·y＝｜x｜·｜y｜c(diǎn)osθ≤｜x｜·｜y｜≤

22x?y222 ∴｜x｜＋｜y｜≥2x·

y

22評述：(1)上述結(jié)論表明，重要不等式a＋b≥2ab，無論對于實(shí)數(shù)還是向量，都成立.(2)在(2)題證明過程中，由于｜x｜，｜y｜是實(shí)數(shù)，故可以應(yīng)用重要不等式求證.例2利用向量知識證明

22222(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此題形式對學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標(biāo)表示產(chǎn)生聯(lián)系，故需要構(gòu)造向量

.證明：設(shè)a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

則a·b＝a1b1＋a2b2，222222｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

∵a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ為a，b夾角)

222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

22222∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

評述：此題證法難點(diǎn)在于向量的構(gòu)造，若能恰當(dāng)構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論.這一技巧應(yīng)要求學(xué)生注意體會.例3已知ｆ（x）＝?x2

求證：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）

分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達(dá)到去根號的目的.也可考慮構(gòu)造向量法，利用向量的性質(zhì)求證.下面給出兩種證法.證法一：∵ｆ（a）＝?a2，ｆ（b）＝?

b2，∴要證明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b

｜ 只需證明｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

2222222即1＋a＋1＋b－2(1?a)(1?b)＜a＋b－2

ab

22即(1?a)(1?b)＞1＋

ab 2222只需證明（(1?a)(1?b)）＞（1＋ab）

即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab

22即a＋b＞2

ab

22∵a＋b≥2ab又a≠

b

22∴a＋b＞2

ab

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜

證法二：設(shè)a＝（1，a），b＝（1，b）

則｜a｜＝?a2，｜b｜＝?b2 222222

a－b＝（O，a－b）

｜a－b｜＝｜a－b

｜

由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中當(dāng)｜a｜＝｜b｜即a＝b時(shí)，取“＝”，而a≠

b

∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b

｜ 即｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.評述：通過兩種證法的比較，體會“構(gòu)造向量法”的特點(diǎn)，加深對向量工具性作用的認(rèn)識.上述三個(gè)例題，主要通過“構(gòu)造向量”解決問題，要求學(xué)生在體驗(yàn)向量工具性作用的同時(shí)，注意解題方法的靈活性.下面，我們通過下面的例題分析，讓大家體會向量坐標(biāo)運(yùn)算的特點(diǎn)，以及“向量坐標(biāo)化”思路在解題中的具體應(yīng)用.例4已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線.求證AC⊥BD.分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個(gè)向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件.證法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜－｜｜＝

O

∴⊥

證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）

222則由｜AB｜＝｜BC｜得a＋b＝c ∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），22 ＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c－a－b＝O 222

∴⊥即 AC⊥

BD

評述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，則將給解題帶來一定的方便.通過向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運(yùn)算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認(rèn)識和掌握.例5 若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜.證明：a⊥b

.分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，也可考慮平面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法.證法一：(根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì))設(shè)＝a，＝b，由已知可得a與b不平行，由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線和相等

.所以平行四邊形OACB是矩形，∴OA⊥OB，∴a⊥

b

證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b

｜

22∴（a＋b）＝（a－b）

2222∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

∴a·b＝O，∴a⊥

b

證法三：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），22｜a＋b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22｜a－b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22∴(x1?x2)?(y1?y2)22＝(x1?x2)?(y1?y2)，化簡得：x1x2＋y1y2＝O，∴a·b＝O，∴a⊥b.例6 已知向量a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點(diǎn)坐標(biāo).分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示a的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程.解：設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為（ｍ，ｎ）

則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

由題意???3(m?3)?4(n?1)?0

22?(m?3)?(n?1)?1 ①

②

由①得：ｎ＝

21（3ｍ－13）代入②得 425ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 19?11?m?,m?,12????55或?解得?

?n??2.?n??8.12?5?5??

∴a的終點(diǎn)坐標(biāo)是（192118,?)或(,?)555

5評述：向量的坐標(biāo)表示是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆.上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點(diǎn)知識的同時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標(biāo)化思路在解題時(shí)的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)知識溝通起來.二、課堂練習(xí)：

1.已知a＝（1，O），b＝（1，1），當(dāng)λ為何值時(shí)，a＋λb與a垂直

.解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）

∵（a＋λb）⊥a∴（a＋λb）·a＝

O

∴（1＋λ）＋O·λ＝O∴λ＝－

1即當(dāng)λ＝－1時(shí)，a＋λb與a垂直.2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a與b的夾角為3O°，求｜a＋b｜，｜a－b｜

.2222解：｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b

22＝｜a｜＋2·｜a｜·｜b｜c(diǎn)os3O°＋｜b｜

＝（）＋2×3×2×232＋2＝

32∴｜a＋b｜＝，∵｜a－b｜＝（a－b)＝a－2a·b＋b

22＝｜a｜－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b

＝（3）－2××2×222222＋2＝

∴｜a－b｜＝

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a與b的夾角為6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b.當(dāng)ｍ為何值時(shí)，c與d是否垂直?

