一、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）計(jì)算下列各題（要求寫出計(jì)算步驟）
1）
解：因?yàn)?/p>
所以，原式
2）設(shè)，求。
解：因?yàn)?/p>
……
……
所以。
3）求，其中。
解：
4）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和。
解：設(shè)，則有
上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得。
二、（本題共16分）設(shè)為數(shù)列，為有限數(shù)，求證：
1）如果，則
2）如果存在正整數(shù)，使得，則。
證明：1）因?yàn)樗源嬖谟小?/p>
對(duì)任意的，存在整數(shù)，當(dāng)時(shí)有
又因?yàn)榇嬖谡麛?shù)當(dāng)有，所以取
當(dāng)時(shí)有
這就證明。
2）設(shè)，則有。
三、（本題共15分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且。
求證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。證明：因?yàn)?，在之間，所以，其中，又因?yàn)樵谏线B續(xù)在之間，由介值定理可得，存在使得。
四、（本題共15分）在平面上，有一條從點(diǎn)向右的射線，其線密度為。
在點(diǎn)處（其中）有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)。求該射線對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。解：用微元法計(jì)算，設(shè)此射線上一小段為，其上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，此小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力方向?yàn)椋笮?，由此可得該射線對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為
五、（本題共15分）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。
求證：和。證明：此題是錯(cuò)題。
六、（本題共15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，為常數(shù)，是單位球面。
記第一型曲面積分為。求證：證明：當(dāng)時(shí)。
當(dāng)不全為零時(shí)，用微元法證明。
用平面去
切球面，其中
設(shè)平面切球面所得半弦長(zhǎng)，則
所切小環(huán)帶展開后長(zhǎng)為，寬為。
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