大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練四—級(jí)數(shù)

一、（20分）設(shè)

1）證明：

2）計(jì)算

證明：1）設(shè)，因?yàn)?/p>

所以，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，即有

（注意這里利用了極限）

2）。

二、（15分）設(shè)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。

證明：因?yàn)?，由連續(xù)性可得，由導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性可得存在的一個(gè)鄰域內(nèi)，這就說(shuō)明當(dāng)充分大時(shí)，數(shù)列是遞減的，并且，由萊布尼茨判別法可得，級(jí)數(shù)收斂；

由單調(diào)增可得，級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，對(duì)函數(shù)在區(qū)間運(yùn)用拉格朗日中值定理，存在有

當(dāng)充分大時(shí)有，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，由比較判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散。

三、（15分）求級(jí)數(shù)的和。

解：因?yàn)?/p>

所以。

四、（15分）設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，是的傅里葉系數(shù)，證明貝塞爾不等式

證明：因?yàn)?，設(shè)，則有

以上利用了是正交系，所以

五、（20分）已知，求與軸所圍成圖形的面積。

解：

簡(jiǎn)單計(jì)算可得僅有兩個(gè)解，并且當(dāng)時(shí)，所以所求面積為

六、（15分）判斷級(jí)數(shù)的斂散性。

解：因?yàn)?/p>

由比較判別法可得，級(jí)數(shù)收斂，再用比較判別法可得級(jí)數(shù)收斂。