解：若c⊥d，則c·d＝

O

∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜c(diǎn)os6O°－15｜b｜＝

O

即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝29.1

44.已知a＋b＝c，a－b＝

d

求證：｜a｜＝｜b｜?c⊥

d

證明：(1)c⊥

d

22（a－b）＝O? a－b＝

O ?（a＋b）

? a2＝b2? ｜a｜＝｜b

｜，(2)｜a｜＝｜b｜

（a－b）＝O? c⊥d

.? a2＝b2? a2－b2＝O?（a＋b）

三、小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，能夠掌握向量坐標(biāo)化的思路求解問題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法

.四、課后作業(yè)：

五、課后記及備用資料：

1.三角形內(nèi)角和性質(zhì)

定理：在△ABC中，A、B、C分別為三個(gè)內(nèi)角，則A＋B＋C＝18O°

推論(1)B＝6O°?2B＝A＋C

推論(2)若A＜9O°，則有

sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC

.推論(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.A?BCA?BC?cos,cos?sin,2222推論(4)A?BCA?BCtan?cot,cot?tan.2222sin

2.三角形內(nèi)角和性質(zhì)應(yīng)用舉例

例1△ABC中，若tanB?tanCa?c?,求證：A、B、C成等差數(shù)列

.tanB?tanCa

證明：由條件得sin(B?C)sinA?sinC，?sin(B?C)sinA

由推論(3)得sin（B＋C）＝sinA.∴sin（B－C）＝sinA－sinC

∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sin

C

∵sinC≠O，∴cosB＝1?，∴B＝.2

3故由推論(1)得2B＝A＋C.所以A、B、C成等差數(shù)列

.例2在銳角△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

證明：∵△ABC是銳角三角形，∴A＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinB＞cosC ①

B＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinC＞cosA

②

C＜9O°，根據(jù)推論(2)有sinA＞cosB ③ ∴①＋②＋③得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

.例3已知△ABC，求證(a－b)cotCAB＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝

O.222

證明：根據(jù)正弦定理和推論(4)，有

CA?BA?BA?B＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin，2222

C∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA）2

A同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）； 2

B（c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC).2

CAB三式相加可得（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O.222(a－b)cot

第四篇：相似三角形小結(jié)與復(fù)習(xí)

相似三角形小結(jié)與復(fù)習(xí)

教學(xué)目標(biāo)

1.對全章知識有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識，掌握知識的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系.2.利用基本圖形結(jié)構(gòu)的形成過程，掌握本章的重點(diǎn)：平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定及性質(zhì)定理.3.通過例題分析，系統(tǒng)總結(jié)本章常用的數(shù)學(xué)思想方法，提高分析問題和解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)是掌握本章的主要概念、定理及數(shù)學(xué)方法.難點(diǎn)是靈活運(yùn)用以上知識，提高解題能力.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、掌握本章知識結(jié)構(gòu)

具體內(nèi)容見課本第258頁內(nèi)容提要.二、按照“特殊——一般——特殊”的認(rèn)識規(guī)律，理解本章的基本圖形的形成、變化及發(fā)展 過程，把握本章的兩個(gè)重點(diǎn)

1.平行線分線段成比例定理所對應(yīng)的基本圖形(如圖5－123).要求：

(1)用平行線分線段成比例定理及推論證明比例式，會分線段成已知比；(2)對圖5－123(a),(b)要求會用比例式證明兩直線平行.2.相似三角形所對應(yīng)的基本圖形.(1)類比推廣：從特殊到一般，如圖5－124；

(2)從一般到特殊：如圖5－125.要求：用對比的方法掌握相似三角形和相似多邊形的定義及性質(zhì)，系統(tǒng)總結(jié)相似三角形的判 定方法和使用范圍，尤其注意利用中間相似三角形的方法.3.熟悉一些常用的基本圖形中的典型結(jié)論有助于探求解題思路.(1)在圖5－125(a)中的相似三角形及相似比、面積比；

