04184線性代數(shù)(經(jīng)管類)

√

關(guān)于：

①稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；

②線性無關(guān)；

③；

④；

⑤任意一個維向量都可以用線性表示.√

行列式的計算：

①

若都是方陣（不必同階）,則

②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.③關(guān)于副對角線：

√

逆矩陣的求法:

①

②

③

④

⑤

√

方陣的冪的性質(zhì)：

√

設(shè)，對階矩陣規(guī)定：為的一個多項式.√

設(shè)的列向量為,的列向量為，的列向量為,√

用對角矩陣左乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；

用對角矩陣右乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√

兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘,與分塊對角陣相乘類似,即：

√

矩陣方程的解法：設(shè)法化成當(dāng)時,√

和同解（列向量個數(shù)相同）,則：

①

它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等；

②

它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；

③

它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√

判斷是的基礎(chǔ)解系的條件：

①

線性無關(guān)；

②

是的解；

③

.①

零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.②

單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān).③

部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān).④

原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān).⑤

兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).⑥

向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.⑦

向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.向量組線性無關(guān)向量組中每一個向量都不能由其余個向量線性表示.⑧

維列向量組線性相關(guān)；

維列向量組線性無關(guān).⑨

.⑩

若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法惟一.?

矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).?

矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價

和可以相互線性表示.記作：

矩陣等價

經(jīng)過有限次初等變換化為.記作：

?

矩陣與等價作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣與作為向量組等價

矩陣與等價.?

向量組可由向量組線性表示≤.?

向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則≤.?

向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價；

?

任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.?

向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價,且這兩個組所含向量的個數(shù)相等.?

若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等.?

若是矩陣,則,若，的行向量線性無關(guān)；

若，的列向量線性無關(guān),即：

線性無關(guān).線性方程組的矩陣式

向量式

矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：

矩陣可逆的性質(zhì)：

伴隨矩陣的性質(zhì)：

線性方程組解的性質(zhì)：

√

設(shè)為矩陣,若,則,從而一定有解.當(dāng)時,一定不是唯一解.,則該向量組線性相關(guān).是的上限.√

矩陣的秩的性質(zhì)：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥≥

⑦

≤

⑧

⑨

⑩

且在矩陣乘法中有左消去律:

標(biāo)準(zhǔn)正交基

個維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1..是單位向量

.√

內(nèi)積的性質(zhì)：

①

正定性：

②

對稱性：

③

雙線性：

施密特

線性無關(guān),單位化：

正交矩陣

.√

是正交矩陣的充要條件：的個行（列）向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.√

正交矩陣的性質(zhì)：①；

②；

③

是正交陣,則（或）也是正交陣；

④

兩個正交陣之積仍是正交陣；

⑤

正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣

.的特征多項式

.的特征方程

.√

上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素.√

若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量.√

√

若,則一定可分解為=、,從而的特征值為：,.√

若的全部特征值，是多項式,則:

①的全部特征值為；

②

當(dāng)可逆時,的全部特征值為,的全部特征值為.√

√

與相似

（為可逆陣）

記為：

√

相似于對角陣的充要條件：恰有個線性無關(guān)的特征向量.這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值.√

可對角化的充要條件：

為的重數(shù).√

若階矩陣有個互異的特征值,則與對角陣相似.與正交相似

（為正交矩陣）

√

相似矩陣的性質(zhì)：①

若均可逆

②

③

（為整數(shù)）

④,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量.⑤

從而同時可逆或不可逆

⑥

⑦

√

數(shù)量矩陣只與自己相似.√

對稱矩陣的性質(zhì)：

①

特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；

②

與對角矩陣合同；

③

不同特征值的特征向量必定正交；

④

重特征值必定有個線性無關(guān)的特征向量；

⑤

必可用正交矩陣相似對角化（一定有個線性無關(guān)的特征向量,可能有重的特征值,重數(shù)=）.可以相似對角化

與對角陣相似.記為：

（稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)型）

√

若為可對角化矩陣,則其非零特征值的個數(shù)（重數(shù)重復(fù)計算）.√

設(shè)為對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：

.√

若，則：.√

若,則,.二次型

為對稱矩陣

與合同

.記作：

（）

√

兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù).√

兩個矩陣合同的充分條件是：

√

兩個矩陣合同的必要條件是：

√

經(jīng)過化為標(biāo)準(zhǔn)型.√

二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的,與所作的正交變換有關(guān),但系數(shù)不為零的個數(shù)是由

惟一確定的.√

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)為1，-1或0時,則為規(guī)范形

.√

實(shí)對稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個數(shù).√

任一實(shí)對稱矩陣與惟一對角陣合同.√

用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形:

①

求出的特征值、特征向量；

②

對個特征向量單位化、正交化；

③

構(gòu)造（正交矩陣）,；

④

作變換,新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值.正定二次型

不全為零，.正定矩陣

正定二次型對應(yīng)的矩陣.√

合同變換不改變二次型的正定性.√

成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：

①

正慣性指數(shù)為；

②的特征值全大于；

③的所有順序主子式全大于；

④

合同于，即存在可逆矩陣使；

⑤

存在可逆矩陣，使

（從而）；

⑥

存在正交矩陣，使

（大于）.√

成為正定矩陣的必要條件：；.