(2)在圖5－125(b)中有公邊共角的兩個(gè)相似三角形：公邊的平方等于兩相似三角形落在一條直線上的兩邊之積；(3)在圖5－125(d)中射影定理及面積關(guān)系等常用的乘積式.三、通過例題分析，系統(tǒng)總結(jié)本章常用的數(shù)學(xué)思想及方法

例1 已知：的值.分析：已知等比條件時(shí)常有以下幾種求值方法：(1)設(shè)比值為k;(2)比例的基本性質(zhì)；

(3)方程的思想，用其中一個(gè)字母表示其他字母.解法一 由則(a+b):(b－c)=25:3.，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.設(shè)a=10k,b=15k,c=12k, 解法二 ∵

∴, ∴ 解法三 ∵,∴a=, ∴

例2 已知：如圖5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線交于O點(diǎn)，過O作EF∥BC，分別交AB，DC于E，F(xiàn).求證：(1)OE=OF;(2);(3)若MN為梯形中位線，求證AF∥MC.分析：

(1)利用比例證明兩線段相等的方法.①若,a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)；

②若,則a=b(只適用于線段，對實(shí)數(shù)不成立)；

③若，a=a′,b=b′,c=c′,則d=d′.(2)利用平行線證明比例式及換中間比的方法.(3)證明時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為“”類型后：

①化為直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；

②直接通分或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為證明四條線段成比例.(4)可用分析法證明第(3)題，并延長兩腰將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.延長BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.(5)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)將問題進(jìn)行推廣.若直線EF平行移動(dòng)后不過點(diǎn)O，分別交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F(xiàn)，如圖5－126(b),O1F 與O2F是否相等?為什么?(6)其它常用的推廣問題的方法有：類比、從特殊到一般等.例3 已知：如圖5－127，在ΔABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AC于E，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，BE交AD于N，AF交BE于M.求證：AF⊥BE.分析：

(1)分解基本圖形探求解題思路.(2)總結(jié)利用相似三角形的性質(zhì)證明兩角相等，進(jìn)一步證明兩直線位置關(guān)系(平行、垂直等)的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到

結(jié)合中點(diǎn)定義得到得到AF⊥BE.,結(jié)合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.進(jìn)一步可

(3)總結(jié)證明四條線段成比例的常用方法：①比例的定義；②平行線分線段成比例定理；③ 三角形相似的預(yù)備定理；④直接利用相似三角形的性質(zhì)；⑤利用中間比等量代換；⑥利用面 積關(guān)系.例4 已知：如圖5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求證：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

(1)掌握基本圖形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用結(jié)論.①勾股定理：AC+BC=AB.②面積公式：AC·BC=AB·CD.③三個(gè)比例中項(xiàng)：AC=AD·AB,BC=BD·BA,CD=DA·DB.2

22222

⑤

(2)靈活運(yùn)用以上結(jié)論，并掌握恒等變形的各種方法，是解決此類問題的基本途徑，如等式 兩邊都乘或除以某項(xiàng)，都平方、立方，或兩等式相乘等.(3)學(xué)習(xí)三類問題的常見的思考方法，并熟悉常用的恒等變形方法.①證明a型：先得到a=bc型，再兩邊乘方，求出a來，進(jìn)行化簡(證法一).或在a=bc兩邊乘以同一線段a，再進(jìn)行化簡(證法二).②證明a:b=c:d型問題的常用方法： 22

3242(ⅰ)先證,再利用中間比證明(ⅱ)先證再兩邊平方：,然后設(shè)法將右邊降次，得

(ⅲ)先分別求出,兩式相乘得,再將右邊化簡.③證明a3:b3=c:d型問題的常用方法：

(ⅰ)先用有關(guān)定理求出，再通過代換變形實(shí)現(xiàn)；

(ⅱ)先證,兩邊平方或立方，再通過代換實(shí)現(xiàn)；

(ⅲ)先分別求出第(1)題：

證法一 ∵ CD=AD·BD, 2，然后相乘并化簡：

∴ CD=AD·BD=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC)

=(AE·BF)·(AB·CD).422證法二 ∵ CD=AD·BD,CD=2

∴ CD=AD·BD·3=

=AE·BF·AB.第(2)題：

證法一 ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，證得,命 題得證.證法二 由證法三 ∵ ΔBCD∽ΔCAD，∴(相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比)∵ DE∥BC，∴第(3)題： ,∴

證法一 ∵, ∴,∴

證法二： ΔADC∽ΔCDB，∴

∴·

證法三 ∵, ∴

四、師生共同小結(jié)

在學(xué)生思考總結(jié)的基礎(chǔ)上，教師歸納：

1.本章重點(diǎn)內(nèi)容及基本圖形.2.本章重要的解題方法、數(shù)學(xué)思想方法及研究問題的方法.五、作業(yè)

課本第261～265頁復(fù)習(xí)題五中選取.補(bǔ)充題：

1.利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算.已知：如圖5－129，在RtΔABC，中∠ACB=90°，E為AB上一點(diǎn)，過E作ED∥BC交AC于D，過D作DF⊥AC交AB于F.若EF：FB=2:1，ED=2，CD=,求FB的長.(答：2)

2.證明相似三角形的方法.如圖5－130，在ΔABC，中∠C=60°，AD，BE是ΔABC的高，DF為ΔABD的中線.求證：DE=DF.(提示：證明ΔCDE∽ΔCAB，得到.)3.已知：如圖5－131，ΔABC內(nèi)一點(diǎn)O，過O分別作各邊的平行線DE∥BC，F(xiàn)G∥AB，HK∥AC.求證：

(1)

(2)設(shè)SΔOEF=S1,SΔODH=S2,SΔOGK=S3,SΔABC=S.則4.構(gòu)造相似三角形來解決問題.(1)已知：如圖5－132，ΔABC中，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，AC=1，∠BAC=60°∠ABC=

100°，∠DEC=80°.求SΔABC+2SΔCDE；(答：)(提示：延長AB至F，使F=AC.作∠BCF平分線交AF于G.—

(2)已知：如圖5－133，在ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:4.求證：.(提示：把變形為，進(jìn)一步變形為.設(shè)法

構(gòu)造相似三角形，使其對應(yīng)邊的比分別為，作AE=AC,交BC延長線于E，延長AB至D，使BD=AC.)

5.構(gòu)造基本圖形(平行線分線段成比例定理).已知：如圖5－134，ΔABC的三邊BC，CA，AB上有點(diǎn)D，E，F(xiàn).若AD，BE，CF三線交于一點(diǎn)O.求證：.(塞瓦定理)

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本教案需用1課時(shí)完成.本節(jié)例2在三角形相似的判定(四)中出現(xiàn)過，如果學(xué)生已經(jīng)掌握，教師可在這節(jié)復(fù)習(xí)課中選 取補(bǔ)充題2或其它題目說明利用比例證明線段相等的方法.

第五篇：二次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)

二次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)

（二）1、填表

2、我國是最早發(fā)明火箭的國家，制作火箭模型、模擬火箭升空是青少年喜愛的一項(xiàng)科技活動(dòng)，已知學(xué)校航模組設(shè)計(jì)制作的火箭的升空高度h（m）與飛行的時(shí)間t（s）的關(guān)系是h=-t2+26t+1，如果火箭在點(diǎn)火升空到最高點(diǎn)時(shí)打開降落傘，那么火箭點(diǎn)火后多少時(shí)間降落傘打開？這時(shí)該火箭的高度是多少？

3、美國圣路易斯市有一座巨大的拱門，這座拱門高和底寬都是192m的不銹鋼拱門是美國開發(fā)西部的標(biāo)志性建筑，如果把拱門看作一條拋物線，你能建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并寫出這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系嗎？試試看

4、一艘裝有防汛器材的船，露出水面部分的寬為4m，高為0.75m，當(dāng)水面距拋物線形拱橋的拱頂5m時(shí)，橋洞內(nèi)水面寬為8m，要使該船順利通過拱橋，水面距拱頂?shù)母叨戎辽俣喔撸?/p>

5、把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象沿y軸向下平移1個(gè)單位長度，再沿x軸向左平移5個(gè)單位，所得的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,0），寫出原拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。

6、心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，某年齡段的學(xué)生，30min內(nèi)對概念的接受能力y與提出概念 的時(shí)間x之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43（0《x《30），試判斷何時(shí)學(xué)生接受概念的能力最強(qiáng)？什么時(shí)段學(xué)生接受概念的能力逐步降低？

7、如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)

（1）試寫出P、Q兩點(diǎn)的距離y（cm）與P、Q兩點(diǎn)的移動(dòng)時(shí)間x（s）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）經(jīng)過多長時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離最?。ㄗⅲ核阈g(shù)平方根的值隨著被開方數(shù)的增大而增大，隨著被開方數(shù)的減小而減?。?？

8、某地要建造一個(gè)圓形水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)裝飾柱OA，O恰在水面中心，柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，形狀如圖①，在如圖②的平面直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y（m）與水平距離x的關(guān)系式滿足（1）求OA的高度；

（2）求噴出的水流距水平面的最大高度；如果不計(jì)其他因素，那么水池半徑至少為為多少時(shí)，才能使噴出的水流不落在水池外？